வெற்றுக் கணம்

கணக்கோட்பாட்டில், வெற்றுக் கணம் (empty set) என்பது உறுப்புகளே இல்லாத தனித்ததொரு (unique) கணமாகும். அடிக்கோள் சார்ந்த கணக்கோட்பாட்டில் வெற்றுக்கணமானது, வெற்றுக் கண அடிக்கோள் மூலம் தரப்பட்டுள்ளது. ஏனைய கோட்பாடுகளில் வெற்றுக் கணம் இருப்பதை உய்த்தறிந்து தெரிந்து கொள்ளலாம். கணங்களுக்குரிய பண்புகள் எல்லாம் வெற்றுக் கணத்திற்கும் பொருந்தும் என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.

குறியீடு

வெற்றுக் கணத்தின் சில குறியீடுகள்:

{}
$\varnothing$
$\emptyset$ .

கடைசி இரு குறியீடுகளும் டேனிய மற்றும் நார்வீஜிய எழுத்தான Ø ன் அடையாளமாக 1939ல் பூர்பாக்கி குழுவால் (Bourbaki group) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. (இந்த எழுத்துக்கும் கிரேக்க எழுத்தான Φ (phi) க்கும் எந்தவொரு தொடர்பு இல்லை).^[1]

வெற்றுக் கணத்தின் பிற குறியீடுகள்^[2]:

Λ
0

பண்புகள்

இரு கணங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டுமெனில் அவற்றிலுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் சமமாக இருக்க வேண்டும். எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாமல் ஒரேயொரு கணம் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதால் வெற்றுக் கணம் தனித்தன்மை கொண்டதாகும்.

A என்ற ஏதாவது ஒரு கணத்திற்கு:

வெற்றுக் கணம், A ன் உட்கணமாகும்.
$\forall A:\varnothing \subseteq A\,.$
A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் சேர்ப்பு A கணமாகும்.
$\forall A:A\cup \varnothing =A\,.$

A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் வெட்டு வெற்றுக் கணமாகும்.

$\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing \,.$
A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன் வெற்றுக் கணமாகும்.
$\forall A:A\times \varnothing =\varnothing \,.$

வெற்றுக் கணத்தின் பண்புகள்:

வெற்றுக் கணத்தின் ஒரேயொரு உட்கணம் வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
$\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing \,.$
வெற்றுக் கணத்தின் அடுக்குக் கணத்திலுள்ள ஒரேயொரு உறுப்பு வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
$2^{\varnothing }=\{\varnothing \}\,.$
வெற்றுக் கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பூச்சியமாகும். அதாவது வெற்றுக் கணத்தின் முதலெண் 0.
$|\varnothing |=0\,.$

வெற்றுக் கணத்துக்கும் பூச்சியத்துக்கும் இடையேயுள்ள இணைப்பு, இயல் எண்களின் கணக் கோட்பாட்டு வரையறையிலும் தொடர்கிறது. இதில் இயல் எண்களைக் குறிப்பதற்கு கணங்கள் ஒப்புருக்களாகப் (model) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதில், பூச்சியத்துக்கு வெற்றுக் கணம் ஒப்புருவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எந்தவொரு பண்பிற்கும்:

$\varnothing$ கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் அப்பண்பு பொருந்தும்;
அப்பண்பு பொருந்தாத எந்தவொரு உறுப்பும் $\varnothing$ கணத்தில் இல்லை.

மறுதலையாக, ஏதேனும் ஒரு பண்பு மற்றும் ஏதேனும் ஒரு கணம் V க்கு:

V கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அப்பண்பு பொருந்தும்;
அப்பண்பு பொருந்தாத எந்தவொரு உறுப்பும் V கணத்தில் இல்லை.

என்ற இரு கூற்றுகளும் பொருந்தினால்,

V=\varnothing

உட்கணத்தின் வரையறைப்படி, வெற்றுக் கணமானது எந்தவொரு கணம், A -க்கும் உட்கணமாகும். ஏனென்றால் $\varnothing$ கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு x -ம், கணம் A -ல் இருக்கும். இது உண்மை இல்லையென்றால் A -ல் இல்லாத ஒரு உறுப்பு (குறந்தபட்சம் ஒன்றாவது) $\varnothing$ -ல் இருக்க வேண்டும். அப்படி ஒரு உறுப்பு $\varnothing$ _ல் இருக்குமானால் அது வெற்றுக் கணத்தின் வரையறையான உறுப்புகளே இல்லாத கணம் என்பதற்கு முரண்பாடாக அமையும். எனவே $\varnothing$ கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் A -ல் இருக்கும் என்பதும் அதன் விளைவாக வெற்றுக் கணமானது, A கணத்தின் உட்கணமாகும் என்பதும் மெய்யாகிறது. எனினும் $\varnothing$ கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் என்ற கூற்றானது, ஆணித்தரமான கருத்து கிடையாது, இது ஒரு பொருத்தமற்ற உண்மையாகும். பெரும்பாலும் இக்கூற்று, வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு அனைத்தும் மெய்யாகும் என்றவாறு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

வெற்றுக் கணத்தின் மீதான செயல்கள்

வெற்றுக் கணத்தின் மீதான செயல்கள் வழக்கமான செயல்கள் போன்றவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக,

வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளின் கூட்டுத் தொகை பூச்சியமாகும்.
வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 1 ஆகும்.

இம்முடிவுகள் வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளை விட கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்களின் தன்மையைத்தான் கூறுகின்றன. உதாரணமாக, கூட்டலின் முற்றொருமை உறுப்பு 0, பெருக்கலின் முற்றொருமை 1 என்ற கருத்துதான் இச்செயல்களைப் பற்றிக் கூறும்போது முன்னிற்கிறது.

குறிப்பு

↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.
↑ John B. Conway, Functions of One Complex Variable, 2nd ed. P. 12.

மேற்கோள்கள்

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-44085-2.

[1] Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.

[2] John B. Conway, Functions of One Complex Variable, 2nd ed. P. 12.

[1]

[2]