Mexanik damlash

ζ < 1 boʻlgan kam damlangan prujina-massa tizimi

Damlash — bu tebranish tizimining ichida yoki uning tebranishini kamaytirish yoki oldini olish taʼsiriga ega boʻlgan taʼsir. Jismoniy tizimlarda damping tebranishda saqlanadigan energiyani yoʻqotadigan jarayonlar tomonidan ishlab chiqariladi. Masalan, mexanik tizimlardagi yopishqoq qarshilik (suyuqlikning yopishqoqligi tebranish tizimiga toʻsqinlik qilishi, uning sekinlashishiga olib kelishi mumkin; yopishqoq dampingga qarang), elektron osilatorlardagi qarshilik va optik osilatorlarda yorugʻlikning yutilishi va tarqalishi. Energiya yoʻqotilishiga asoslanmagan damping boshqa tebranish tizimlarida muhim boʻlishi mumkin, masalan, biologik tizimlar va velosipedlarda paydo boʻladiganlar (masalan. Suspenziya — mexanika). Ishqalanish bilan adashtirmaslik kerak, yaʼni tizimga taʼsir qiluvchi tarqatuvchi kuch. Ishqalanish damlashga olib kelishi yoki omili boʻlishi mumkin.

Damlash nisbati tizimdagi tebranishlarning buzilishdan keyin qanday parchalanishini tavsiflovchi oʻlchovsiz oʻlchovdir. Koʻpgina tizimlar statik muvozanat holatidan buzilganda salınımlı xatti-harakatlarni namoyon qiladi. Masalan, prujinaga osilgan massa tortilib, qoʻyib yuborilsa, yuqoriga va pastga sakrashi mumkin. Har bir sakrashda tizim oʻzining muvozanat holatiga qaytishga intiladi, lekin undan oshib ketadi. Baʼzida yoʻqotishlar (masalan, ishqalanish) tizimni namlaydi va tebranishlarning amplituda asta-sekin nolga yoki zaiflashishiga olib kelishi mumkin. Damping nisbati tebranishlarning bir sakrashdan ikkinchisiga qanchalik tez tushishini tavsiflovchi oʻlchovdir.

Damlash nisbati tizim parametri boʻlib, ζ (zeta) bilan belgilanadi, u soʻndirilmagan (ζ = 0), kam damlangan (ζ < 1) dan kritik darajada namlangan (ζ = 1) dan ortiqcha (ζ > 1) gacha oʻzgarishi mumkin.

Tebranuvchi tizimlarning xatti-harakati koʻpincha nazorat qilish muhandisligi, kimyo muhandisligi, mashinasozlik, qurilish muhandisligi va elektrotexnikani oʻz ichiga olgan turli xil fanlarda qiziqish uygʻotadi. Tebranuvchi jismoniy miqdor juda katta farq qiladi va baland binoning shamolda tebranishi yoki elektr motorining tezligi boʻlishi mumkin, ammo normallashtirilgan yoki oʻlchovsiz yondashuv xatti-harakatlarning umumiy tomonlarini tavsiflashda qulay boʻlishi mumkin.

Tebranish holatlari

Mavjud damlash miqdoriga qarab, tizim turli tebranish xatti-harakatlari va oʻz tezligini namoyish etadi.

• Prujina-massa tizimi butunlay yoʻqotishsiz boʻlgan joyda, massa cheksiz tebranadi, har bir sakrash oxirgisiga teng balandlikda boʻladi. Ushbu faraziy holat tebranish deb ataladi.
• Agar tizimda katta yoʻqotishlar boʻlsa, masalan, bahor-massa tajribasi yopishqoq suyuqlikda oʻtkazilsa, massa asta-sekin oʻz holatiga qaytishi mumkin edi. Bu holat overdamped deb ataladi.
• Odatda, massa boshlangʻich pozitsiyasidan oshib ketishga intiladi va keyin qaytib, yana oshib ketadi. Har bir oshib ketish bilan tizimdagi energiyaning bir qismi yoʻqoladi va tebranishlar nolga qarab oʻladi. Bu holat underdamped deb ataladi.
• Haddan tashqari namlangan va past namlangan holatlar oʻrtasida maʼlum darajadagi damping mavjud boʻlib, tizim shunchaki oshib ketmaydi va bitta tebranish qilmaydi. Ushbu holat tanqidiy damlash deb ataladi. Kritik damlash va haddan tashqari damping oʻrtasidagi asosiy farq shundaki, kritik dampingda tizim minimal vaqt ichida muvozanat holatiga qaytadi.

