아르키메데스 군

수학의 한 분야인 추상대수학에서 아르키메데스 그룹은 아르키메데스 속성이 가지고 있는 선형 순서의 그룹이다. 각각의 두 양의 그룹 요소는 서로의 정수 배수로 경계를 이룬다.실제 숫자의 R 설정과 덧셈의 작동 및 숫자 쌍 간의 일반적인 순서 관계는 아르키메데스 그룹이다.오토 홀더(Otto Hölder)의 결과, 모든 아르키메데스 그룹은 이 그룹의 하위 그룹과 이형성이 있다.아르키메데스라는 이름은 오토 스톨츠로부터 유래되었는데, 오토 스톨츠는 아르키메데스의 작품에 등장하여 아르키메데스 재산을 명명하였다.^[1]

정의

첨가제 그룹은 원소의 집합, 원소의 쌍을 결합하고 단일 원소를 반환하는 연관 첨가 연산, 다른 원소와의 합이 다른 원소인 식별 원소(또는 0 원소) 및 어떤 원소와 그 역의 합이 0이 되도록 첨가제 역 연산으로 구성된다.^[2]그룹은 또한 모든 원소 x, y, z에 대해, 만약 x ≤ y가 (x + z) ≤ (y + z)와 (z + x + y) then (z + y)에 대해 그룹 연산과 호환되는 방식으로 선형적으로 정렬될 수 있는 경우, 선형적으로 정렬된 그룹이다.

na 표기법 na(여기서 n은 자연수)는 a의 n개 사본의 그룹 합계를 의미한다.아르키메데스 그룹(G, +, ≤)은 다음과 같은 추가 조건인 아르키메데스 속성에 따라 선형적으로 순서가 정해진 그룹이다.G에서 0보다 큰 모든 a와 b에 대해, 불평등 b ≤ na가 가지고 있는 자연수 n을 찾을 수 있다.^[3]

등가 정의는 아르키메데스 그룹이 경계 순환 하위 그룹이 없는 선형 순서 그룹이라는 것이다: S의 모든 원소보다 큰 x를 가진 주기 하위 그룹 S와 x 원소가 존재하지 않는다.^[4]이것이 다른 정의와 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있다: 요소 a와 b의 쌍에 대한 Archimedese 속성은 a에 의해 생성되는 주기적인 부분군이 b에 의해 제한되지 않는다는 진술일 뿐이다.

아르키메데스 그룹의 예

정수의 집합, 이성수, 실수의 집합은 덧셈의 운용과 통상적인 순서( ()와 함께 아르키메데스 그룹이다.아르키메데스 집단의 모든 부분군은 그 자체로 아르키메데스 집단이므로 짝수들의 첨가 그룹이나 디아디드 이성들의 첨가 그룹과 같은 이들 집단의 모든 부분군도 아르키메데스 집단을 형성하는 것이 뒤따른다.

반대로 오토 뮐더가 보여주듯이 모든 아르키메데스 집단은 실수의 하위집단에 대해 (주문된 집단으로서) 이형성이 있다.^[5][6][7][8]이로부터 모든 아르키메데스 집단은 반드시 아벨 그룹이다. 추가 작전은 반드시 상응해야 한다.^[5]

비 아르키메데스 그룹의 예

유한집단처럼 선형적으로 순서를 정할 수 없는 집단은 아르키메데스가 아니다.다른 예로, p-adic 숫자를 참조하십시오. p-adic 번호는 실제 숫자에 대해 다른 방식으로 합리적인 숫자를 일반화하는 숫자 시스템.

비 아르키메데스 순서 그룹도 존재한다. 다음과 같이 정의된 순서 그룹(G, +, ≤)은 아르키메데스가 아니다.G의 원소를 그들의 데카르트 좌표에 의해 주어진 유클리드 평면의 지점이 되게 하라: 실수의 쌍(x, y)이다.그룹 추가 연산을 점(벡터)으로 하고, 이 점들을 사전순으로 정렬한다: a = (u, v)와 b = (x, y), 그 다음 v < y 또는 v = y, u, v + y)와 ≤ b 중에서 정확히 v < y 또는 v = y, u ≤ x.그리고 이것은 명령된 집단을 주지만 아르키메데스가 아닌 집단을 준다.이를 보려면 (1, 0) 및 (0, 1) 원소를 고려하십시오. 이 두 원소는 모두 그룹의 0 원소(원점)보다 큽니다.모든 자연수 n에 대해 이러한 정의에서 n (1, 0) = (n, 0) < (0, 1) 따라서 아르키메데스 성질을 만족시키는 n은 없다.^[9]이 그룹의 진정한 숫자의 쌍의 가군과 무한소,(), y))로 x ϵ+y,ϵ{\displaystyle \epsilon}단위 무한소:ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0}{\displaystyle(x, y)=x\epsilon +y,}지만 ϵ<>생각될 수 있 베{\displaystyle \epsilon<>y}에 대한 긍정적인 r.eal 번호> ${\displaystyle y>0$ 비아키메데스 순서 필드는 유사하게 정의할 수 있으며, 그 첨가물 그룹은 비아키메데스 순서 그룹이다.이것들은 비표준 분석에서 사용되며 초현실적인 숫자와 초현실적인 숫자를 포함한다.

아르키메데스가 아닌 순서가 있는 집단은 실수에 포함될 수 없지만, 한 임베딩 정리에 의해 사전 편찬 순서와 함께 실수의 힘에 내재될 수 있다. 위의 예는 2차원 사례다.

추가 속성

모든 아르키메데스 그룹은 그룹의 모든 데데킨드 컷에 대해, 그리고 모든 그룹 요소 > > 0에 대해, 컷 하단에 x를, 컷 상부에 x + ε을 가진 또 다른 그룹 요소 x가 존재하는 속성을 가지고 있다.그러나 동일한 재산을 가진 비 아르키메데스가 발주한 집단이 존재한다.아르키메데스 집단이 아벨리안이라는 사실은 일반화될 수 있다: 이 재산을 가진 모든 주문 집단은 아벨리안이다.^[10]

일반화

아르키메데스 성질을 따르는 선형 순서의 모노이드인 아르키메데스 모노이드에 아르키메데스 성단을 일반화할 수 있다.예로는 자연수, 음이 아닌 이성수, 음이 아닌 실수를 들 수 있는데, 통상적인 이진 연산${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$과 순서< ${\displaystyle <}}.$ 아르키메데스 그룹의 경우와 유사한 증거를 통해 아르키메데스 모노이드의 교합성을 나타낼 수 있다

참고 항목

• 아르키메데스의 등가성

참조