Аксиома

Аксио́ма (бор. грек. ἀξίωμα «раслама, положение») яки постула́т — нинди дә булса бер теориянең чыганак положениесе, бу теория чикләрендә исбатламалар таләп итмичә дөрес дип табыла һәм аның башка положениеларын исбат итү өчен кулланыла, ә бу положениелар теорема дип атала.

Тәгаенләнеше

Аксиомаларны исбатсыз кабул итү зарурлыгы индуктив сәбәпкә бәйле: һәрбер исбатлама нинди дә булса расламаларга нигезләнергә тиеш, һәм аларның һәрберсенә исбатламалар булу таләбе куелса, очсыз-кырыйсыз чылбыр барлыкка килер иде. Чиксезлеккә китмәс өчен, бу чылбырны берәр урында өзергә кирәк — ягъни кайсыбер расламаларны исбатсыз көе, чыганак итеп кабул итү зарур. Нәкъ шул исбатсыз чыганак расламалар аксиома дип атала да инде. Хәзерге фәндә теге яки бу теория нигезендә яткан аксиомаларның дөрес булуы мәсьәләсе я башка фәнни теорияләр чикләрендә, я каралган теорияне интерпретацияләү аша хәл ителә^[1] Теорияне аксиомалаштыру — чикле я санаулы (мәсәлән, Пеано аксиоматикасындагы кебек) аксиомалардан һәм нәтиҗә кагыйдәләреннән торган җыелманы күрсәтү. Өйрәнелүче объектлар һәм аларның төп мөнәсәбәтләре, шулай ук бу мөнәсәбәтләр буйсынган аксиомалар әйтелгәч, алга таба өйрәнү тик шул аксиомаларга нигезләнергә тиеш. Сайланган аксиомалар тупламалары берничә булырга мөмкин. Мәсәлән, математик логикада, Евклид геометриясендә тиң әһәмияткә ия аксиомалар тупламалары очрый. Тупламадагы аксиомалардан чыгып, логика кагыйдәләрен файдаланганда каршылыкка юлыгылмаса, ягъни бер үк вакытта раслауны исбатлап та, аны кире кагып та булмаса, бу туплама каршылыксыз дип атала. Австрия математигы Курт Гёдель «тулы түгеллек турындагы теоремалар»ны исбатлый, аларга ярашлы, математик аксиомаларның натураль санны ачыклап, кушып һәм кабатлап була торган теләсә кайсы системасы (формаль система) тулы түгел. Бу шуны аңлата: дөреслеге дә, ялганлыгы да бу аксиомалар системасы тарафыннан исбатлана алмаган исәпсез-сансыз күп математик расламалар (функцияләр, аңлатмалар) бар.

Тарихы

«Аксиома» терминын иң элек Аристотель (б.э.к. 384—322 ее.) куллана, алга таба ул Борынгы Греция фәйләсуфләреннән математикага күчә. Евклид «постулат» һәм «аксиома» дигән төшөнчәләрне аера, әмма аларның мәгънәсен аңлатмый. Боэций заманнарыннан постулатлар — таләп (petitio), аксиомалар гомуми төшөнчә буларак тәрҗемә ителә. Башта «аксиома» сүзе «күзгә күренеп торган хакыйкать» мәгънәсендә йөри. Евклид «Башлангычлар»ының төрле манускриптында расламаларны аксиомаларга һәм постулатларга бүлү төрлечә башкарыла, аларның тәртибе туры килми. Күрәсең, күчереп язучылар бу төшенчәләрне төрлечә аңлагандыр. Аксиомаларны күзгә күренеп торган хакыйкать дип кабул итү озак вакытлар дәвам итә. Мәсәлән, Даль сүзлегендә аксиома — «күзгә күренеп торган, исбатлауны таләп итмәгән бәхәссез хакыйкать».

