ADE 분류

수학에서 ADE 분류(원래 A-D-E 분류)는 특정 종류의 개체가 단순히 레이스된 다이킨 다이어그램과 일치하는 상황이다.병렬의 사후 검증이 아닌 이러한 분류에 공통의 기원을 제공하는 문제는 (아놀드 1976)에서 제기되었다.간단히 레이스된 Dynkin 다이어그램의 전체 목록은 다음과 같습니다.

(\displaystyle A_{n}, D_{n}, E_{6}, E_{7}, E_{8}).}

여기서 "접합"은 여러 개의 가장자리가 없다는 $\pi /2=90^{\circ }$ 을 의미하며 $,$ $\pi /2=90^{\circ }$ 는 루트 시스템의 모든 단순한 루트에 해당하며, $\pi /2=90^{\circ }$ θ / $\pi /2=90^{\circ }$ $\pi /2=90^{\circ }$ 90 µ {\ $displaystyle \pi$ / $\pi /2=90^{\circ }$ 2 $\pi /2=90^{\circ }$ = $90^$ {\ $displaystyle }$ (정점 사이에 가장자리가 없음) $\pi /2=90^{\circ }$ $2\pi /3=120^{\circ }$ 2 $2\pi /3=120^{\circ }$ / $2\pi /3=120^{\circ }$ $2\pi /3=120^{\circ }$ 120 $2\pi /3=120^{\circ }$ {\ {\ $displaystyle$ 2 $\pi$ / 3 $2\pi /3=120^{\circ }$ = $120$ = 120 $}$ ( $2\pi /3=120^{\circ }$ 정점 사이의 단일 가장자리)입니다.이들은 Dynkin 다이어그램의 4개 패밀리 중 2개( $\$ 및 $B_{n}$ $\$ $B_{n}$ )와 5개의 예외 Dynkin 다이어그램 중 3개( $\$ $G_{2}$ $(\$ $F_{4}$ )입니다.

$D_{n}.$ 리스트는 Dn에 $D_{n}.$ n $D_{n}.$ ${\$ $n\geq 4$ { $displaystyle n$ \ $geq$ 4 } { $displaystyle D$ _ { $n$ }를 $D_{n}.$ $n\geq 4$ 하는 $n\geq 4$ 경우 비장합니다.} $D_{n}.$ 패밀리를 확장하여 용장 용어를 포함하면 예외적인 동형성을 얻을 수 있습니다.

({displaystyle D_{3}\cong A_{3}, E_{4}\cong A_{4}, E_{5}\cong D_{5})

분류된 오브젝트의 동형성을 나타냅니다.

또한 A, D, E 명명법은 동일한 다이어그램에 의해 단순히 레이스된 유한 콕서터 그룹을 생성한다. 이 경우 Dynkin 다이어그램은 다중 에지가 없기 때문에 콕서터 다이어그램과 정확히 일치한다.

리 대수

복잡한 반단순 리 대수의 관점에서:

$(\$ 은 트레이스리스 연산자의 ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),$ l n + $),$ { $displaystyle {mathfrak {sl}_{n+1}(\mathbf {C})$ 에 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C}),$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),$ 합니다 $A_{n}$ .
$(\$ 은 $D_{n}$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$ $),$ \displaystyle { $mathfrak {so}_{2n}(\mathbf {C})$ 에 $\mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C}),$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$ 하며, 짝수 차원 스큐 대칭 연산자의 짝수 특수 직교 Lie 대수에 해당합니다.
$E_{6},E_{7},E_{8}$ $E_{6},E_{7},E_{8}$ $({$ 은 $E_6, E_7, E_8$ 5개의 예외적인 리 대수 중 3개입니다.

콤팩트 리 대수와 대응하는 단순 레이스 리 그룹의 관점에서:

$(\$ 은 특수 ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ S $n$ 1 $SU(n+1);$ 의 대수인 s ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ n + 1 $(\$ $displaystyle$ { $mathfrak {su}_{n+$ 1})에 ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ 합니다 $A_{n}$ $.$
$(\$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ 은 $D_{n}$ 짝수 투영 특수 $PSO(2n)$ $PSO(2n)$ $PSO(2n)$ O $PSO(2n)$ 의 ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ $displaystyle$ \ $mathfrak$ {so $}_{$ $2n})$ 에 $\mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{R}),$ 대응합니다 $.$
$E_{6},E_{7},E_{8}$ $E_{6},E_{7},E_{8}$ $({$ 은 $E_6, E_7, E_8$ 5개의 뛰어난 콤팩트 리 대수 중 3개입니다.