Damlangan sinus toʻlqin

Funktsiya sifatida ifodalangan sönümli sinusoidal toʻlqinning grafigi $y(t)=e^{-t}\cos(2\pi t)$

Damlangan sinus toʻlqin yoki damlash sinusoidi sinusoidal funktsiya boʻlib, vaqt oʻtishi bilan amplitudasi nolga yaqinlashadi. Bu namlangan ikkinchi tartibli tizimlarning kam damlangan holatiga yoki ikkinchi darajali differensial tenglamalarga mos keladi. Damlangan sinus toʻlqinlar odatda fan va muhandislikda, harmonik osilator energiyani etkazib berishdan tezroq yoʻqotadigan joyda kuzatiladi. Vaqt = 0 da boshlangan haqiqiy sinus toʻlqin boshlangʻichdan boshlanadi (amplituda = 0). Kosinus toʻlqini sinus toʻlqinidan fazalar farqi tufayli maksimal qiymatdan boshlanadi. Berilgan sinusoidal toʻlqin shakli sinus va kosinus komponentlariga ega boʻlgan oraliq fazaga ega boʻlishi mumkin. „damlangan sinus toʻlqin“ atamasi boshlangʻich fazasidan qatʼi nazar, barcha soʻrilgan toʻlqin shakllarini tavsiflaydi.

Odatda taxmin qilinadigan dampingning eng keng tarqalgan shakli chiziqli tizimlarda joylashgan shakldir. Bu shakl eksponentsial damping boʻlib, unda ketma-ket choʻqqilarning tashqi qobigʻi eksponensial parchalanish egri chizigʻidir. Yaʼni, har bir keyingi egri chiziqning maksimal nuqtasini ulaganingizda, natija eksponensial yemirilish funksiyasiga oʻxshaydi. Eksponensial namlangan sinusoidning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

$y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )$

bu yerda:

• $y(t)$ — t vaqtidagi oniy amplituda;
• $A$ konvertning dastlabki amplitudasi;
• $\lambda$ t mustaqil oʻzgaruvchining vaqt birliklarining oʻzaro nisbatida yemirilish tezligi;
• $\varphi$ t = 0 da faza burchagi;
• $\omega$ burchak chastotasidir .

Boshqa muhim parametrlarga quyidagilar kiradi:

• Chastotasi : $f=\omega /(2\pi )$, vaqt birligidagi tsikllar soni. U teskari vaqt birliklarida ifodalanadi $t^{-1}$, yoki gerts .
• Vaqt doimiysi : $\tau =1/\lambda$, amplitudaning e faktoriga kamayishi vaqti.
• Yarim yemirilish davri — bu eksponensial amplituda konvertining 2 marta kamayishi uchun ketadigan vaqt. ga teng $\ln(2)/\lambda$ bu taxminan $0.693/\lambda$ .
• Damping nisbati: $\zeta$ chastotaga nisbatan parchalanish tezligining oʻlchovsiz tavsifi, taxminan $\zeta =\lambda /\omega$, yoki aniq $\zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1$ .
• Q omil : $Q=1/(2\zeta )$ damping miqdorining boshqa oʻlchovsiz tavsifi; yuqori Q tebranishga nisbatan sekin dampingni bildiradi.

Damlash nisbati taʼrifi

Oʻzgaruvchan damping nisbatining ikkinchi tartibli tizimga taʼsiri.

Damlash nisbati odatda z (yunoncha zeta) bilan belgilanadigan parametr boʻlib, ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning chastotali javobini tavsiflaydi. Nazorat nazariyasini oʻrganishda ayniqsa muhimdir. Harmonik osilatörde ham muhim ahamiyatga ega. Umuman olganda, damping koeffitsienti yuqori boʻlgan tizimlar (bir yoki undan koʻp) koʻproq damping taʼsirini namoyish etadi. Underdamped tizimlar birdan kamroq qiymatga ega. Kritik darajada namlangan tizimlar toʻliq 1 damlash nisbatiga ega yoki hech boʻlmaganda unga juda yaqin.

