부울 알헤브라를 위한 스톤 표현 정리

Stone's representation theorem for Boolean algebras

수학에서, 부울 알헤브라에 대한 스톤의 표현 정리는 모든 부울 알헤브라의 대수는 집합의 특정 분야와 이형성이 있다고 말한다.이 정리는 20세기 전반기에 등장한 부울대수에 대한 보다 깊은 이해의 기초가 된다.그 정리는 마샬 H. 스톤에 의해 처음 증명되었다.[1]스톤은 힐베르트의 공간에 있는 연산자의 스펙트럼 이론에 대한 그의 연구에 의해 그것을 이끌어냈다.

스톤 스페이스

각 부울대수 B에는 스톤 스페이스라고 불리는 S(B)로 표시된 연관된 위상학적 공간이 있다.S(B)의 점은 B의 초여과기 또는 B에서 2-element Boolean 대수까지의 동형성이다.S(B)의 위상은 폼의 모든 집합으로 구성된 (폐쇄) 기준으로 생성된다.

여기서 b는 B의 요소다.이것은 동형성의 그물망과 부울대수의 점적 융합 위상이다.

모든 부울 대수 B에 대해 S(B)는 완전히 단절된 콤팩트한 하우스도르프 공간이다. 그러한 공간을 스톤 공간(확실한 공간)이라고 부른다.반대로, 위상학적 공간 X를 고려할 때, Clopen (closed and open)인 X의 하위 집합의 집합은 부울 대수다.

표현 정리

스톤 표현 정리의 간단한 버전은 모든 부울 대수 B가 스톤 공간 S(B)의 클open 하위 집합의 대수에 이형성이 있다고 명시한다.이형성은 ism B 원소를 b가 포함된 모든 초박막 세트로 보낸다.이것은 S(B)의 위상 선택과 B가 부울 대수이기 때문에 Clopen 집합이다.

범주 이론의 언어를 사용하여 정리를 다시 하는 것; 정리는 부울 알헤브라의 범주와 스톤 공간의 범주 사이에 이중성이 있다고 말한다.이 이중성은 부울 알헤브라와 그들의 스톤 공간 사이의 대응 이외에도, 부울 대수 A에서 부울 대수 B에 이르는 각 동형성이 S(B)에서 S(A)까지의 연속 함수에 자연적으로 대응한다는 것을 의미한다.즉, 범주 사이에 등가성을 부여하는 역행성 펑터가 있다.이것은 범주의 비종교적 이중성의 초기 사례였다.

정리는 스톤 이중성의 특수한 경우로서 위상학적 공간과 부분 순서 집합 사이의 이중성에 대한 보다 일반적인 틀이다.

그 증거는 선택의 공리 또는 그것의 약화된 형태를 요구한다.구체적으로 정리란 부울 프라임 이상 정리와 동등하며, 모든 부울 대수가 프라임 이상을 가지고 있다고 기술하는 약화된 선택 원리와 같다.

고전적인 스톤 이중성의 확장은 부울 공간(= 국소적으로 압축된 하우스도르프 공간)과 연속 지도(존중하고 완벽한 지도)의 범주로 G. D에 의해 얻어졌다.디모프 (존경적으로, H. P. 닥터)[2][3]

참고 항목

인용구

  1. ^ Stone, Marshall H. (1936). "The Theory of Representations of Boolean Algebras". Transactions of the American Mathematical Society. 40 (1): 37–111. JSTOR 1989664.
  2. ^ Dimov, G. D. (2012). "Some generalizations of the Stone Duality Theorem". Publ. Math. Debrecen. 80 (3–4): 255–293. doi:10.5486/PMD.2012.4814.
  3. ^ Doctor, H. P. (1964). "The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces". Canad. Math. Bull. 7 (2): 245–252. doi:10.4153/CMB-1964-022-6.

참조