항이마트로이드

수학에서 항이마토드는 한 번에 하나씩 원소를 포함시켜 세트가 쌓이고, 한 번 포함될 수 있는 원소가 포함될 때까지 사용 가능한 상태로 남아 있는 과정을 기술하는 형식적인 시스템이다.^[1] 항이마트로이드는 일반적으로 그러한 프로세스의 가능한 상태를 모델링하는 세트 시스템 또는 요소가 포함될 수 있는 다른 시퀀스를 모델링하는 공식 언어로서 두 가지 동등한 방법으로 공리화된다. 딜워스(1940년)는 격자 이론에 기초한 또 다른 공리화를 사용하여 항이마트로이드를 처음으로 연구했으며, 다른 맥락에서 자주 재발견되었다.^[2]

항이마트로이드를 세트 시스템으로 정의하는 공리는 매우 유사하지만, 매트로이드는 교환 공리에 의해 정의되는 반면, 항이마트로이드는 그 이름이 유래된 반 교환 공리에 의해 대신 정의된다. 항이마트로이드는 탐욕체와 반모형 격자의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 부분 주문과 분배 격자의 일반화로 볼 수 있다. 항이마트로이드는 기하학에서 볼록한 집합의 결합기 추상화인 볼록 기하학과의 보완에 의해 동등하다.

항이마트로이드는 스케줄링 문제에서 모델 우선 순위 제약, 시뮬레이션에서 잠재적 이벤트 순서, 인공지능에서 작업 계획, 인간 학습자의 지식 상태 등에 적용되었다.

정의들

항이마트로이드(antimatroid)는 다음과 같은 두 가지 속성을 가진 유한 패밀리 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 집합으로$$ 정의될 수 있다.^[3]

• 어떤 두개의 실현 가능한 집합의 결합도 또한 실현 가능하다. 즉, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 유니온에 의해 폐쇄된다.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 비실용 가능한 세트인 경우, $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $S$$}$에 $대한{\displaystyle }$ $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ X}이(S${\$$displaystyle S$에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty$x}을$($를 제거하여 구성한 세트)도 가능하다$.$ 즉, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 접근 가능한 세트 시스템이다.

또한 항이마트로이드는 공식 언어, 즉 유한한 기호 알파벳에서 정의한 문자열 집합으로서 동등한 정의를 가지고 있다. 이 집합에 속하는 문자열을 언어의 낱말이라고 한다. 항이마트로드를 정의하는$$ 언어 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 다음 속성을 충족해야 한다.^[4]

• 알파벳의 모든 기호는 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 최소 한 단어로 나타난다$.$
• $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 각 단어에는 각 기호의 복사본이 최대 한 개씩 포함되어$$ 있다. 이 속성을 가진 언어를 정상이라고 한다.^[5]
• $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 단어의 모든 접두어도 L$$ ${\$에 있다$.$ 이 속성을 가진 언어를 세습이라고 한다.^[5]
• If ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle T}$ are words in ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, and ${\displaystyle S}$ contains at least one symbol that is not in ${\displaystyle T}$, then there is a symbol ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle S}$ such that the concatenation ${\d$$isplaystyle Tx}$은(는) $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 다른 말이다$.$

이 두 가지 형태의 정의의 등가성은 다음과 같이 볼 수 있다. $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 정식$$ 언어로 정의된 반물질이라면 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 단어에 있는 기호 집합이 접근 가능한 조합 폐쇄형 집합 시스템을 형성한다$$. 문자열의 세습적 속성으로 접근할 수 있으며, 문자열의 결합적 속성을 반복적으로 적용하면 결합-폐쇄됨을 보여줄 수 있다. 다른 방향에서 접근 가능한 유니온 폐쇄형 세트 시스템 F ${\$에서 접두사가 모두 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 속하는 기호 집합을 갖는 일반 문자열의 언어는 항이마트로이드(antimattroid)가 되기 위한 요구사항을 충족한다$.$ 이 두 변형은 서로 반대되는 것이다: 형식적인 언어를 정해진 패밀리로 변형시키는 것과 반대로, 같은 시스템을 만들어 내는 것이다. 따라서 이 두 가지 정의는 수학적으로 동등한 오브젝트 등급으로 이어진다.^[6]

예

다음 시스템은 항이마트로이드의 예를 제공한다.

