경계 산술

경계 산술은 페아노 산술의 약한 하위 이론을 가진 집단의 집합적인 이름이다.그러한 이론은 일반적으로 유도 공리 또는 등가 시제(경계 정량자는 ∀x ≤ t 또는 ∃x ≤ t 형식이며, 여기서 t는 x를 포함하지 않는 용어)에서 정량자를 경계하도록 요구함으로써 얻어진다.주요 목적은 기능이 주어진 복잡성 등급에 속하는 경우에만 기능 전체가 될 수 있다는 의미에서 하나 또는 다른 종류의 계산 복잡성을 특징짓는 것이다.또한, 경계 산술 이론은 Frege 시스템과 같은 표준 명제 증명 시스템의 균일한 상대들을 제시하며, 특히 이 시스템들에서 다항 크기 증명들을 구축하는데 유용하다.표준 복잡성 등급의 특성화와 제안 증명 시스템에 대한 대응은 다양한 수준의 실현 가능한 추론을 포착하는 형식적 시스템으로 한정된 산술 이론을 해석할 수 있게 한다(아래 참조).

이 접근법은 1971년 로위트 지바블랄 패릭에^[1] 의해 시작되었고, 이후 사무엘 R에 의해 개발되었다. 버스. 그리고 많은 다른 논리학자.

이론들

쿡의 $이론{\displaystyle }$ P ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$

Stephen Cook은 타당하게 건설적인 증명(resp)을 공식화하는 등가 이론 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}($다항식 검증 가능)을 소개했다.다항 시간 추론).^[3]$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}$의 언어는 다항 시간 함수의 코브햄 특성화를 사용하여 유도적으로 도입된 모든 다항 시간 알고리즘에 대한 함수 기호로 구성된다$$.그 이론의 공리와 파생은 언어의 기호와 동시에 도입된다.그 이론은 동등하다. 즉, 그 진술은 단지 두 용어가 동일하다고 주장한다.$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}$의 통속적인 확장은 $일반적$인 ${\displaystyle {1차\mathrm{}}_{}}$ 이론인$$P V 1 {\displaystyle $PV_{1$}이다$.$^[4]$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 공리는 범용 문장으로$$, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}$에서 증명할 수 있는 모든 방정식을 포함하고 있으며$,$ P ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에는$$개방식의 유도 공리를 대체하는 공리가 포함되어$$ 있다.

버스의 $이론{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\$

사무엘 버스}평등과 L={0, S,+, ⋅, ♯, 음,⌊ x2⌋}{\displaystyle L=\{0,S,+,\cdot ,\sharp, x,\lfloor{\frac{)}{2}}\rfloor\와 같이는 언어에 .[2]S2나는{\displaystyle S_{2}^{나는}}은 일차 이론들 한정적 S2산수 나는{\displaystyle S_{2}^{나는}1계 이론을 소개했다.}}$$, where the function ${\displaystyle x }$ is intended to designate ${\displaystyle \lceil \log(x+1)\rceil }$ (the number of digits in the binary representation of ${\displaystyle x}$) and ${\displaystyle x\sharp y}$ is ${\displaystyle 2^{ x \cdot y }}$$$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{♯}}$ ${\displaystyle x}$~ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$ x $\sim$ x $^{2$ 즉${\displaystyle \mathrm{}}$input ${\displaystyle \sharp$}은(는) 입력의 비트 길이에서 다항식 경계를 표현할 수 있도록 허용한다는$$ 점에 유의하십시오.)Bounded quantifiers are expressions of the form ${\displaystyle \exists x\leq t\dots :=\exists x(x\leq t\wedge \dots )}$, ${\displaystyle \forall x\leq t\dots :=\forall x(x\leq t\rightarrow \dots )}$, where ${\displaystyle t}$ is a term without an occurrence of ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ t ${\displaystyle t}$이(가) $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$라는 용어의 ${\displaystyle s}$ $displaystyle$ s$}$의 형태를 가질 경우 경계 정량자가 날카롭게 경계되고$,$ 공식의 모든 정량자가 날카롭게 경계를 이룰 경우 $공식{\displaystyle }$ {$${\$displaysty \pi$}이$($가$$ 날카롭게 경계된다.The hierarchy of ${\displaystyle \Sigma _{i}^{b}}$ and ${\displaystyle \Pi _{i}^{b}}$ formulas is defined inductively: ${\displaystyle \Sigma _{0}^{b}=\Pi _{0}^{b}}$ is the set of sharply bounded formulas.${\displaystyle \Sigma _{i+1}^{b}}$ is the closure of ${\displaystyle \Pi _{i}^{b}}$ under bounded existential and sharply bounded universal quantifiers, and ${\displaystyle \Pi _{i+1}^{b}}$ is the closure of ${\displaystyle \Sigma _{i}^{b}}$ under bounded universal and 날카롭게 경계된 실존적 양자Bounded formulas capture the polynomial-time hierarchy: for any ${\displaystyle i\geq 1}$, the class ${\displaystyle \Sigma _{i}^{P}}$ coincides with the set of natural numbers definable by ${\displaystyle \Sigma _{i}^{b}}$ in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (the standard model of arithmetic) and dually ${\displaystyle \Pi _{i}^{b}=\Pi _{i}^{P}(\mathbb {N} )}$. In particular, ${\displaystyle NP=\Sigma _{1}^{b}(\mathbb {N} )}$.

