Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Елементарні перетворення матриці — перетворення матриці , в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють множину розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь , яку представляє ця матриця.
Нехай задана матриця А , що складається з m рядків та n стовпців:
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}
елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:
множення рядка (стовпця) матриці на число.
додавання до рядка (стовпця) інший рядок (стовпець), домножений на довільне число. Дані перетворення також називаються елементарними перетвореннями рядків. Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.
Якщо i -ий рядок матриці A домножити на число α , то А буде виглядати так:
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
α
∗
a
i
1
α
∗
a
i
2
⋯
α
∗
a
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha *a_{i1}&\alpha *a_{i2}&\cdots &\alpha *a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}
Якщо до i -го рядка матриці додати k -ий рядок(домножений на число α ), то A буде виглядати так:
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
i
1
+
α
∗
a
k
1
a
i
2
+
α
∗
a
k
2
⋯
a
i
n
+
α
∗
a
k
n
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}+\alpha *a_{k1}&a_{i2}+\alpha *a_{k2}&\cdots &a_{in}+\alpha *a_{kn}\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}
Елементарні перетворення матриці можна одержати домноженням зліва на елементарні матриці , що відрізняються від одиничної лише одним елементом. Так матриця, що відповідає множенню i -го рядка на
α
{\displaystyle \alpha \,}
T
i
(
α
)
=
[
1
⋱
1
α
1
⋱
1
]
{\displaystyle T_{i}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\alpha &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }
Матриця, що відповідає додаванню до i -го рядка матриці j -го рядка домноженого на число
α
{\displaystyle \alpha \,}
T
i
,
j
(
α
)
=
[
1
⋱
1
⋱
α
1
⋱
1
]
{\displaystyle T_{i,j}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&\alpha &&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}
