Опуклий аналіз

3-вимірний опуклий многогранник. Опуклий аналіз включає не тільки вивчення опуклих підмножин евклідових просторів, але й вивчення опуклих функцій на абстрактних просторах.

Опуклий аналіз — це гілка математики, присвячена вивченню властивостей опуклих функцій і опуклих множин, часто застосовується в опуклому програмуванні, підгалузі теорії оптимізації.

Опуклі множини

Опукла множина — це множина $C\subseteq X$ для деякого векторного простору X, така що для будь-яких $x,y\in C$ і $\lambda \in [0,1]$

$\lambda x+(1-\lambda )y\in C$.

Опукла функція

Опукла функція — це будь-яка розширена дійснозначна функція $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$, яка задовольняє нерівності Єнсена, тобто, для будь-яких $x,y\in X$ і будь-якого $\lambda \in [0,1]$

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$.

Еквівалентно, опуклою функцією є будь-яка (розширена) дійснозначна функція, така що її надграфік

$\left\{(x,r)\in X\times \mathbf {R} :f(x)\leqslant r\right\}$

є опуклою множиною.

Опукле спряження

Опукле спряження розширеної (не обов'язково опуклої) функції $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ — це функція $f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$, де X* — спряжений простір простору X, така що

$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}\left\{\langle x^{*},x\rangle -f(x)\right\}.$

Подвійне спряження

Подвійне спряження функції $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ — це спряження спряження, що зазвичай записують як $f^{**}:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Подвійне спряження корисне, коли потрібно показати, що виконується сильна або слабка двоїстість (за допомогою функції збурень).

Для будь-кого $x\in X$ нерівність $f^{**}(x)\leqslant f(x)$ випливає з нерівності Фенхеля. Для власної функції f = f** тоді й лише тоді, коли f опукла і напівнеперервна знизу за теоремою Фенхеля — Моро.

Опукла мінімізація

(Пряма) задача опуклого програмування, це задача вигляду

$\inf _{x\in M}f(x)$

така що $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ є опуклою функцією, а $M\subseteq X$ є опуклою множиною.

Двоїста задача

Принцип двоїстості в оптимізації стверджує, що задачу оптимізації можна розглядати з двох точок зору як пряму задачу або двоїсту задачу.

Загалом, якщо дано двоїсту пару відокремлюваних локально опуклих просторів $\left(X,X^{*}\right)$ та функцію $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, можна визначити пряму задачу як знаходження такого ${\hat {x}}$, що $f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,$ Іншими словами, $f({\hat {x}})$ — це інфімум (точна нижня границя) функції $f$.

Якщо є обмеження, їх можна вбудувати у функцію $f$, якщо покласти ${\tilde {f}}=f+I_{\mathrm {constraints} }$, де $I$ — індикаторна функція. Нехай тепер $F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ (для іншої двоїстої пари $\left(Y,Y^{*}\right)$) — функція збурень, така що $F(x,0)={\tilde {f}}(x)$.

Двоїста задача для цієї функції збурення відносно вибраної задачі визначається як

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})$

де F* — опукле спряження за обома змінними функції F.

Розрив двоїстості — це різниця правої та лівої частин нерівності

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leqslant \inf _{x\in X}F(x,0),\,$

де $F^{*}$ — опукле спряження від обох змінних, а $\sup$ означає супремум (точна верхня границя) .

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leqslant \inf _{x\in X}F(x,0).$

Цей принцип збігається зі слабкою двоїстістю. Якщо обидві сторони рівні, кажуть, задача задовольняє умовам сильної двоїстості.

Існує багато умов для сильної двоїстості, такі як:

• F = F**, де F — функція збурень для прямої та двоїстої задач, а F** — подвійне спряження функції F;
• пряма задача є задачею лінійного програмування;
• Умова Слейтера для задач опуклого програмування.

Двоїстість Лагранжа

Для опуклої задачі мінімізації з обмеженнями-нерівностями

$\min _{x}f(x)$ за умов $g_{i}(x)\leqslant 0$ для i = 1, …, m .

двоїстою задачею Лагранжа буде

$\sup _{u}\inf _{x}L(x,u)$ за умов $u_{i}(x)\geqslant 0$ для i = 1, …, m ,

де цільова функція$L(x,u)$ є двоїстою функцією Лагранжа, визначеною так:

$L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)$

Література

• Осипенко К. Ю. Оптимизация. Ч. 1. Выпуклый анализ (консп. лекций). М.: МГУ. 57 с.
• Осипенко К. Ю. Выпуклый анализ (программа курса и консп. лекций). М.: МГУ. 68 с.
• Петров Н. Н. Выпуклый анализ (консп. лекций). Ижевск: УдмГУ, 2009. 160 с.
• Жадан В. Г. Методы оптимизации. Часть I. Введение в выпуклый анализ и теорию оптимизации: учеб. пос. для студ. вузов по направл. … «Прикладные математика и физика». Москва : МФТИ, 2014. ISBN 978-5-7417-0514-8. (Ч. I). 271 с. Выпуск 300 шт.
• Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладные математика и физика» и смежным направлениям и специальностям / Е. С. Половинкин, М. В. Балашов. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2007. — 438 с.; 22 см — (Физтеховский учебник).; ISBN 978-5-9221-0896-6
• Протасов В. Ю. Выпуклый анализ (консп. лекций. Мехмат МГУ, экономич. поток, 2009 г.). М.: МГУ.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 978-0-521-83378-3.
• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis = 1970. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1997. — ISBN 978-0-691-01586-6.
• Radu Ioan Boţ, Gert Wanka, Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. — Springer, 2009. — ISBN 978-3-642-02885-4.
• Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — С. 106–113. — ISBN 981-238-067-1.
• Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. — Logos Verlag Berlin GmbH, 2010. — ISBN 978-3-8325-2503-3.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
• Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. Fundamentals of convex analysis. — Berlin : Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-3-540-42205-1.
• Ivan Singer. Abstract convex analysis. — New York : John Wiley & Sons, Inc, 1997. — С. xxii+491. — (Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts) — ISBN 0-471-16015-6.
• Stoer J., Witzgall C. Convexity and optimization in finite dimensions. — Berlin : Springer, 1970. — Т. 1. — ISBN 978-0-387-04835-2.
• Kusraev A.G., Kutateladze S.S. Subdifferentials: Theory and Applications. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1995. — ISBN 978-94-011-0265-0.
• Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. 2. — 2-е, перераб. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2003. — ISBN 5–86134–116–8.