사슬항미생물

단일 문자열의 접두사 및 이러한 접두사의 기호 집합은 항이마트로드를 형성한다. $예$를 들어 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle abcd}$ 문자열에 의해 정의된 체인 항이마트로이드(antimatroid)는 문자열 집합을 공식 언어로 가지고$$ 있다.

$$\displaystyle \{\barepsilon ,a,ab,properties,abcd\}}$$

(여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$은(는) 빈 문자열을 나타내며$$, 실현 가능한 계열로서 패밀리를^[7] 설정한다.

$${\displaystyle {\bigl \{}\bigl \{a\},\{a,b\},c\},\{a,b,c,d\}{\bigr \}}.}$$

포셋항미생물

유한 부분 순서 집합의 하위 집합은 항이마트로드를 형성하며, 항이마트로이드의 전체 길이 단어가 부분 순서의 선형 확장을 형성한다.^[8] Birkhoff의 분배 격자에 대한 대표 정리에 의해, 포셋 항이마트로이드(set conclusion)에서 실현 가능한 집합은 분배 격자를 형성하며, 모든 분배 격자는 이러한 방식으로 형성될 수 있다. 따라서, 반물질은 분배 격자의 일반화로 볼 수 있다. 사슬 항이마토드는 총 주문에 대한 포셋 항이마토이드의 특별한 경우다.^[7]

포탄항미생물

유클리드 평면이나 고차원 유클리드 공간에서 유한한$$ $세트{\displaystyle }$ U ${\displaystyle$U}의 포탄 순서는 볼록 선체의 정점을 반복적으로 제거함으로써 형성된다. 이러한 시퀀스에 의해 형성된 항이마트로이드의 실현 가능한 집합은 볼록한 집합의 보완으로 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 교차점이다.^[7] 모든 반물질은 충분히 고차원적인 공간에 있는 점들의 포격 반물질에 대해 이형적이다.^[9]

완벽한 제거

코드 그래프의 완벽한 제거 순서는 각 $꼭지점{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$에 대해$$순서에서$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$보다 나중에 발생하는 $v$ ${\displaystyle v}$의 인접 항목이 클라이크 형식으로 나타나는 정점의 순서다. 화음 그래프의 완벽한 제거 순서의 접두사는 항이마트로이드(antimatroid)를 형성한다.^[10]

칩 발사 게임

아벨리안 샌드파일 모델과 같은 칩 발사 게임은 정점에 "칩"을 배치한 시스템과 함께 지시된 그래프에 의해 정의된다. 꼭지점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 칩 수가 $적어도$ v ${\displaystyle v}$의 가장자리 수만큼 클 때마다 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을$($를) 발사하여 하나의 칩을 각각의 인접한 꼭지점으로 이동할 수 있다$.$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 $대해$ v {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ v}이$$(가) $i{\displaystyle }$ -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle i-1}$을(를) 이미 발사하고 누적 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{deg}(v}$) ${\displaysty i\cdot \deg(v)}$개의 총$$ 칩을 발사했을 경우에만 이벤트가 발생할 수 있다. 이러한 조건은 이전 발생의 순서에 따라 달라지지 않으며, $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 실행될 때까지 참으로 유지되므로, 시스템이 종료되는 모든 주어진 그래프와 칩의 초기 배치에서는 ${\displaystyle 쌍(v}$ ,${\displaystyle }$i ) ${\displaystyle (v,i)}$에 반물질로 정의된다$.$ 이러한 시스템의 반물질 속성의 결과는 tha이다.t, 주어진 초기 상태의 경우, 각 꼭지점이 발사되는 횟수와 최종적으로는 시스템의 안정 상태가 발사 순서에 따라 달라지지 않는다.^[11]