이항 다면체군

이 분류는 이진 다면체 ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ 인 S $SU(2)$ ( $2$ ) \ $displaystyle$ SU ( $2$ ) \ displaystyle SU ( 2 ) \ displaystyle { A $}$ _ n , ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ ~ ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ , ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ ~ ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ , \ $displaystyle$ { $A } _$ { A } $_$ { n ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},$ } , { \ $tilde$ { Dilde } } { n } { \ $tilde$ { n } } } } {{,,,,, 。이러한 그룹의 표현은 이러한 다이어그램으로 이해할 수 있습니다.이 연결은 John McKay의 이름을 따서 McKay 통신으로 알려져 있습니다.플라톤 고체와의 접속은 (Dickson 1959)에 설명되어 있습니다.통신에는 McKay 그래프의 구성이 사용됩니다.

ADE 대응은 대칭의 반사 그룹에 대한 플라톤 고체의 대응이 아닙니다. 예를 들어, ADE 대응에서 사면체, 입방체/팔면체 및 십이면체/이십면체는 반사 그룹인 $E_{6},E_{7},E_{8},$ E $E_{6},E_{7},E_{8},$ 6, E $E_{6},E_{7},E_{8},$ , $E_{6},E_{7},E_{8},$ 8, $E_{6},E_{7},E_{8},$ {\ $displaystyle$ E_ ${6}, E_7}$ 에 $E_6, E_7, E_8,$ $대응합니다.$ edron, 입방체/8면체 및 12면체/이십면체는 대신 Coxeter $A_{3},BC_{3},$ A $A_{3},BC_{3},$ , $A_{3},BC_{3},$ C $A_{3},BC_{3},$ , $A_{3},BC_{3},$ {\ $displaystyle A_{3},$ $H_{3}.$ 3을 나타냅니다 $.$ {\ $displaystyle H_{3}}$

각 이산 서브그룹을 사용하여 구성된 $\mathbf {C} ^{2}$ C $(\$ ^{ $2}})$ 의 오비폴드는 원점에서 ADE형 특이점, 즉 du Val 특이점을 도출한다.

McKay 대응은 2진 다면체 그룹의 쌍을 사용하여 레이스된 Dynkin 도표를 곱하도록 확장할 수 있다.이것은 Slodowy 통신으로 알려져 있으며, Peter Slodowy의 이름을 따서 명명되었습니다. (Stekolshchik 2008)을 참조하십시오.

라벨이 붙은 그래프

ADE 그래프와 확장(아핀) ADE 그래프는 또한 이산 라플라스^[2] 연산자 또는 카르탄 행렬의 관점에서 언급될 수 있는 특정 ^[1]특성을 가진 라벨링의 관점에서 특성화할 수 있다.카르탄 행렬의 관점에서 증명은 (Kac 1990, 페이지 47–54)에서 확인할 수 있다.

아핀 ADE 그래프는 다음과 같은 속성을 가진 양의 라벨링(양수 실수에 의한 노드의 라벨링)을 허용하는 유일한 그래프이다.

임의의 라벨의 2배는 인접한 정점에 있는 라벨의 합계입니다.

즉, 이들은 이산 라플라시안(인접 정점의 합에서 정점의 값을 뺀 값)에 대한 고유값 1을 갖는 유일한 양의 함수이다. 즉, 균질 방정식에 대한 양의 해:

\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }

마찬가지로 $\Delta -I.$ - $\Delta -I.$ I . \ $displaystyle$ \ $Delta$ - $.$ }의 커널에 $\Delta -I.$ 있는 양의 함수는 스케일까지 고유하며, 가장 작은 숫자가 1이 되도록 정규화된 경우 그래프에 따라 1 ~6의 작은 정수로 구성됩니다.

일반 ADE 그래프는 다음과 같은 특성을 가진 양의 라벨을 허용하는 유일한 그래프이다.

임의의 라벨의 2배에서 2를 뺀 값은 인접한 정점에 있는 라벨의 합계입니다.

라플라시안 관점에서 비균질 방정식에 대한 양의 해는 다음과 같다.

\displaystyle \Delta \phi = \phi - 2 . \ }

결과 번호는 고유하며(척도는 "2"로 지정됨), 정수로 구성됩니다. E의 경우₈ 58에서 270 사이이며, (부르바키 1968)부터 관측되었습니다.