Damlash nisbati kritik damlashga nisbatan tizimdagi damlash darajasini ifodalashning matematik vositalarini taʼminlaydi. Massasi m, damlash koeffitsienti c va prujina konstantasi k boʻlgan soʻndirilgan garmonik osilator uchun uni tizimning differentsial tenglamasidagi damlash koeffitsientining kritik damlash koeffitsientiga nisbati sifatida aniqlash mumkin:

$\zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},$

sistemaning harakat tenglamasi bu yerda

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$ .

va tegishli kritik damping koeffitsienti

$c_{c}=2{\sqrt {km}}$

yoki

$c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}$

bu yerda

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ tizimning tabiiy chastotasi.

Damlash nisbati oʻlchovsiz boʻlib, bir xil birliklarning ikki koeffitsienti nisbati hisoblanadi.

Chiqarish

Garmonik osilatorning tabiiy chastotasidan foydalanish ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$ va yuqoridagi damping nisbati taʼrifi, biz buni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.$

Bu tenglama faqat massa-bahor tizimidan koʻra umumiyroq boʻlib, elektr zanjirlari va boshqa sohalarga ham tegishli. Buni yondashuv bilan hal qilish mumkin

$x(t)=Ce^{st},$

Bu yerda C va s ikkalasi ham murakkab konstantalar boʻlib, s qoniqarli

$s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).$

Tenglamani qanoatlantiruvchi s ning ikkita qiymati uchun ikkita shunday yechim birlashtirilib, bir nechta rejimlarda tebranish va parchalanish xossalariga ega boʻlgan umumiy real yechimlarni hosil qilish mumkin:

Damlash kuchi ortib borayotgan osilatorning fazali portreti. U namlantirilmagandan boshlanadi, past namlanishga oʻtadi, keyin tanqidiy namlanadi, keyin esa haddan tashqari namlanadi.

Damlanmagan(undamped)

Bu yerda $\zeta =0$ damlanish oddiy garmonik osilatorga toʻgʻri keladi va u holda eritma oʻxshash koʻrinadi $\exp(i\omega _{n}t)$, kutilganidek. Tabiiy dunyoda bu holat juda kam uchraydi, eng yaqin misollar ishqalanish maqsadli ravishda minimal qiymatlarga tushirilgan holatlardir.

Kam namlangan(underdamped)

Agar s kompleks qiymatlar juftligi boʻlsa, u holda har bir kompleks yechim atamasi oʻxshash tebranish qismi bilan birlashtirilgan yemiruvchi eksponensialdir. ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$. Bu holat uchun sodir boʻladi $\ 0\leq \zeta <1$, va underdamped deb ataladi (masalan, bungee kabeli).

Haddan tashqari damlangan(overdamped)

Agar s haqiqiy qiymatlar juftligi boʻlsa, u holda yechim shunchaki tebranishsiz ikkita yemiruvchi eksponensial yigʻindisidir. Bu holat uchun sodir boʻladi $\zeta >1$, va haddan tashqari damping deb ataladi. Haddan tashqari amortizatsiya amaliy boʻlgan holatlar, agar haddan tashqari oʻtish sodir boʻlsa, fojiali oqibatlarga olib keladi, odatda mexanik emas, balki elektr. Misol uchun, samolyotni avtopilotda qoʻndirish: agar tizim haddan tashqari oshib ketsa va qoʻnish moslamasini juda kech qoʻyib yuborsa, oqibati falokat boʻladi.

Kritik tarzda namlangan(critically damped)

Holat qaerda $\zeta =1$ haddan tashqari namlangan va past namlangan holatlar orasidagi chegara boʻlib, u critically damping deb ataladi. Bu hoʻllangan osilatorning (masalan, eshikni yopish mexanizmi) muhandislik dizayni talab qilinadigan koʻp hollarda kerakli natija boʻlib chiqadi.

Q omil va parchalanish tezligi

$Q$ omil, damping nisbati z va eksponensial yemirilish tezligi a shunday bogʻlanganki:

$\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.$

Ikkinchi tartibli tizim mavjud boʻlganda $\zeta <1$ (yaʼni, tizim zaiflashganda), u ikkita murakkab konjugat qutbga ega boʻlib, ularning har biri $-\alpha$ haqiqiy qismga ega; yaʼni parchalanish tezligi parametri $\alpha$ tebranishlarning eksponensial yemirilish tezligini ifodalaydi. Kamroq damping nisbati pastroq parchalanish tezligini anglatadi va shuning uchun juda kam dampingli tizimlar uzoq vaqt davomida tebranadi. Misol uchun, yuqori sifatli tuning vilkalari, juda kam damping nisbati boʻlgan, uzoq vaqt davom etadigan tebranishga ega boʻlib, bolgʻa bilan urilganidan keyin juda sekin parchalanadi.

Logarifmik pasayish

Kam boʻlmagan tebranishlar uchun damping nisbati ham logarifmik pasayish bilan bogʻliq $\delta$ . Damping nisbati, agar ular qoʻshni boʻlmasa ham, har qanday ikkita tepalik uchun topilishi mumkin. Qoʻshni choʻqqilar uchun:

$\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}$ bu yerda $\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}$

bu yerda x₀ va x₁ har qanday ketma-ket ikkita choʻqqining amplitudalari.

Toʻgʻri rasmda koʻrsatilganidek:

$\delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}$

bu yerda $x_{1}$, $x_{3}$ ketma-ket ikkita musbat choʻqqilarning amplitudalari va $x_{2}$, $x_{4}$ ketma-ket ikkita mnfiy tepalikning amplitudalari.

Foizdan oshib ketish

Nazorat nazariyasida haddan tashqari oshib ketish uning yakuniy, barqaror holat qiymatidan oshib ketishini anglatadi. Bosqichli kiritish uchun foiz oshib ketish (PO) maksimal qiymat minus qadam qiymatining qadam qiymatiga boʻlingan qismidir. Birlik qadamida, haddan tashqari oshib ketish qadam javobining maksimal qiymatidan minus birdir.

Foizning oshib ketishi (PO) amortizatsiya nisbati (z) bilan bogʻliq:

$\mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)$

Aksincha, maʼlum foiz oshib ketishini keltirib chiqaradigan damping nisbati (z) quyidagicha ifodalanadi:

$\zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}$

Misollar va ilovalar

Yopishqoq tortishish

Ob’ekt havodan yiqilib tushganda, uning erkin tushishiga qarshi turadigan yagona kuch havo qarshiligidir. Suv yoki moy orqali tushgan jism kattaroq tezlikda sekinlashadi, natijada tortishish kuchi tortishish kuchi bilan muvozanatga kelganda barqaror holat tezligiga erishadi. Bu, masalan, avtomatik eshiklar yoki piyodalarga qarshi eshiklarda qoʻllaniladigan viskoz tortishish tushunchasi.

Elektr tizimlarida damlash / qarshilik

Oʻzgaruvchan tok (AC) bilan ishlaydigan elektr tizimlari elektr tokini namlash uchun rezistorlardan foydalanadi, chunki ular davriydir. Dimmer kalitlari yoki ovoz balandligi tugmalari elektr tizimidagi dampingga misoldir.

Magnit damlash va Magnetorheologik damlash

Tebranishlarni keltirib chiqaradigan kinetik energiya magnit qutblaridan oʻtish orqali induktsiya qilingan elektr girdab oqimlari tomonidan issiqlik sifatida tarqaladi yoki bobin yoki alyuminiy plastinka. Eddy oqimlari elektromagnit induktsiyaning asosiy komponenti boʻlib, ular tebranish harakatiga toʻgʻridan-toʻgʻri qarshilik koʻrsatadigan magnit oqimni oʻrnatadi va qarshilik kuchini yaratadi. Boshqacha qilib aytganda, magnit kuchlar tomonidan yuzaga keladigan qarshilik tizimni sekinlashtiradi. Ushbu kontseptsiyaning qoʻllanilishiga misol sifatida rollarda tormozlarni keltirish mumkin.

Magnetorheologik amortizatorlar (MR damperlari) magnit maydon taʼsirida yopishqoqlikni oʻzgartiradigan Magnetorheologik suyuqlikdan foydalanadi. Bunday holda, Magnetorheologik dampingni yopishqoq va magnitli damping mexanizmlari bilan dampingning fanlararo shakli deb hisoblash mumkin.

Adabiyotlar

• Britannica, Encyclopædia. „Damping.“ Encyclopædia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc., www.britannica.com/science/damping.
• OpenStax, College. „Physics.“ Lumen, courses.lumenlearning.com/physics/chapter/23-4-eddy-currents-and-magnetic-damping/.