울트라필터

수학적 순서 이론의 수학적 분야에서, 주어진 부분 순서 집합(또는 "포셋") $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle P}$의$$$극세사{\displaystyle }$ $필터$가 P$$${\$$displaystyle$ P}의 특정 부분 집합, 즉 P {\displaystyle P$\}$의 최대 필터, 즉 $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$에 대한 적절한 필터로서, 더$$ 큰 필터로 확장할 수 없다.$P {\displaystyle$ P$\}.$

만약 X{X\displaystyle}은 임의의 집합 그 힘은 주로 세트에 X는 집합에 대한 ultrafilter .[노트 1]{X\displaystyle} ultrafilters라고 불린다℘(X),{\displaystyle \wp(X),}첫발들 내딧었을 포함에 의해 명령된는 항상 부울 논리 연산 대수와 뒤 poset,℘(X){\displaystyle \wp(X)}에 ultrafilters. X{$\displaystyle X}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 정밀하게 첨가된 측도로 간주될$$ 수 있다$.$ $이{\displaystyle }$ 견해에서 X ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합은 주어진 초여광기에 속하는지 여부에 따라 "거의 모든 것"(측정 1) 또는 "거의 0"으로 간주된다$$.^{[citation needed]}

울트라필터는 세트 이론, 모델 이론, 토폴로지^{[1]: 186} 및 조합에 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.^[2]

부분 주문 시 울트라필터

순서 이론에서, 울트라필터는 모든 적절한 필터 중에서 최대인 부분 순서의 집합이다.이것은 어떤 필터라도 제대로 된 초 여과기가 있어야 한다는 것을 암시한다.

공식적으로 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 집합이고 부분적으로 ${\displaystyle \{}${\$displaystyle$\,\$leq$\,}에 의해 주문된 경우$$

• 부분 집합 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F\subseteq P}$은(는) $다음$과 같은$$경우 P {\$displaystyle P}$에서 필터라고 한다.
  • ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 비어 있지 않지만
  • 모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle x,y\in F$$}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\leq x}$ 및 $z$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z\leq y,}$와 같은 $일부{\displaystyle }$ 요소가 있다.
  • 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in F}$ 및 $y$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle y\in P,}$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq$ y$}$에 $대해$ y ${\displaystyle$ $y$$}$도 $F{\displaystyle }$ ${\\displaystystystyle$ F$}$임을$$ 의미한다$$.
• $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 적절한 서브셋 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은 다음과$$ 같은 경우 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 울트라필터라고 불린다$$.
  • ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은(는) $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ P$,}$ 및
  • $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 적절하게 확장하는$$ 필터 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$F}이$($가) 없음($$$즉{\displaystyle }$, U ${\displaystyle U}$이(가) $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}$의 적절한 하위 집합임).$$

울트라필터의 종류와 존재

모든 초박막은 정확히 원금과 무료의 두 가지 범주 중 하나에 속한다.주(또는 고정 또는 사소한) 울트라필터는 최소 요소를 포함하는 필터다.따라서 주 울트라필터는 ${\displaystyle \mathrm{특정}}$ 포셋의$$ ${\displaystyle a}$에 대한$$ F $a{\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ x :${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle F_{a}=\{x:a\leq$ x$\}}$ 형식이다.이 경우 ${\displaystyle a}$을(를) 울트라필터의 주요 요소라고 한다$$.주체가 아닌 어떤 초박막도 프리(혹은 비주체) 초박막이라고 한다.

For ultrafilters on a powerset ${\displaystyle \wp (X),}$ a principal ultrafilter consists of all subsets of ${\displaystyle X}$ that contain a given element ${\displaystyle x\in X.}$ Each ultrafilter on ${\displaystyle \wp (X)}$ that is also a principal filter is of this form.^{[1]: 187} 따라서 유한 집합이 포함된 경우에만 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle \wp (X)}$의 초고밀도 $필터{\displaystyle }$ U$${\$displaystyle$U}이$$(가) 주체가 된다.^{[note 2]}만약 X{X\displaystyle}이 무한하면℘(X){\displaystyle \wp(X)}에 대한ultrafilter U{U\displaystyle}따라서 만일 그것. X의cofinite 하위 집합의 프레셰 필터가 들어 있{X\displaystyle}[주 3][표창 필요한]만약 X{X\displaystyle}유한한 것, 모든 ultrafilter은 교장non-principal 있다..[1]:187$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 무한인 경우, Frechet $필터$는$$X {\$displaystyle$ X$}$의 전원 집합에 있는 울트라필터가 아니라$$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 유한-코피니트 대수에 대한 울트라필터다.