경로 및 기본 단어

항이마트로이드의 설정 이론적 공리화에는 항이마트로이드의 집합이 정확히 경로의 조합이라는 의미에서 전체 항이마트로이드라고 불리는 어떤 특별한 집합이 있다.^[12] $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 항이마트로이드의 실현 가능한 집합이라면, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 제거하여 다른$$ 실행 가능한 집합을 구성할 수 있는$$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystysty S}$의 끝점이라고 하며$,$ 끝점이 하나만 있는 실행 가능한 집합을 항이 가능한 집합의 경로라고 한다.^[13] 경로군은 항이마트로이드의 경로 포셋을 형성하는 세트포함 방식으로 부분적으로 정렬할 수 있다.^[14]

항이마트로이드의 모든$$ 가능한 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 $요소{\displaystyle }$ x ${\$$displaystyle$ $x}$에 대해$,$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x$$}$이(가$$$$) 끝점인 $S{\displaystyle }$ {\$displaystytyle$ x}의 경로 하위 집합을$$ 찾을 수 있다.uch 제거는 실현 가능한 하위 집합을 남긴다. 따라서 항이마트로이드에 설정된 각각의 실현 가능한 것은 경로 하위 집합의 결합이다.^[12] $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$이(가) 경로가 아닌$$ 경우 이 조합의 각 하위 집합은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 적절한 하위 집합이지만$,$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$$}$이(가) $끝점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이$($가) 있는 경로라면 $안티마트로이드$에 속하는$$ S ${\displaystystystytyone$ x$}$은 제외된다$.$ 따라서 항이마트로이드의 경로는 정확히 타당성 있는 하위 집합의 조합과 같지 않은 실현 가능한 집합이다. Equivalently, a given family of sets ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ forms the family of paths of an antimatroid if and only if, for each ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, the union of subsets of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ has one fewer element $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 그 자체보다$$.^[15] 그렇다면 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 그 자체는$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 하위 집합 조합의 계열이다$.$^[12]

항이마토이드의 공식 언어에서는 가장 긴 줄을 기본어라고 부른다. 각각의 기본 단어는 전체 알파벳의 순열을 형성한다.^[16] $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 기본 단어 집합인 경우, $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\mathcal$ {$L}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle B}$에서 단어 접두사 집합으로$$ 정의할 수 있다$$$.$^[17]

볼록 기하학

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 항이마트로드를 정의하는 세트 시스템이고$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이$($가) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 세트 조합과 같다면$$ 세트 제품군

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 세트를 보완하여 볼록 기하학이라고도 하며$$, $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 세트를 볼록 세트라고 한다$$. 예를 들어, 포격 항이마토이드에서 볼록 집합은 유클리드 공간의 볼록 하위 집합과 함께 주어진 점 집합의 교차점이다. 볼록 형상을 정의하는 설정 시스템은 교차점에서 닫아야 한다. For any set ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ that is not equal to ${\displaystyle U}$ there must be an element ${\displaystyle x}$ not in ${\displaystyle S}$ that can be added to ${\displaystyle S}$ to form another set in ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.^[18]

$볼록{\displaystyle }$ 형상은 U ${\displaystyle U}$의 하위 집합을 최소 닫힌 상위 집합에$$ 매핑하는$$ 폐쇄 연산자 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 관점에서 정의될 수도 있다. $폐쇄{\displaystyle }$ 연산자가 되려면 ▼ ${\displaystyle \tau }$에 다음 속성이 있어야 한다$$.^[19]

