Слабке гравітаційне поле

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

$(1)\qquad R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}=kT_{ij}$

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора $g_{ij}$. Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу $k$ при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Лінеаризація рівняння Ейнштейна

Знаходження варіації тензора Річчі

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$ як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор $g_{ij}$, а отже і тензор Рімана $R_{\;ijk}^{s}$. Поряд з цим базовим розподілом матерії $T_{ij}$ розглянемо і дещо змінений розподіл ${\tilde {T}}_{ij}$:

$(2)\qquad {\tilde {T}}_{ij}=T_{ij}+\delta T_{ij}$

який відрізняється від базового на малу величину $\delta T_{ij}$. Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором ${\tilde {T}}_{ij}$ ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

$(3)\qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij};\qquad {\big |}\delta g_{ij}{\big |}\ll 1$

Звичайно, за земними мірками тензор $\delta T_{ij}$ може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора $\delta g_{ij}$ була малою. Цю зміну $\delta g_{ij}$ ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора $\delta g_{ij}$ можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля $\delta \Gamma _{ij}^{s}$ і тензора Рімана $R_{\;ijk}^{s}$ (подробиці обчислень в статті Допоміжні інтеграли з варіаціями):

$(4)\qquad \delta \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}g^{sp}\left(\nabla _{i}\delta g_{pj}+\nabla _{j}\delta g_{ip}-\nabla _{p}\delta g_{ij}\right)$

$(5)\qquad \delta R_{\;ijk}^{s}=\nabla _{j}\delta \Gamma _{ki}^{s}-\nabla _{k}\delta \Gamma _{ji}^{s}$

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі $\delta R_{ij}$. Згорнемо формулу (5) за індексами $(sj)$ і підставимо сюди варіації символів Крістофеля $\delta \Gamma _{ij}^{s}$ із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

$(6)\qquad 2\delta R_{ik}=2\nabla _{s}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-2\nabla _{k}\left(\delta \Gamma _{si}^{s}\right)=g^{sp}\nabla _{s}\left(\nabla _{k}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{kp}-\nabla _{p}\delta g_{ki}\right)-g^{sp}\nabla _{k}\left(\nabla _{s}\delta g_{pi}+\nabla _{i}\delta g_{sp}-\nabla _{p}\delta g_{si}\right)$

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: $\nabla _{s}\delta g_{pi}$ і $-\nabla _{p}\delta g_{si}$. Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів $(p,s)$. Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором $g^{ps}$, в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс $k$ на $j$):

$(7)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\left(g^{sp}\nabla _{s}\nabla _{p}\right)\delta g_{ij}-\nabla _{j}\nabla _{i}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)$

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан $\nabla ^{2}$ (оператор Лапласа — Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах $(ij)$ як друга похідна скаляра:

$(8)\qquad \nabla _{j}\nabla _{i}\phi =\nabla _{j}\left(\partial _{i}\phi \right)=\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\partial _{s}\phi$

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів $(ij)$. Перепишемо формулу (7) ще раз:

$(9)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}\delta g_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}\delta g_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}-\nabla _{i}\nabla _{j}\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)$

Лінійна заміна змінних

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора $\delta g_{ij}$, але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих $\delta g_{ij}$ перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

$(10)\qquad G_{ij}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}$

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор $h_{ij}$, через який виражаються варіації метричного тензора:

$(11)\qquad \delta g_{ij}=a_{ij}^{kl}h_{kl}$

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти $a_{ij}^{kl}$, при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти $a_{ij}^{kl}$, які залежать тільки від метричного тензора $g_{ij}$. І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна $G_{ij}$ залежить від тензора Річчі $R_{ij}$. Отже, нехай:

$(12)\qquad \delta g_{ij}=h_{ij}-{h \over 2}g_{ij};\qquad h=g^{ij}h_{ij}$

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити $h_{ij}$ через $\delta g_{ij}$. Для цього знайдемо слід формули (12):

$(13)\qquad g^{ij}\delta g_{ij}=g^{ij}h_{ij}-{h \over 2}g^{ij}g_{ij}=h-2h=-h$

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії):

$(14)\qquad g^{ij}g_{ij}=4$

Із формул (12) і (13) знаходимо:

$(15)\qquad h_{ij}=\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}$

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

$(16)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}-{g_{pi} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{j}h+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-{g_{pj} \over 2}\nabla ^{p}\nabla _{i}h-\nabla ^{2}\delta g_{ij}+\nabla _{i}\nabla _{j}h$

Очевидно, мішана похідна $\nabla _{i}\nabla _{j}h$ скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

$(17)\qquad 2\delta R_{ij}=\nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}+\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{pj}-\nabla ^{2}\delta g_{ij}$

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від $h_{ij}$ дорівнюватиме нулю:

$(18)\qquad \nabla ^{j}h_{ij}=0$

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати ${\hat {x}}^{i}$ відрізняються від старих на малий вектор $v^{i}$:

$(19)\qquad {\hat {x}}^{i}=x^{i}+v^{i};\qquad {\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}}=\delta _{j}^{i}+{\partial v^{i} \over \partial x^{j}}$

Деяка точка $P$ має координати ${\hat {x}}^{i}$ в нових координатах і $x^{i}+v^{i}$ в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки $P'$ в нових і старих координатах:

$(20)\qquad ds^{2}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})d{\hat {x}}^{i}d{\hat {x}}^{j}=g_{ij}(x+v)dx^{i}dx^{j}$

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

$(21)\qquad \delta g'_{ij}={\hat {g}}_{ij}({\hat {x}})-g_{ij}(x)=-\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)$

Якщо ми до варіації $\delta g_{ij}$ в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора $v^{i}$ (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