부울 대수의 모든 필터(또는 더 일반적으로는 유한 교차 특성을 가진 하위 집합)는 울트라필터에 포함되며(또는 초필터 보조기 참조) 따라서 자유 초필터가 존재하지만, 그 증명에는 조른의 보조기 형태의 선택 공리(AC)가 포함된다.한편, 모든 필터가 울트라필터에 포함되어 있다는 문구는 AC를 의미하지 않는다.실제로 제르멜로-프라엔켈 세트 이론(ZF)의 공리와 선택 공리(ZFC)에 의해 증강된 ZF 이론 사이의 잘 알려진 중간 지점인 부울 프라임 이상 정리(BPIT)에 해당한다.일반적으로 선택의 공리와 관련된 증명은 ZFC의 일부 모델에서 명시적인 예를 찾을 수 있지만 자유 초여과기의 명시적인 예를 생산하지 않는다. 예를 들어 괴델은 이것이 명시적인 글로벌 선택 함수를 기록할 수 있는 구성 가능한 우주에서 이루어질 수 있다는 것을 보여주었다.선택의 공리가 없는 ZF에서는 모든 초박막들이 주임일 가능성이 있다.^[3]

부울대수의 울트라필터

이 개념의 중요한 특별한 경우는 고려된 포셋이 부울 대수일 때 발생한다.이 경우, 울트라필터는 각 요소에 $대해{\displaystyle }$ 부울 대수의$$ ${\$$displaystyle$ $a}$ 및$$$exactly{\displaystyle }$ {\$displaystyle \$ $a}$ 요소 중 정확히 하나를 포함하는 것이 특징이다($$후자는 ${\displaystyle a}$의 부울 보완 요소임).$$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 부울 대수이고 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$에 대한 적절한 필터인 경우 다음 문장이 동일하다$$.

1. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ P$,}$에 있는 울트라필터다.
2. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ P$,}$에 대한 기본 필터임
3. $각{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle a\in P,}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ 또는$$ ( ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lnot$ a$}$) $\in {\displaystyle }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \in F.}$

1.와 2.가 등가라는 증거는 또한 (Burris, Sankapanavar, 2012, Corollary 3.13, 페이지 133)에 제시되어 있다.^[4]

더욱이 부울 대수상의 초유필터는 다음과 같이 2소 부울 대수 {true, false}(일명 2값 형태론)에 최대 이상 및 동형식과 관련될 수 있다.

• 부울대수의 동형식을 {true, false}에 부여하면, "true"의 역적 이미지는 초여광이며, "false"의 역적 이미지는 최대 이상이다.
• 부울대수의 최대 이상을 주어, 그 보완은 초여광이며, 최대이상을 "거짓말"로 삼는 {진실, 거짓}에 대한 고유한 동형성이 있다.
• 부울대수학에서 초여광필터가 주어진다면, 그 보완물은 최대 이상이며, 초여광기를 "참"으로 가져가는 {진실, 거짓}에 대한 고유한 동형성이 있다.^{[citation needed]}

세트 전원 세트의 울트라필터

임의 집합 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$이(${\displaystyle 가}$) 전원 집합${\displaystyle \mathrm{})}$( X$$) , {\$displaystyle \$wp ($X)}$이(가) 세트 포함에 의해$$ 정렬된 경우 항상 부울 대수이므로, 위의 특수 사례 섹션의 결과: 부울대수를 적용한다.$\wp {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \wp (X)}$의 (ultra)필터는 흔히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 (ultra)필터라고 불린다$$.$$^{[note 1]}위의 공식 정의는 다음과 같이 파워셋 사례로 구체화할 수 있다.

임의 집합 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X${\displaystyle ,\}}$ given$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle \wp (X)}$의 울트라필터는 $다음$과 같은$$X {\$displaystyle$ X$}$의 하위 집합으로 $구성$된 U ${\displaystyle U}$이다.

1. 빈 집합은 $U{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ U$.}$의 요소가 아님
2. If ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are subsets of ${\displaystyle X,}$ the set ${\displaystyle A}$ is a subset of ${\displaystyle B,}$ and ${\displaystyle A}$ is an element of ${\displaystyle U,}$ then ${\displaystyle B}$ is also an element of ${\displaystyle$$U.}$
3. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle B}$이(가) $U{\displaystyle }$, ${\displaystyle U}$의 요소인 경우$$ A$${\$displaystyle A}$과${\displaystyle }$B .$${\$displaystystyle B$의 교차점이 된다$.$$}$
4. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$의 하위 집합인 경우, $A{\displaystyle }${\$displaystyle$$A$} 또는^{[note 4]}$$ 그 상대적 $보완물{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}${\$displaystyle$ X\$setminus$ A$}$은($가$) U.${\displaystystyle$ U$.}$의 요소임.

Another way of looking at ultrafilters on a power set ${\displaystyle \wp (X)}$ is as follows: for a given ultrafilter ${\displaystyle U}$ define a function ${\displaystyle m}$ on ${\displaystyle \wp (X)}$ by setting ${\displaystyle m(A)=1}$ if ${\displaystyle A}$ is an element o그렇지 않으면$$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$ ${\displaystyle U}$ 및 $m$(A )${\displaystyle }$= 0$${\$displaystyle$ m$(A$)=$0}$이러한 함수를 2값 형태론이라고 한다.그러면 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 미세하게 첨가되며$$, 따라서 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \wp (X)$ 및 $X$ ${\displaystyle X}$ 요소의 모든 속성은 거의 모든 곳에서 참이거나 거의 모든 곳에서 거짓이다.그러나 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 대개 계산적으로 가법적으로 첨가되지 않으므로$$ 일반적인 의미에서 측정치를 정의하지 않는다.

