Función polinómica

Una función polinómica es una relación que para cada valor de la entrada proporciona un valor que se multiplique con un polinomio.

Formalmente, a cada variable ${\displaystyle x}$ le asigna un único valor, resultante de sustituirlo en el polinomio asociado a la función:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}P:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=P(x)\end{array}}}$

donde ${\displaystyle P(x)\,}$ es un polinomio definido para todo número real ${\displaystyle x\,}$; es decir, una suma finita de potencias de ${\displaystyle x\,}$ multiplicadas por coeficientes reales, de la forma:^[1]

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$

Entonces, una función polinómica se define simbólicamente:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}}$

tal que:

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

En esta función, la variable es ${\displaystyle x}$, el mayor de los exponentes a los que está elevada esta variable indica el grado del polinomio, los coeficientes ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ son números reales.^[2]

Las funciones polinómicas no constantes (grado mayor que 0), tienden a infinito cuando ${\displaystyle x}$ crece o decrece indefinidamente. El signo del infinito depende del coeficiente principal y del grado del polinomio. Además, si el grado es mayor que 1, la función no tiene asíntotas (si es 0 o 1, la función tiene una asíntota: ${\displaystyle y=f(x)}$).^[3]

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio: