Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Чотиривимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з трьома уявними одиницями.

Тобто числа виду $\ a+bi+cj+dk,$

де

$\ a,b,c,d$ — дійсні числа;

$\ i,j,k$  — уявні одиниці,

$\ I=bi+cj+dk$  — уявна частина.

Множення

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

$ij=a+bi+cj+dk$

Погрупувавши доданки

$(i-c)(j-b)=(a+cb)+dk$

Після заміни змінних, отримаємо:

$ij=k$

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно:

$\ (a+bi)+(c+di)j$.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд $\ a+0I.$

• $\ (a_{1}+I_{1})+(a_{2}+I_{2})=(a_{1}+a_{2})+(I_{1}+I_{2})$ — додавання,
• $\ (a_{1}+I_{1})\cdot (a_{2}+I_{2})=a_{1}a_{2}+(a_{1}I_{2}+a_{2}I_{1})+I_{1}I_{2}$ — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Степенева асоціативність

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

$z\cdot z^{2}=z^{2}\cdot z$

$z^{2}=(a+I)(a+I)=(a^{2}+2aI)+I^{2}$

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для $I$.

Другого легко досягти при:

$I^{2}=(bi+cj+dk)^{2}=b^{2}i^{2}+c^{2}j^{2}+d^{2}k^{2}+bc(ij+ji)+bd(ik+ki)+cd(jk+kj)\in \mathbb {R} \quad \forall a,b,c$

Почергово зануляючи всі числа окрім одного отримаємо:

$ij+ji=ik+ki=jk+kj=0$ — антикомутативність добутків $i,j,k$

$i^{2}=a_{ii}\in \mathbb {R}$

$j^{2}=a_{jj}\in \mathbb {R}$

$k^{2}=a_{kk}\in \mathbb {R}$

Альтернативність

• Використавши ще одну із слабких форм асоціативності — альтернативність, отримаємо:

$ij=k$

$kj=a_{jj}\cdot i$, $ik=a_{ii}\cdot j$,

$a_{ii}\cdot jk=a_{kk}\cdot i$ $a_{jj}\cdot ki=a_{kk}\cdot j$

$a_{kk}\cdot ji=a_{ii}a_{jj}\cdot k$.

Розглядаючи тільки варіанти з $i^{2}=-1$, отримаємо комутативність тільки при $j^{2}=-k^{2}$

• Виконавши множення в різному порядку отримаємо асоціативність:

$ijk=jki=kij=a_{kk}$

$kji=ikj=jik=a_{ii}a_{jj}$

Не альтернативні

При відсутності альтернативності, не можливо вивести одні добутки із інших, але легко побачити степенево-асоціативну систему:

• $a_{ii}=a_{jj}=a_{kk}=+1$ гіперболічні кватерніони

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

Таблиці

$i^{2}$	$j^{2}$	$k^{2}$	Назва	$ij=ji$	$ij=-ji$	$\ z,w\in \mathbb {C} ,\quad i_{2}^{2}=-1,\epsilon ^{2}=0$	Примітки
-1	-1	-1	кватерніони	✗	Так	$z+w\cdot i_{2}$
-1	-1	+1	бікомплексні числа	Так	✗	$z+w\cdot i_{2}$	комутативні кватерніони
-1	+1	-1	тессаріни	Так	✗	$z+w\cdot j$	ізоморфні бікомплексним числам
-1	+1	+1	спліт-кватерніони	✗	Так	$z+w\cdot j$
-1	0	0	дуальні комплексні числа	✗	Так	$z+w\cdot \epsilon$
+1	+1	+1	гіперболічні кватерніони	✗	Так

кватерніон / спліт-кватерніон

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	−k	∓1	±i
k	j	∓i	∓1

бікомплексні / тессаріни

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	k	∓1	∓i
k	−j	∓i	±1

гіперболічний
кватерніон

	i	j	k
i	1	k	−j
j	−k	1	i
k	j	−i	1

дуальне
комплексне

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	−k	0	0
k	j	0	0

Ділення

Визначимо операції:

• $\lVert z\rVert \equiv z{\bar {z}}={\bar {z}}z$ — норма числа,
• ${z_{1} \over z_{2}}\equiv {z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \lVert z_{2}\rVert }$ — ділення чисел.

При $I^{2}\in \mathbb {R}$ можна визначити:

• $\ {\overline {a+I}}\equiv a-I$ — спряжене число,
• $\lVert z\rVert \equiv (a^{2}-I^{2})\in \mathbb {R}$.

Діагональний базис

Якщо присутня інволюційна уявна одиниця $\ j^{2}=+1,$ то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

$e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},$

які можна використати як альтернативний базис:

$\ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\tilde {A}}$ чи ${\tilde {B}}$ рівні нулю.

Див. також

• Двовимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)