Аксиоманы аңлауның үзгәрүенә Рәсәй математигы Николай Лобачевскийның Евклидныкы булмаган геометриясе сәбәпче була, ул беренче мәртәбә 1820-нче еллар азагында басылып чыга. Студент чагында ук ул Евклидның бишенче постулатын исбатларга тырыша, әмма соңыннан бу ниятеннән бизә. Лобачевский бишенче постулатның бары тик ирекле чикләү булуы һәм башка чикләү белән алмаштыра алуы турында нәтиҗә ясый. Әгәр Евклидның бишенче постулаты исбатлана алса, Лобачевский каршылыкларга очрар иде. Әмма бишенче постулатның яңа юрамасы, күзгә күренеп тормаса да, аксиома ролен үти һәм геометриянең яңа каршылыксыз системасын төзү мөмкинлеген бирә. Башта Лобачевский идеялары танылу алмый (мәсәлән, академик Остроградский алар турында кире фикер әйтә). Соңрак, Лобачевский хезмәтләрен башка телләрдә бастыргач, аңа Гаусс игътибар итә, ул үзе дә Евклидныкы булмаган геометрия өлкәсендә бераз эшләгән була. Ул читләтеп булса да бу хезмәт белән соклануын белдерә. Лобачевский геометриясе авторның вафатыннан соң 10-12 ел үткәч кенә танылу таба. Ул математика дөньясында революция ясый. Гильберт бөтен математиканы аксиомалаштыру буенча зур күләмле проект башлый. Әмма Гёдельнең тулы түгеллек турындагы теоремалары аркасында бу планнар тормышка ашмый. Шулай да бу математиканы формальләштерүгә этәргеч бирә. Мәсәлән, натураль саннар һәм аларның арифметикасы аксиомалары, Канторның күплекләр теориясы барлыкка килә. Бу математикларга теоремалар өчен катгый дөрес исбатламалар эшләү мөмкинлеген бирә. Хәзер аксиомалар үзләренән-үзләре түгел, ә теорияның база элементы сыйфатында нигезләнә — аксиомалар ярыйсы ук ирекле була, әмма күзгә күренеп торуы мотлак түгел. Аксиоматик системаларга бердән-бер таләп — аларның эчке каршылыксызлыгы. Конкрет теория чикләрендәге аксиомалар тупламасының формалашуы критерийлары еш кына прагматик була: формулировканың кыскалыгы, манипуляцияләу җиңеллеге, чыганак төшенчәләр санының мөмкин кадәр әз булуы һ. б. Мондый караш кабул ителгән аксиомаларның дөреслеген гарантияләми. Поппер критериена ярашлы, бердән-бер кире мисал теорияне кире кага һәм, нәтиҗә буларак, аксиомалар системасының ялганлыгын исбатлый, шул ук вакытта раслаучы мисалларның күплеге аксиомалар системасының дөреслеге ихтималлыгын арттыра гына.

Мисаллар

Аксиомаларга мисаллар

Сайлау аксиомасы
Евклидның параллелльлек аксиомасы
Архимед аксиомасы
Күләмлелек аксиомасы
Регулярлык аксиомасы
Тулы индукция аксиомасы
Колмогоров аксиомасы
Булеан аксиомасы.

Аксиомалар системалары мисаллары

Күплекләр теориясе аксиоматикасы
Чын саннар аксиоматикасы
Евклид аксиоматикасы
Гильберт аксиоматикасы.

Шулай ук карагыз

Догмат
Аек акыл
Концепция
Логика
Гипотеза
Формализм (математика)
Факт
Теорема
Күплекләр теориясе
Категорияләр теориясе

Әдәбият

Начала Евклида. Книги I—VI. М.-Л., 1950
Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948

Сылтамалар

Аксиома // Брокгауз һәм Ефрон энциклопедик сүзлеге: 86 томда (82 том һәм 4 өстәмә). Санкт-Петербург: 1890—1907.

Искәрмәләр

↑ Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

[autogenerated12-1] Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

[1]