이론 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) BASIC과 다항식 유도 스키마를 나타내는 열린 공리의 유한 목록으로 구성되어$$ 있다.

${\displaystyle \phi(0)\flack a(\lpi(\lploor {x}{2}}\bloor )\오른쪽 화살표 \pi (a)}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$

버스의 증언 정리

버스(1986)는 다항 시간 함수에 의해 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ $\Sigma$ $_{1}^{b}}$의 이론이$$ 목격된다는 것을 증명했다.^[2]

정리(Buss 1986)

$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ⊢${\displaystyle \mathrm{}x}$ x${\displaystyle \mathrm{}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$)$${\$displaystyle S_{2}^{1}}\vdash \forall$x\$exists$ y$\pi (x,y$$$ϕ 1 1 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 1 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ display $display$\ \ \ \$$\ \ \$$\ \ \ \ \ \ \ \ \\\$display$ \ \ \ \ $\$ \ \ \ \ \ \ \ \ \그런 다음 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$⊢ x ${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ $PV}$ - 함수$$ 기호 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 존재하며, 이러한$$ 기호들은 P ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ⊢}$ $∀$ ${\displaystyle x}$ x x , f ) ${\dash PV\fall x\phi (x,f(x)}$이$($가 있다.

더욱이 S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}:{$b}$ $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$b}}} - 모든 다항식 시간 함수를 정의할$$ 수 있다$$.즉, $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $\Sigma$ $_{$$1}^{$$b}}$의 정의 가능한$$ 함수는 정확히 다항식 ${\displaystyle {}_{}^{}}$에 계산할 수 있는 함수다$$.특성화는 더 높은 수준의 다항식 계층 구조로 일반화할 수 있다.

제안적 증명 시스템에 대한 대응

경계가 있는 산술 이론은 종종 명제 증명 시스템과 관련하여 연구된다.마찬가지로 튜링 기계는 부울 회로와 같은 계산의 통일되지 않은 모델의 균일한 등가물이므로, 경계 산술 이론은 명제 증명 시스템의 균일한 등가물로 볼 수 있다.그 연결은 특히 짧은 명제적 증거의 구축에 유용하다.흔히 경계가 있는 산술 이론에서 정리를 증명하고 1차 증명이 명제 증명 시스템에서 직접 짧은 명제 증명서를 설계하는 것보다 명제 증명 시스템에서 짧은 증명의 시퀀스로 번역하는 것이 더 쉽다.

그 서신은 S에 의해 소개되었다.요리하다.^[3]

Informally, a ${\displaystyle \Pi _{1}^{b}}$ statement ${\displaystyle \forall x\Phi (x)}$ can be equivalently expressed as a sequence of formulas ${\displaystyle \Phi _{n}(x):$$=\forall x( x =n\rightarrow \Phi (x))}$. Since ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ is a coNP predicate, each ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ can be in turn formulated as a propositional tautology ${\displaystyle \phi ^{n}}$ (possibly containing new variables needed to encode the c${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$라는 술어의 opputation.$$

정리 (Cook 1975)

$S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$⊢ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$ ∀ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{2}^{1}}\vdash \forall x\Phi (x$ 여기서 where ∈ ∈ ${\displaystyle \in }$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ _{1$}^{b}}}$라고 가정해 보자$.$그런 다음 tautologies ${\displaystyle \varphi n{}^{}}$ ${\$^{$n}}$은(는) 다항식 크기 Extended Frege 증거를 가지고 있다$$.더욱이, 증명들은 다항 시간 함수에 의해 구성 가능하며 P ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}$은 이러한 사실을 증명한다$$.

또한 S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}은 Extended Frege 시스템에 대한 소위 반사 원리를 입증하는데$$, 이는 Extended Frege 시스템이 위의 정리로부터 특성을 가진 가장 약한 증명 시스템임을 암시한다. 즉, 함축성을 만족하는 각 증명 시스템은 Extended Frege를 시뮬레이션한다.

제프 패리스와 알렉스 윌키(1985)가 제시한 2차 진술서와 명제 공식 사이의 대체 번역은 프레지나 일정한 깊이 프레지 같은 익스텐드 프리지의 서브시스템을 포착하는 데 더욱 실용적이었다.^[5][6]

참고 항목

• 입증 복잡성
• 계산 복잡성
• 수학적 논리학
• 증명 이론
• 복잡도 클래스
• NP(복잡성)
• coNP

참조

추가 읽기

• Buss, Samuel, "Bounded Arithmetic", Bibliopolis, Naples, Italy, 1986.
• Cook, Stephen; Nguyen, Phuong (2010), Logical Foundations of Proof Complexity, Perspectives in Logic, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511676277, ISBN 978-0-521-51729-4, MR 2589550 (2008년부터 적용됨)
• Krajíček, Jan (1995), Bounded arithmetic, propositional logic, and complexity theory, Cambridge University Press
• Krajichek, Jan, Proof Complexity, Cambridge University Press, 2019.
• Pudlák, Pavel (2013), Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity, a gentle introduction, Springer

외부 링크

• 증명 복잡성 메일 목록.