• ${\displaystyle \tau }$ (${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle \tau (\emptyet )=\emptyet }$: 빈 집합의 폐쇄는 비어 있다.
• For every subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle S}$ is a subset of ${\displaystyle \tau (S)}$ and ${\displaystyle \tau (S)=\tau {\bigl (}\tau (S){\bigr )}}$.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\subset T\subset$ U$},$$$τ (${\displaystyle S)}$ {\$displaystyle \tau$ ($S)}$는 (${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\dispatchstyle \tau (T)}$의 하위 집합이다$.$

이 형식의 폐쇄 작동으로 인한 폐쇄 세트 패밀리는 교차로에서 반드시 닫히지만 볼록 형상은 아닐 수 있다. 볼록 형상을 정의하는 폐쇄 연산자는 다음과 같은 추가적인 반교환 공리도 만족한다.

• If ${\displaystyle S}$ is a subset of ${\displaystyle U}$, and ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle z}$ are distinct elements of ${\displaystyle U}$ that do not belong to ${\displaystyle \tau (S)}$, but ${\displaystyle z}$ does belong to ${\displaystyle \tau (S\cu$$p \{y$ 그러면 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) $\tau {\displaystyle (S}$ ${\displaystyle \cup }${ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle \tau(S\cup \{z\}})$에 속하지 않는다$.$^[19]

이 공리를 만족시키는 폐쇄작전을 반환폐쇄라고 한다. If ${\displaystyle S}$ is a closed set in an anti-exchange closure, then the anti-exchange axiom determines a partial order on the elements not belonging to ${\displaystyle S}$, where ${\displaystyle x\leq y}$ in the partial order when ${\displaystyle x}$ belongs to ${\displaystyle \tau (S\c$$\{y$ x ${\displaystyle x}$이(가) 이 부분 순서의 최소 요소인$$ $경우{\displaystyle }$, S ${\displaystyle S\cup$\cup \{$x\}}$은(는) 닫힌다$$. 즉, 환차단 폐쇄 집합의 패밀리는 범용 집합 이외의 집합에 대해 다른 폐쇄 집합을 생성하기 위해 추가할 수 있는 요소$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 있는 속성을 갖는다. 이 특성은 항이마트로이드의 접근성 특성을 보완하며, 폐쇄형 집합의 교차점이 닫힌다는 사실은 항이마트로이드에서 실현 가능한 집합의 결합이 실현 가능한 특성을 보완한다. 따라서, 어떤 항환 폐쇄의 닫힌 집합의 보완은 항우울제를 형성한다.^[18]

볼록이 설정되는 비방향 그래프(부분집합에서 정점 사이의 최단 경로를 모두 포함하는 정점의 하위 집합)가 볼록 형상을 이루는 것이 정확히 Ptolemaic 그래프다.^[20]

조인-분산 래티

실현 가능한 항이마트로이드의 두 세트마다 고유한 최소 상한(그들의 결합)과 최대 하한(둘 다 포함된 항이마트로이드의 집합의 결합)이 있다. 따라서 부분적으로 세트 포함에 의해 정렬된 반물질의 실현 가능한 집합은 격자를 형성한다. 항이마토이드의 다양한 중요한 특징들은 격자-이성 용어로 해석될 수 있다. 예를 들어 항이마토이드의 경로는 해당 격자의 결합-불가성 요소이며, 항이마토이드의 기본 단어는 격자 내 최대 사슬에 해당한다. 이러한 방식으로 반물질로부터 발생하는 격자는 유한한 분배 격자를 일반화하며, 몇 가지 다른 방법으로 특성화할 수 있다.

