Рівняння руху суцільного середовища
Рівня́ння ру́ху суці́льного середо́вища (англ. Cauchy momentum equation) — векторне рівняння, яке описує баланс імпульсу для суцільного середовища.
Рівняння руху в загальному вигляді вперше було отримане Коші на початку 1820-х років (коротка публікація у 1823 році[1], повна публікація побачила світ у 1828 році[2]).
У декартовій системі координат три проєкції рівняння руху суцільного середовища мають вигляд[3]:
де — густина суцільного середовища, , , — проєкції швидкості середовища, — компоненти тензора напружень, , , — компоненти вектора питомих об'ємних сил, що діють на суцільне середовище (питома сила у розрахунку на одиницю маси). Якщо система відліку, що використовується, не є інерційною, то до числа об'ємних сил слід включати сили інерції.
Вирази, що записані у дужках лівих частин рівнянь, є проєкціями прискорення, тому у деякому сенсі рівняння руху можна розглядати як узагальнення другого закону Ньютона для матеріальної точки сталої маси на випадок суцільного середовища.
У довільній криволінійній системі координат рівняння руху запишеться у вигляді[3]
де символ означає коваріантну похідну по -ій координаті, а по повторюваному індексу робиться сумування від одного до трьох.
Якщо суцільне середовище перебуває у спокої (відносно обраної системи координат), , то рівняння руху перетворюються у рівняння рівноваги
Частковими випадками рівняння руху є
- Рівняння Ейлера (рівняння руху для ідеальної рідини);
- Рівняння Нав'є — Стокса (рівняння руху лінійно-в'язкої рідини);
- Рівняння Нав'є — Ламе (рівняння руху для малих деформацій лінійно-пружного середовища).
- ↑ Cauchy. Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non élastiques // Bulletin de la Société Philomatique. — 1823.
- ↑ Cauchy. Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique.
- ↑ а б Седов Л. И., 1970.
- Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М. : Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с.
- Федорченко А. М. Теоретична фізика. Механіка. — К. : Вища школа, 1971. — 272 с.