$(22)\qquad 0=\nabla ^{j}h_{ij}=\nabla ^{j}\left(\delta g_{ij}-{1 \over 2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}\right)-\nabla ^{j}\left(\nabla _{i}v_{j}+\nabla _{j}v_{i}\right)+{1 \over 2}\nabla _{i}(2\nabla ^{s}v_{s})$

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики $\delta g_{ij}$ ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор $h_{ij}$ через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

$(23)\qquad \nabla ^{p}\nabla _{j}h_{pi}=\left[\nabla ^{p}\nabla _{j}\right]h_{pi}=-R_{j}^{s}h_{si}-R_{sipj}h^{sp}$

тоді формула (17) запишеться так:

$(24)\qquad 2\delta R_{ij}=-\nabla ^{2}g_{ij}-\left(R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}\right)-2R_{sipj}h^{sp}$

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

$(25)\qquad T_{ij}=0;\qquad R_{\;ijk}^{s}=0$

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

$(26)\qquad \delta R_{ij}=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}$

Завершення виводу лінеаризованого рівняння

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову $R_{ijkl}=0$, знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

$(27)\qquad \delta R=\delta \left(g^{ij}R_{ij}\right)=g^{ij}\delta R_{ij}={1 \over 2}\nabla ^{2}h$

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

$(28)\qquad \delta G_{ij}=\delta R_{ij}-{1 \over 2}\delta \left(g_{ij}R\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\delta g_{ij}-{1 \over 2}g_{ij}\left({1 \over 2}\nabla ^{2}h\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}\left(\delta g_{ij}+{h \over 2}g_{ij}\right)=-{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}$

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

$(29)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{ij}=kT_{ij}$

Порівняння з формулами для класичної теорії Всесвітнього тяжіння

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

$(30)\qquad \rho =\rho (x,y,z)$

Тензор енергії-імпульса приблизно матиме такий вигляд:

$(31)\qquad (T_{ij})={\begin{bmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

оскільки тензор напруг речовини $\sigma _{ij}$ набагато менший за величиною за енергію спокою $\rho c^{2}$, і ним можна знехтувати.

Система рівнянь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту $h_{ij}$. Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

$(32)\qquad -{1 \over 2}\nabla ^{2}h_{00}=kc^{2}\rho$

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: $h_{ij}=0$ коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора $h_{ij}$ матиме вигляд, аналогічний до (31):

$(33)\qquad (h_{ij})={\begin{bmatrix}h_{00}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

$(34)\qquad h_{00}=h_{00}(x,y,z)$

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівнянь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли $i=0$:

$(35)\qquad \nabla ^{j}h_{0j}=\partial _{0}h_{00}-\partial _{1}h_{01}-\partial _{2}h_{02}-\partial _{3}h_{03}=0$

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) $h_{00}$ не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю оскільки $h_{0i}=0$ в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

$(36)\qquad \nabla ^{2}=\Box ={\partial ^{2} \over \left(\partial x^{0}\right)^{2}}-\Delta$

де грецькою буквою $\Delta$ позначено тривимірний оператор Лапласа:

$(37)\qquad \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$

Оскільки похідна по часовій змінній $x^{0}$ від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

$(38)\qquad {1 \over 2}\Delta h_{00}=kc^{2}\rho$

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу $\phi$:

$(39)\qquad \Delta \phi =4\pi G\rho$

Величина $h_{00}$ і гравітаційний потенціал $\phi$ пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

$(40)\qquad {\tilde {g}}_{00}=1+{2\phi \over c^{2}}$

$(41)\qquad {\tilde {g}}_{00}=g_{00}+h_{00}-{h \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2};\qquad \left(h=g^{ij}h_{ij}=h_{00}\right)$

звідки отримуємо:

$(42)\qquad {2 \over c^{2}}\phi ={1 \over 2}h_{00}$

Взявши тривимірний лапласіан $\Delta$ від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт $k$ рівняння Ейнштейна:

$(43)\qquad {2 \over c^{2}}4\pi G\rho =kc^{2}\rho$

$(44)\qquad k={8\pi G \over c^{4}}$

Деформація метрики в слабкому гравітаційному полі

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор $h_{ij}$ через гравітаційний потенціал:

$(45)\qquad h_{00}={4\phi \over c^{2}};\qquad h_{ij}=0\;{\mbox{ if }}(ij)\neq {00}$

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

$(46)\qquad g_{00}=g_{00}+h_{00}-{h_{00} \over 2}g_{00}=1+{h_{00} \over 2}=1+{2\phi \over c^{2}}$

$\qquad {\tilde {g}}_{ii}=g_{ii}+h_{ii}-{h_{00} \over 2}g_{ii}=-1+0-{2\phi \over c^{2}}(-1)=-1+{2\phi \over c^{2}};\qquad i=\{1,2,3\}$

$\qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+h_{ij}-{h_{00} \over 2}g_{ij}=0+0-0=0;\qquad i\neq j$

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

$(47)\qquad ({\tilde {g}}_{ij})={\begin{bmatrix}1+{2\phi \over c^{2}}&0&0&0\\0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0&0\\0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}&0\\0&0&0&-1+{2\phi \over c^{2}}\end{bmatrix}}$

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

$(48)\qquad {\tilde {g}}_{00}<1$

а простір в такій же пропорції розтягується:

$(49)\qquad {\big |}{\tilde {g}}_{ii}{\big |}>1$

Теоретичні наслідки лінеаризованого рівняння Ейнштейна

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю Обертання інерційної системи відліку). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підтвердити або спростувати загальну теорію відносності.

Література

• Sean M. Carroll (2003). Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity. Pearson. ISBN 978-0805387322.