• Dilworth(1940)가 원래 고려했던 설명은 격자의 확인 불가능한 요소들을 충족시키는 것에 관한 것이다. 항imatroid의 각$$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해, $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$을(를) 포함하지 $않는$ 고유한 최대 실현 가능한 집합 ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$이(가) 존재하며$,$$$이 집합은 x {\$displaystystyle$ x$\}$을 포함하지 않는 모든 실행 가능한 집합의 조합으로 구성할 수 있다$$. 이 세트 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) 자동으로 met-inreducible로, 어떤 큰 격자 원소의 만남이 아니라는 것을 의미한다. 이는 S ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 모든 실현 가능한 상위 $집합$이 x$${\$displaystyle x$을 포함하기 때문에, 따라서 실현 가능한 상위 집합의 모든 교차점에서도 동일하기 때문이다. 임의 격자의 모든 요소는 종종 다방면으로 충족 불능 집합의 집합으로 분해될 수 있지만, 반물질에 해당하는 격자에서 각 요소 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$은(는) 충족이 T ${\displaystyle T}$인 고유한 최소 충족 불능 집합 집합을 가지고$$ 있다$;$ 이 $집합$은 S x ${\displaystyle x_{}}$ 집합으로 구성된다.$$$원소{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한$$ ${\displaystyle S_{x},$ T ${\displaystyle T\cup \{x\}}$이(가) 실현 가능하다$$. 즉, 격자에는 독특한 미합성 분해물이 있다.
• 두 번째 특성화는 격자 내 간격, $즉{\displaystyle }$ 모든 격자 원소 x${\displaystyle y}$ y$$${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $x$$\leq y}$과 모든 격자 ${\displaystyle \mathrm{원소}}$ z ${\displaystyle z}$로 구성된$$ 격자 원소 쌍에 의해 정의된 하위 격자와 관련이 있다$.$ 간격은 원자(mi)의 결합인 경우 원자성이다.하단 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x})$ 위의 nimal 요소이며, 유한 집합의 모든 하위 집합의 격자에 이형인 경우 부울이다. 항이마트로이드의 경우 원자성인 모든 구간도 부울이다.
• 셋째, 반모형 격자, 반모형 격자, 반모형 격자, 매 두 원소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ 및 $y$ ${\displaystyle$ $y}$에 $대해{\displaystyle }$ y${\$$displaystyle x\wedge y}$을(를$)$ 포함하면${\displaystyle }$$x를$$$포함한다는$$ 상위 반모형 법칙을 충족하는 격자.$isplaystyle x$ 이 조건을 반물질의 실현 가능한 집합으로 변환하며, 실현 가능한 $집합{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$이(가) 다른 실현 가능한 $집합{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X}에 속하지 않는 한 요소만 있는 경우, 그$$ 한 $요소$를$$X ${\\displaystystyle$ X}에 추가하여$$ 반물질에 다른 집합을 구성할 수 있다. Additionally, the lattice of an antimatroid has the meet-semidistributive property: for all lattice elements ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle z}$, if ${\displaystyle x\wedge y}$ and ${\displaystyle x\wedge z}$ equal each other then they also both equal ${\displaystyle x\wedge (y\vee z)}$$[\displaystyle x\wedge (y\vee$ z$)}$반모형 및 모임-분산형 격자(meet-semiderial lattice)는 결합분산 격자(join-distributional lattice)라고 불린다.

이 세 가지 특성은 동등하다: 고유한 충족 불가분해를 가진 격자는 부울 원자성 간격이 있고 결합 분산형이며, 부울 원자성 간격이 있는 격자는 고유한 충족 불가분산을 가지며 결합 분배형 격자는 고유한 결합 분산형 격자가 있으며, 모든 결합 분배 격자는 고유한 충족 불가분산을 가진다. 부울 원자성 ^[21]간격 따라서 우리는 이 세 가지 특성 중 어느 하나를 가진 격자를 결합 분배라고 할 수 있다. 어떤 항이마트로이드라도 유한 결합-분산 격자를 발생시키고, 어떤 유한 결합-분산 격자는 이런 식으로 항이마트로이드에서 나온다.^[22] 유한 결합 분배 격자의 또 다른 등가 특성화는 등급이 매겨져 있다는 것이다(어떤 두 개의 최대 체인이라도 길이가 같다), 최대 체인 길이는 격자의 충족 불가 요소 수와 같다.^[23] 유한 결합-분산 격자를 나타내는 항이마트로드는 격자로부터 복구할 수 있다: 항이마트로이드의 요소는 격자의 충족 불능 요소로 간주할 수 있으며, 격자의 모든$$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$x}에 해당하는 실현 가능한 세트는 충족 불능 요소 $y$로 $구성된다$$.$$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 격자의 $x$ ${\displaystyle x}$보다 크거나 같지 않은 $isplaystyle y}.$

