பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள்

ஜோசப் பெர்ட்ரான்டு

கணிதத்தின் எண்கோட்பாட்டில், பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள் (Bertrand's postulate) என்பது கீழ்வரும் தேற்றத்தைக் குறிக்கும்:

ஒவ்வொரு முழு எண் $n>3$ க்கும்,

$n<p<2n-2.$ என்றவாறு குறைந்தபட்சமாக ஒரு பகா எண் $p$ இருக்கும்.

இதைவிடக் குறைந்த கட்டுப்பாடுடைய வடிவம்:

ஒவ்வொரு முழுஎண் $n>1$ க்கும்,

$n<p<2n.$ என்றவாறு குறைந்தபட்சமாக ஒரு பகா எண் $p$ இருக்கும்.

மற்றொரு வடிவம்:

$n\geq 1$ ஆக இருக்கும்பொழுது, $p_{n}$ ஆனது $n$ ஆவது பகா எண் எனில்:

$p_{n+1}<2p_{n}.$ ஆக இருக்கும்.

இக்கூற்றானது முதலில் 1845 இல் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜோசப் பெர்ட்ரான்டால் அனுமானமாகத் தெரிவிக்கப்பட்டது. (1822–1900). பெர்ட்ரான்டால், $2\leq n\leq 3\,000\,000$ என அமையும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் இக்கூற்று பொருந்துவது சரிபார்க்கப்பட்டது.

இவரது இந்த அனுமானம் 1852 இல் உருசியக் கணிதவியலாளர் கெபிஸ்ஹேவால் (1821–1894) முழுமையாக நிறுவப்பட்டது. இதனால் இந்த எடுகோள், பெர்ட்ரான்டு-கெபிஸ்ஹேவ் தேற்றம் அல்லது கெபிஸ்ஹேவின் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது. கெபிஸ்ஹேவின் தேற்றத்தை $\pi (x)$, பகாத்தனி-எண்ணும் சார்புடனான ($x$ ஐ விடச் சிறிய அல்லது சமமான பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை) தொடர்பு என்றும் அழைக்கலாம்:

$\pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.$

விளைவுகள்

• 1 உடன் கூடிய பகாஎண்களின் தொடர்வரிசையானது, ஒரு "முழுமையான தொடர்வரிசை"யாக இருக்கும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணையும் (1 உட்பட) அதிகபட்சமாக ஒரு முறை மட்டுமே பயன்படுத்தி, எந்தவொரு நேர்ம முழுஎண்ணையும் பகாஎண்களின் கூட்டுதொகையாக எழுதமுடியும்.
• 1 மட்டுமே, முழு எண்ணாகவுள்ள ஒரேயொரு இசை எண்.

நூலடைவு

• P. Erdős (1934), "A Theorem of Sylvester and Schur", Journal of the London Mathematical Society, 9 (4): 282–288, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1112/jlms/s1-9.4.282
• Jitsuro Nagura (1952), "On the interval containing at least one prime number", Proc. Japan Acad., 28 (4): 177–181, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.3792/pja/1195570997
• Chris Caldwell, Bertrand's postulate at பிரைம் பெயிஜசு glossary.
• H. Ricardo (2005), "Goldbach's Conjecture Implies Bertrand's Postulate", Amer. Math. Monthly, 112: 492
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 49. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly, 116 (7): 630–635, arXiv:0907.5232, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4169/193009709x458609

வெளி இணைப்புகள்

• Sondow, Jonathan, "Bertrand's Postulate", MathWorld.
• A proof of the weak version in the Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Bertrand's postulate − A proof of the weak version at www.dimostriamogoldbach.it/en/