기타 분류

기본 재해는 ADE 분류로도 분류된다.

ADE 다이어그램은 가브리엘의 정리를 통해 정확히 유한 유형의 제곱수이다.

또한 각 라인에 3개의 점이 있는 3개의 비퇴화 GQ는 3개의 예외적인 루트 시스템₆ E, E₇ 및₈ ^[3]E에 대응하므로 일반화 사각형과의 링크도 있습니다.클래스 A와 D는 각각 ^[4]회선 세트가 비어 있거나 모든 회선이 고정점을 통과하는 퇴화 케이스에 대응합니다.

분류에 ^{[citation needed]}의해 암시된 이 물체들 사이에는 깊은 연관성이 있다; 이러한 연관성들 중 일부는 끈 이론과 양자역학을 통해 이해될 수 있다.

작은 물방울 클러스터의 대칭성은 ADE ^[5]분류의 대상이 될 수 있다고 제안되었다.

2차원 컨포멀 필드 이론의 최소 모델은 ADE 분류를 가지고 있다.

단일 게이지 그룹이 있는 ${\mathcal {N}}=2$ N $=$ $(\style\mathcal {N$ }}= $2}$ 초정형 ${\mathcal {N}}=2$ 게이지 진동자 이론은 ADE 분류를 가지고 있다.

삼위일체

아놀드는 그 후 "수학적인 삼위일체"^[6]^[7]라는 루브릭 아래 이러한 맥락에서^[which?] 더 많은 연관성을 제안했고, 맥케이는 그의 서신을 평행하고 때로는 겹치는 선을 따라 확장했다.아놀드는 종교를 환기시키기 위해 이러한 "삼각성"을 언급하고, 비록 어떤 유사점들은 정교하지만, 이러한 유사점들은 엄밀한 증거보다는 믿음에 더 의존한다는 것을 암시합니다.다른 ^[8]^[9]^[10]저자들에 의해 더 많은 삼위일체가 제안되었다.아놀드의 삼위일체들은 R/C/H(실수, 복소수, 사위수)에서 시작되며, 그가 이전에 가졌던 고전 리만 기하학의 심플렉틱 유추들을 찾는 것과 유추함으로써, 그가 "모든 사람이 알고 있는" R/C/H로 시작하고, 다른 삼위일체들을 고전 수학의 "복소화"와 "사위"로 상상한다.y는 1970년대에 제안했습니다.미분 위상(특징 클래스 등)의 예에 더해, 아놀드는 세 개의 플라톤 대칭(사면체, 팔면체, 이십면체)을 실, 복소, 사분면에 대응하고, 그 다음에 맥케이의 보다 대수적인 대응과 연결된다고 생각한다.

McKay의 서신들은 묘사하기 더 쉽다.첫째, 확장 Dynkin ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ E ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ ~ ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ , ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ E ~ ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ , ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ E ~ ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ ({ $displaystyle {E}}_{7},$ {\ $tilde {E}}_{8})($ 사면체, 팔면체 및 이면체 대칭에 대응)는 대칭 그룹 $S_{3},S_{2},S_{1},$ $S_{3},S_{2},S_{1},$ , $S_style,$ $S_{3},S_{2},S_{1},$ $S_{3},S_{2},S_{1},$ . ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ 된 폴딩은 ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ G ~ ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ , ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ ~ ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ , E ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ ~ $({displaystyle$ { $G}_$ {2 $}, {\tilde {$ F}}_ ${4},$ {\ $tilde {E}}_{$ 8})입니다(세심한 글쓰기에서는 확장(칠데) 수식자가 생략되는 경우가 많습니다).더 중요한 것은, McKay가 ${\tilde {E}}_{8}$ E ${\tilde {E}}_{8}$ ~ ${\tilde {E}}_{8}$ ({ $displaystyle {E}}$ _ ${8})$ ${\tilde {E}}_{8}$ 의 노드들과 McKay의 E ^[11]^[12]관찰로₈ 알려진 몬스터 그룹의 특정 켤레 클래스 사이의 대응 관계를 제안한다는 것입니다. 괴물 문샤인도 참조하십시오.McKay는 또한 E ${\tilde {E}}_{7}$ ~ ${\tilde {E}}_{7}$ 의 ${\tilde {E}}_{7}$ (\ $displaystyle {E}_{7})$ 를 $\tilde E_7$ 2.B(아기 몬스터 그룹의 순서 2 확장)에, E ${\tilde {E}}_{6}$ ~ ${\tilde {E}}_{6}$ 의 ${\tilde {E}}_{6}$ (\ $displaystyle {E}_$ 를 3의 결합 클래스에 관련짓습니다.Fi₂₄'(피셔 ^[12]그룹의 순서 3 확장) – 이들은 3개의 가장 큰 산발적 그룹이며 확장 순서는 다이어그램의 대칭에 해당합니다.