이러한 유한 결합-분산 격자의 표현은 조합에 따라 폐쇄된 집합의 접근 가능한 집합(즉, 반물질로)으로서 비르코프 대표 정리의 아날로그로 볼 수 있으며, 이 경우 유한 분배 격자는 조합과 교차점에 따라 폐쇄된 집합 집합의 집합으로서 표현된다.

슈퍼솔루블항미생물

콕시터 그룹의 요소들에 대한 부분적인 순서를 정의하는 문제에 의해 동기 부여된 암스트롱(2009)은 또한 슈퍼볼 수 있는 격자인 항이마트로이드들을 연구했다. 슈퍼볼 수 있는 항이마트로드는 완전히 순서가 정해진 원소 집합과 이들 원소 집합에 의해 정의된다. 그 가족은 빈 세트를 포함해야 한다. Additionally, it must have the property that if two sets ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ belong to the family, the set-theoretic difference ${\displaystyle B\setminus A}$ is nonempty, and ${\displaystyle x}$ is the smallest element of ${\displaystyle B\setminus A}$, then ${$$\displaystyle A\cup \{x\}}$도 가족에 속한다. 암스트롱이 관찰한 바와 같이, 이러한 유형의 모든 집단은 항이마트로드를 형성한다. 암스트롱은 또한 이 건축물이 형성할 수 있는 항이마트로이드의 격자적 특성화를 제공한다.^[24]

접합 작동 및 볼록 치수

If ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ are two antimatroids, both described as a family of sets over the same universe of elements, we can form another antimatroid, the join of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, as follows:

이것은 항이마트로이드의 격자-이식적 특성화에서 고려되는 결합과는 다른 작업이다. 항이마트로이드에서 두 세트를 결합하여 다른 항이마트로드를 형성하는 것이 아니라 두 개의 항이마트로드를 결합하여 또 다른 항이마트로드를 형성한다. 같은 우주에 걸쳐 있는 모든 반물질의 집단은 이 결합작전과 함께 반감기를 형성한다.^[25]

조인은 공식 언어를 항이마트로이드에 매핑하는 폐쇄 작업과 밀접하게 관련되어 있으며, 여기서 언어 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 폐쇄는 $하위{\displaystyle \mathcal{}}$ 언어로 L$$ ${\$을(를) 포함하는 모든 항이마트로이드의 교차하는 것이다$$. 이 폐쇄는 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${L}$의 문자열 접두사 결합을 실현 가능한 것으로 설정한다$.$ 이 폐쇄 작동의 관점에서 $결합$은 A ${\$ $및$ B ${\${\$mathcal {B}$의 언어 결합이다$.$ 모든 항마트로 나타낼 수 있다. 체인 항모제(antimatroids) 계열의 결합 또는 기본 단어 집합의 닫힘과 동등하게 결합. 항모제(antimatroids) $A$의 볼록 치수 ${\$는 그러한 표현에서 최소 체인 항모제(또는 동등하게 최소 기본 단어 수) 수입니다. If ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ is a family of chain antimatroids whose basic words all belong to ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, then ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ generates ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ if and only if the feasible sets of ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 경로를 포함한다$.$ 단일 체인 항이마토드에 속하는$$ A ${\$의 경로 포셋에 체인을 형성해야 하므로 안티마토이드의 볼록 치수는 파를 덮는 데 필요한 최소 체인 수와 같다$.$Dilworth의 정리로는 경로 포셋의 폭과 같다.^[26]

