Повні і унівалентні функтори

В теорії категорій унівалентним функтором (відповідно Повним функтором) називається функтор, який є ін'ективним (відповідно сюр'єктивним) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом.

Більш точно, нехай C і D — локально малі категорії і нехай F: C → D — функтор з C у D. Цей функтор індукує функцію

$F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$

для кожної пари об'єктів X і Y з C. Функтор F називається

• Унівалентним (або строгим), якщо функція F _{X, Y} є ін'єктивною
• Повним, якщо F _{X, Y} є сюр'єктивною
• Цілком унівалентним (або повним і унівалентним), якщо F _{X, Y} є бієктивною

для кожних X і Y в C.

Властивості

• Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C, тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією, ізоморфною C. Аналогічно, повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах. Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму, тобто якщо F: C → D є цілком унівалентним і $F(x)\cong F(y)$, то $x\cong y$ (в цьому випадку говорять, що функтор F відображає ізоморфізми).
• Для будь-якого унівалентного функтора $F\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {D}}$, якщо $F(f)\colon F(x)\longrightarrow F(y)$ є епіморфізмом (мономорфізмом), то $f\colon x\longrightarrow y$ теж є епіморфізмом (мономорфізмом).

Дійсно якщо $g,h\colon \;y\longrightarrow z$ — морфізми для яких $g\circ f=h\circ f$, то з означення функтора випливає, що $F(g)\circ F(f)=F(h)\circ F(f).$ Оскільки $F(f)$ є епіморфізмом то $F(g)=F(h)$. Оскільки $F$ є унівалентним, то $g=h.$ Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно.

Приклади

• Функтор U: Grp → Set, що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним, оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах-носіях. Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією.
• Функтор, який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентим.

Див. Також

• Повна категорія

Література

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — Москва : Мир.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.