일체형이 아니ultrafilter 필터 F{F\displaystyle}로, 사람 말할 것이다 m(A)=1{\displaystyle m(A)=1}A∈ F{A\in F\displaystyle}과 m(A)=0{\displaystyle m(A)=0}만약 X∖ ∈ F,{\displaystyle X\setminus A\in F.} 떠나m{m\displaystyle}한정되지 않은 다른 곳.[표창 필요한][해명 필요한]

적용들

동력 세트의 울트라필터는 특히 콤팩트한 하우스도르프 공간과 관련하여 위상, 초고속과 초고속의 구성에서 모델 이론에 유용하다.콤팩트한 하우스도르프 공간의 모든 초박막은 정확히 한 점으로 수렴된다.마찬가지로 부울 알헤브라의 초여광필터는 스톤의 표현 정리에 중심적인 역할을 한다.

포셋 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 모든 울트라필터 중 $세트$ G ${\displaystyle G}$은 자연적인 방법으로 토폴로이화할 수 있으며$$, 이는 사실 위에서 언급한 표현 정리와 밀접하게 관련되어 있다.$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 $모든{\displaystyle }$ 요소 a {\$displaystyle a}$에 대해$$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \in }$ G${\displaystyle }$: ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle D_{a}=\left\{{{{}}}}}$을(를) 두십시오.$U\in G:a\in U\right\}}$$$ This is most useful when ${\displaystyle P}$ is again a Boolean algebra, since in this situation the set of all ${\displaystyle D_{a}}$ is a base for a compact Hausdorff topology on ${\displaystyle G}$. Especially, when considering the ultrafilters on a powerset ${\displaystyle \wp (S),}$ the resulting 위상학적 공간은 카디널리티 ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$의 이산 공간의 스톤-체크 압축이다.

모형 이론의 초고속 구조는 초경량 필터를 사용하여 구조물의 기초적인 확장을 생산한다.예를 들어, 실수의 초고속으로 초현실수를 구성할 때 담론의 영역은 실수의 순서에서 실수의 순서로 확장된다.이 시퀀스 공간은 각 리얼을 해당 상수 시퀀스로 식별함으로써 리얼의 상위 집합으로 간주된다.친숙한 기능과 관계(예: +와 <)를 실재에서 초현실(hyperreals)으로 확대하기 위해서는 자연사상이 이를 포인트로 정의하는 것이다.그러나 이것은 실재의 중요한 논리적 속성을 잃게 될 것이다. 예를 들어, 점괘 <는 전체 순서가 아니다.그래서 대신 기능과 관계는 "포인트와이즈 모듈로" U ${\displaystyle$ $U$$}$로 정의된다$.$ $여기$서 U ${\displaystyle$ U$}$은 시퀀스의 인덱스 집합에 있는 초필터다. Wwoś의 정리를 통해, 이것은 1차 논리로 명시될 수 있는 리얼스의 모든 속성을 보존한다.$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 주체가 아닌$$ 경우 그에 따라 얻은 확장은 비교가 되지 않는다.

기하학적 집단 이론에서, 비주교적 초 여과기는 그룹의 점근 원뿔을 정의하는데 사용된다.이 구조는 집단의 대규모 기하학인 무한에서 집단을 바라보는 엄격한 방법을 산출한다.점근 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형들은

괴델의 존재론적 신의 존재 증거는 모든 '긍정적 특성'의 집합이 초여광기라는 공리로 사용된다.

사회적 선택 이론에서는 무한히 많은 개인의 선호를 종합하기 위한 규칙(사회복지 기능이라고 함)을 정의하기 위해 비주교적 초여광기를 사용한다.미세하게 많은 개인에 대한 애로우(Arow)의 불가능 정리와는 반대로, 그러한 규칙은 애로우(Arow)가 제안하는 조건(재산)을 만족시킨다(예: 키르만(Kirman)과 손더만(Sondermann, 1972).^[5]미하라(1997년,^[6] 1999년)^[7]는 그러나 그러한 규칙들은 사실상 알고리즘이 아니거나 컴퓨팅이 불가능하기 때문에 사회과학자들에게는 제한적인 관심사라고 보여준다.

참고 항목

• 필터(수학) – 수학에서 부분 순서 집합의 특수 부분 집합
• 위상의 필터 – 모든 기본 위상학적 개념과 결과를 설명하고 특성화하기 위한 필터 사용.
• 초박막 보조정리
• 유니버설 네트

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich; Ponomarev, V.I. (1984). Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises. Mathematics and Its Applications. Vol. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489.
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• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
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• Jech, Thomas (2006). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939.
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• Schubert, Horst (1968). Topology. London: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.

추가 읽기

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• Comfort, W. W.; Negrepontis, S. (1974), The theory of ultrafilters, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0396267
• nLab의 UltraFilter