단순 대형 그룹에서 소규모 그룹으로 전환하면 대응하는 Platonic $A_{4},S_{4},A_{5}$ $A_{4},S_{4},A_{5}$ $A_{4},S_{4},A_{5}$ $(\$ 는 $A_4, S_4, A_5$ 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,5), PSL(2,7), PSL(2,11)(660)^[13]^[14]과 접속되어 있습니다.이 그룹들은 PSL(2,p)이 p점에 대해 비삼분적으로 작용하도록 p에 대한 유일한(단순) 값이며, 이는 1830년대에 에바리스 갈로아로 거슬러 올라간다.실제로 그룹은 $A_{4}\times Z_{5},$ × $A_{4}\times Z_{5},$ 5, \ display style $A_{4}$ \ $times$ Z_ ${5}$ $A_{4}\times Z_{5},$ $S_{4}\times Z_{7},$ × $S_{4}\times Z_{7},$ , $S_{4}\times Z_{7},$ \ $display style$ S_ ${4}$ \ $times$ Z_ ${7}$ 및 $S_{4}\times Z_{7},$ $A_{5}\times Z_{11}.$ 5 × $A_{5}\times Z_{11}.$ $A_{5}\times Z_{11}.$ . \ $style$ A_ ${$ Z { $times$ }와 같이 집합의 곱으로 분해됩니다 $.$ $A_{5}\times Z_{11}.$ 이러한 그룹은 또한 1870년대 펠릭스 클라인까지 거슬러 올라가는 다양한 기하학과 관련이 있다. 역사적 논의를 위한 20면체 대칭: 관련 기하학, 그리고 보다 최근의 설명을 위한 (Kostant 1995)을 참조한다.p점에 대한 작용을 볼 수 있는 관련 기하학(리만 표면의 기울기)은 다음과 같다. PSL(2,5)은 5개의 4면체의 화합물을 5개의 요소 집합으로 하는 20면체(일반 0)의 대칭이며, PSL(2,7)은 내장 평면(상보적 평면)을 가진다.d PSL(2,11) 11 요소 세트(3차 양면)^[16]로서 내장 Paley 양면이 있는 벅민스터 풀레렌 표면(제너스 70).이 중 20면체는 고대로 거슬러 올라가며, 클라인 사분원은 1870년대에 클라인에, 버키볼 표면은 2008년에 파블로 마틴과 데이비드 싱거먼에 이른다.

맥케이는 또한 각각 E, E₇, E와₈ 입방체 표면의 27개 선, 평면 4차 곡선의 28개 역각 및 ^[17]^[18]4속 카논식 6차 곡선의 120개 삼중탄각 평면을 관련짓는다₆.첫 번째 라인은 잘 알려져 있는 반면 두 번째 라인은 다음과 같이 연결되어 있습니다. 두 번째 라인은 직선이 아닌 임의의 점에서 입방체를 투영하면 평면의 이중 커버가 생성되고 사분곡선을 따라 분기되며 27개의 라인이 28개의 역도 중 27개에 매핑되며 28번째 라인은 예외적인 블로우업 곡선의 이미지입니다.E, E₇, E의₈ 기본₆ 표현은 치수 27, 56(28·2) 및 248(120+128)을 가지며, 루트 수는 27+45 = 72, 56+70 = 126, 112+128 = 240이다.이것은 또한 E를 산발적인 단순 그룹인 몬스터, 베이비, 피셔 24'와 연관짓는 체계에도_8,7,6 적합해야 한다.

「」를 참조해 주세요.

타원면

레퍼런스

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원천

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외부 링크

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The McKay 통신, 토니 스미스
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[10] Bruyn, Lieven (20 June 2008), Arnold's trinities version 2.0

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[14] Bruyn, Lieven (12 June 2008), Galois’ last letter, archived from the original on 2010-08-15

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