$만일{\displaystyle }$ 어떤 사람이 d ${\displaystyle d}$ 기본$$ 단어들의 집합의 닫힘으로서 항이마트로이드의 표현을 가지고 있다면$,$ 이 표현을 사용하여 $가능$한 항이마트로이드의 $집합$을 d {\displaystyle$d$} -차원$$ 유클리드 공간의 점에 매핑할 수 있다: 기본 $단어{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$당 하나의 좌표를 할당하고 좌표를 만들 수 있다$.$실현 가능한 집합 $S$의 네이트 값 ${\displaystyle S}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 하위 집합인$$ $W{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $S}$의 가장 긴 접두사 길이임$.$ 이 내장 상태에서 S {\$displaystyle$ S}에 대한 좌표가 다음과 같은 경우에만$$$$ S ${\$$displaystystytylee$ T}의 하위 집합 $}$이 된다$$.모두 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 해당 좌표보다 작거나 같음$.$ 따라서 실현 가능한 집합의 포함 순서의 순서 치수는 기껏해야 반물질의 볼록 치수와 같다.^[27] 그러나 일반적으로 이 두 가지 차원은 매우 다를 수 있다. 즉, 순서가 3이지만 임의로 큰 볼록 치수를 갖는 항이마트로이드가 존재한다.^[28]

열거

원소 집합에서 가능한 항균제의 수는 원소 집합의 수에 따라 빠르게 증가한다. 1개, 2개, 3개 등의 원소 집합의 경우, 구별되는 항미생물 수는 다음과^[29] 같다.

적용들

이론적 스케줄링 문제에 대한 표준 표기법의 우선 순위 및 해제 시간 제약 모두 반물질로 모델링할 수 있다. 보이드앤페이글(1990년)은 과제 스케줄링 지연에 따른 최대 페널티를 최소화하는 것이 목표인 단일 프로세서 스케줄링 문제를 우선순위 제약으로 최적으로 해결하기 위해 항이마트로이드(antimatroids)를 사용해 유진 룰러의 탐욕스러운 알고리즘을 일반화한다.

글래서맨 & 야오(1994)는 항이마트로이드를 사용해 이산 이벤트 시뮬레이션 시스템에서 이벤트의 순서를 모델링한다.

파마르(2003)는 인공지능(AI) 계획 문제의 목표를 향한 진전을 모형화하기 위해 항이마트로이드를 사용한다.

제약조건에 따른 최적화에 기반한 자연어 개발을 위한 수학적 모델인 Optimality Theory에서 그래머는 논리적으로 항이마트로이드와 동등하다.^[30]

수학적 심리학에서 항이마트로이드는 인간 학습자의 가능한 지식 상태를 설명하기 위해 사용되어 왔다. 항우울제의 각 요소는 학습자가 이해해야 할 개념이나, 학습자가 정확하게 해결할 수 있는 문제의 한 부류를 나타내며, 항우울제를 형성하는 요소 집합은 한 사람이 이해할 수 있는 가능한 개념들의 집합을 나타낸다. 반물질(antimatroid)을 정의하는 공리는 한 개념을 배우는 것은 결코 학습자가 다른 개념을 배우는 것을 막을 수 없으며, 한 번에 하나의 개념을 배우면 모든 가능한 지식 상태에 도달할 수 있다고 비공식적으로 표현될 수 있다. 지식 평가 시스템의 과제는 작고 잘 짜여진 문제 집합에 대한 자신의 반응을 분석하여 주어진 학습자가 알고 있는 개념 집합을 유추하는 것이다. 이러한 맥락에서 반물질은 "학습 공간"과 "우수한 수준의 지식 공간"^[31]이라고도 불린다.

메모들

참조