Майже просте число

У теорії чисел натуральне число називається k-майже простим, якщо воно має k простих дільників.^[1]^[2]^[3] Більш формально, число n є k-майже простим тоді й тільки тоді, коли Ω (n) = k, де Ω(n) — загальна кількість простих чисел у розкладенні на прості множники числа n (може також розглядатися як сума показників усіх простих чисел):

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{якщо}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

Таким чином, натуральне число є простим тоді і тільки тоді, коли воно 1-майже просте, і напівпросте тоді й тільки тоді, коли воно 2-майже просте. Набір k-майже простих чисел зазвичай позначається P_k. Найменшим k-майже простим є 2^k. Кілька перших k-майже простих чисел:

k	k-майже просте	Послідовність OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040 [Архівовано 29 січня 2018 у Wayback Machine.]
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358 [Архівовано 19 квітня 2019 у Wayback Machine.]
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310 [Архівовано 17 березня 2022 у Wayback Machine.]
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312 [Архівовано 29 березня 2022 у Wayback Machine.]
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272 [Архівовано 6 лютого 2022 у Wayback Machine.]
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
16	65536, 98304, 147456, …	A069276 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
17	131072, 196608, 294912, …	A069278 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
18	262144, 393216, 589824, …	A069279 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281 [Архівовано 28 березня 2022 у Wayback Machine.]

Кількість π_k(n) натуральних чисел, менших або рівних n з точно k простими дільниками (не обов'язково різними) є асимптотичним для:^[4]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

результат Едмунда Ландау.^[5]

Див. також

Теорема Харді–Рамануджана^[en]

Примітки

↑ Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. с. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.
↑ Rényi, Alfréd A. (1948). On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (рос.). 12 (1): 57—78. Архів оригіналу за 8 квітня 2021. Процитовано 28 березня 2022.
↑ Heath-Brown, D. R. (May 1978). Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357—375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.
↑ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.
↑ Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. § 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Т. 1. Chelsea Publishing Company. с. 211.

Джерела

Weisstein, Eric W. Almost prime(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. с. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.

[2] Rényi, Alfréd A. (1948). On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (рос.). 12 (1): 57—78. Архів оригіналу за 8 квітня 2021. Процитовано 28 березня 2022.

[3] Heath-Brown, D. R. (May 1978). Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357—375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.

[4] Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.

[5] Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. § 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Т. 1. Chelsea Publishing Company. с. 211.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]