베르누이 재판

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
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확률과 통계학 이론에서 베르누이 실험(또는 이항 실험)은 '성공'과 '실패'라는 두 가지 가능한 결과를 정확히 가진 무작위 실험으로, 실험이 진행될 때마다 성공 확률이 동일하다.^[1] 17세기 스위스 수학자 제이콥 버누이의 이름을 따서 그의 아르스 추측단디(1713)에서 분석하였다.^[2]

베르누이 재판의 수학적 공식화는 베르누이 과정으로 알려져 있다. 이 기사는 그 개념에 대한 기본적인 소개를 제공하는 반면, 베르누이 과정에 대한 기사는 보다 진보된 대우를 제공한다.

베르누이 재판은 두 가지 결과만 가능하기 때문에, 그것은 어떤 "예스 앤 노" 질문으로 틀릴 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

• 뒤틀린 데크의 상단 카드가 에이스인가?
• 갓 태어난 아이가 여자아이였나? (인간의 성비 참조)

따라서 성공과 실패는 두 결과의 표지에 불과하며 문자 그대로 해석되어서는 안 된다. 이러한 의미에서 "성공"이라는 용어는 도덕적 판단이 아닌 특정한 조건을 충족시키는 결과로 구성된다. 보다 일반적으로 어떤 사건(결과 집합)에 대해 어떤 확률 공간이 주어진 경우, 사건이 발생했는지(사건 또는 보완적 사건)에 해당하는 베르누이 재판을 정의할 수 있다. 베르누이 재판의 예는 다음과 같다.

• 동전 던지기. 이런 맥락에서, 반대("머리")는 관습적으로 성공을 의미하며, 반대("꼬리")는 실패를 의미한다. 페어 코인은 정의상 성공 확률이 0.5이다. 이 경우 정확히 두 가지 가능한 결과가 있다.
• 주사위를 굴리는 것, 여기서 6은 "성공"이고 다른 모든 것은 "실패"이다. 이 경우 6개의 가능한 결과가 있으며, 사건은 6개다. 보완적 사건 "6개가 아님"은 나머지 5개의 가능한 결과와 일치한다.
• 정치적 여론조사를 실시할 때, 유권자가 다음 국민투표에서 "예"를 투표할 것인지를 확인하기 위해 무작위로 투표자를 선택한다.

정의

정확히 두 가지 가능한 결과를 가진 실험의 독립적인 반복실험을 베르누이 실험이라고 부른다. 결과 중 하나는 "성공"이고 다른 하나는 "실패"라고 부른다. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 베르누이 실험에서 성공 확률이$$ 되게 하고, $q{\displaystyle }${\$displaystyle q}$을(를) 실패 확률이$$ 되게 한다. 그러면 성공 확률과 실패 확률은 1로 합치는데, 이는 상호 보완적인 사건이기 때문이다: "성공"과 "실패"는 상호 배타적이고 완전하다. 그러므로 사람은 다음과 같은 관계를 맺고 있다.

${\displaystyle p=1-q,\cHB \cHB \cHB q=1}$

또는, 이러한 것들은 승산의 관점에서 진술할 수 있다: 성공 확률 p와 실패 확률 q, p :${\displaystyle q}$ : ${\displaystyle p:q},$ 그리고$$ 에 대한 ${\displaystyle \mathrm{승산}}$은 $q{\displaystyle :}$p. {\$displaystyle q:p}$$$ 이러한 값은 ${\displaystyle o_{}}$ ${\$$f}$에 대한 승산과${\displaystyle {}_{}{o}_{}}$ : ${\displaystyle o_{a}$에 대한 승산을 나누어 숫자로 표시할 수도 있다$.$

${\displaystyle {\regated}o_{f}&=p/q/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\ended}}}}$

이들은 승법적 역법이기 때문에 다음과 같은 관계를 가지고 1로 곱한다.

${\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\display o_{a}=1/o_{f},\display o_\cdot o_{a}=1.}$

베르누이 실험이 결과의 S가 성공이고 F가 실패인 경우 ${\displaystyle S}$ :$F{\displaystyle }$ {\$displaystyle S:$$F}$과(와) 에 대한 $승산$은 ${\displaystyle F}$: S${\displaystyle }$. ${\displaystyle F:S}$이며, 확률과$$ 승산에 대해 다음과 같은 공식을 산출한다.

${\displaystyle {\begin}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\\o_{f}=S/F\\o_{a}&=F/S\end}}}}정렬}}}}$

여기서 확률은 두 항에 동일한 상수 인자를 곱함으로써만 차이가 나기 때문에, 확률은 아닌 결과의 수를 나누어 계산한다는 점에 유의하십시오.

베르누이 재판을 설명하는 랜덤 변수는 종종 1 = "성공", 0 = "실패"라는 관례를 사용하여 암호화된다.

베르누이 실험과 밀접하게 관련된 이항 실험은 통계적으로 독립된 베르누이 실험의$$ 고정 $숫자{\displaystyle }$ n$[\displaystyle n}$로 구성되며 각각 성공 $확률{\displaystyle }$ p$[\displaystyle p$을 가지고 있으며 성공 횟수를 카운트한다. 이항 실험에 해당하는 랜덤 변수는 $B($${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$ )${\displaystyle B(n,p)}$로 표시되며, 이항 분포를 갖는다고 한다. 실험 $B{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle B(n,p)}$에서 정확히 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 성공 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle P(k)={n \선택 k}p^{k}q^{n-k}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$ k$}}$는 이항 계수다.

베르누이 실험은 다양한 다른 분포뿐만 아니라 음의 이항 분포로 이어질 수 있다.

각각의 성공 확률을 가진 여러 베르누이 실험이 수행될 때, 이것들은 포아송 실험이라고 부르기도 한다.^[3]

예: 동전 던지기

페어 코인이 네 번 던져지는 간단한 실험을 생각해 보라. 정확히 두 번의 토스가 앞면이 될 확률을 찾아라.

해결책

이 실험에서는 머리를 성공으로, 꼬리를 실패로 정의하도록 한다. 동전이 공정하다고 가정하기 때문에 $성공{\displaystyle }$ 확률은 p${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ p$={\tfrac{1}{2$ 따라서 실패 확률인 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 다음과 같이 주어진다$.$

${\displaystyle q}$= ${\displaystyle 1}$- p${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$}:{2$}}={\tfrac {1$$2}}.$

위의 방정식을 사용하여, 총 4번의 토스 중에서 정확히 2번의 토스가 발생할 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{4-2}\\&=6\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\\&={\dfrac {3}{8}}.\end{정렬}}}$

참고 항목

• 베르누이 계획
• 베르누이 샘플링
• 베르누이 분포
• 이항 분포
• 이항 계수
• 이항 비율 신뢰 구간
• 포아송 표본 추출
• 샘플링 설계
• 동전 던지기
• 제이콥 베르누이
• 피셔의 정확한 검사
• 보슐루의 시험

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 베르누이 재판과 관련된 미디어가 있다.

• "Bernoulli trials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Simulation of n Bernoulli trials". math.uah.edu. Retrieved 2014-01-21.