브렘스스트라흐룽

원자핵의 전기장에서 편향된 고에너지 전자에 의해 생성된 브렘스스트랄롱.

Bremsstrahlung /brbrɛmʃtrɑl/^[1] (독일어 발음: [ [bʁms]).【tʁaːl】(listen)은 제동 및 스트라룽 "방사선"(즉, "제동 방사선" 또는 "감속 방사선")에서 다른 하전 입자(일반적으로 원자핵에 의한 전자)에 의해 편향될 때 하전 입자의 감속에 의해 생성되는 전자파 방사선이다.움직이는 입자는 운동 에너지를 잃고, 운동 에너지는 방사선(즉, 광자)으로 변환되어 에너지 보존의 법칙을 충족합니다.이 용어는 방사선을 생성하는 과정을 가리키는 데에도 사용됩니다.브렘스스트라흐룽은 연속 스펙트럼을 가지며, 이 스펙트럼은 더욱 강렬해지고 감속 입자의 에너지 변화가 증가함에 따라 피크 강도가 더 높은 주파수로 이동한다.

일반적으로 제동 방사선은 하전 입자의 감속(부가속)으로 인해 발생하는 방사선으로 싱크로트론 방사선(상대론적 입자에 의한 광자 방출), 사이클로트론 방사선(비상대론적 입자에 의한 광자 방출), 전자와 p의 방출을 포함한다.오시트론(Ositron)이 베타 붕괴 중에 발생합니다.그러나 이 용어는 물질이 느려지는 전자(어느 선원으로부터의)의 방사선이 더 좁다는 의미에서 자주 사용된다.

혈장에서 방출되는 브렘스스트랄룽을 자유 방사선으로 부르기도 한다.이는 이 경우 방사선이 광자의 방출 이전(즉 원자 또는 분자 결합 상태가 아님)과 그 이후에도 자유로운 전자에 의해 생성된다는 사실을 의미한다.마찬가지로 결합 방사선은 이산 스펙트럼 라인(두 결합 상태 사이의 전자 "점프")을 참조하는 반면 자유 결합 방사선은 자유 전자가 이온과 재결합하는 복사 결합 과정을 참조한다.

고전적인 설명

(음)전하에 의해 발생하는 전계의 전계선과 계수는 먼저 일정한 속도로 이동한 후 빠르게 정지하여 생성된 브렘스스트라흐룽 방사선을 나타낸다.

양자 효과가 무시할 수 있는 경우, 가속 하전 입자는 라모르 공식과 상대론적 일반화에 의해 설명된 대로 전력을 방사합니다.

총 복사 전력

총 복사 전력은^[2] 다음과 같습니다.

({displaystyle P=boldfrac {q^2}\filon ^{4}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\leftfrac \boldsymbol {}}{2}+{\frac {\boldsymbol }}\cdot {{\fright} } {1-} ^2} ^2} ^2} ^2} ^2} ^2} ^2} ^2} ^2} 、

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ 서 ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ c ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ {\ $textstyle$ {\ $boldsymbol {\c}$ $=$ β frac {\ $textstyle$ \ $class$ } $= β$ 1 $}$ {\ $textstyle$ { $1-\class ^2}}$ ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ $β$ flac β flacter, ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ $flash$ β β β}는 ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ 표시계수이다.β $(\$ \symbol\symbol})의 ative ${\boldsymbol {\beta }}$ q는 입자의 전하입니다.속도가 가속도와 평행한 경우(즉, 선형 운동) 식은 다음과 같이 감소한다^[3].

({displaystyle P_{a\parallel v}=blac {q^{2}a^{2}\pi ^{6}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}})

$a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ 서, $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ v $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ ˙ $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ c { $displaystyle a\equiv$ {v} $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ = $θdot {v} c$ 는 $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ 가속도입니다.예를 들어 속도에 수직인 가속도 ${\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0$ β β β ˙ ${\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0$ 0 { $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ {\ $cdot }$ {\ $boldsymbol$ {\ $cdot}$ {\ $boldsymbol}}$ = $0)$ 의 경우, 총 출력은 다음과 같습니다.

({displaystyle P_{a\perp v}=black {q^{2}a^{2}\black^{4}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}).}

두 가지 제한 사례에서 방사되는 $\gamma ^{4}$ 은 $\left(a\perp v\right)$ $§$ $\gamma ^{4}$ ( $디스플레이$ $\gamma ^{4}$ 스타일 \displaystyle $\$ $left(a\perp v\$ $\gamma ^{6}$ $\left(a\parallel v\right)$ 6 $\gamma ^{6}$ $디스플레이$ $\gamma ^{6}$ 스타일 \ $left$ $(a$ \perp $v\$ right $\left(a\parallel v\right)$ 에 $E=\gamma mc^{2}$ 합니다. 이후 E $= mdisplay$ 2 $(\$ $\le$ v $\right)입니다.$ 동일한 $에너지$ E $(예$ : 뮤온, 양성자, 알파 입자)의 경우 $E$ 총 복사 전력은 m $m^{-4}$ - 4 $({$ $스타일$ m $^{-4})$ $m^{-6}$ m - $m^{-6}$ ({ $디스플레이 스타일$ m $^{-6$ 로 $m^{-4}$ , $m^{-4}$ 는 전자가 무거운 하전 입자(예: 뮤온, 양성자, 알파 입자)보다 훨씬 더 빨리 제동 방사선에 에너지를 잃는 이유를 설명한다.이것이 TeV 에너지 전자-양성자 충돌기(예: 국제 선형 충돌기)가 원형 터널을 사용할 수 없는 이유이며, 양성자-양성자 충돌기(예: 대형 강입자 충돌기)는 원형 터널을 사용할 수 있다.전자는 양성자보다 약 $10$ ^{14} $배$ 높은 ( $(m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}$ p / $(m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}$ e ) $(m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}$ 10 $(m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}$ { $display$ ( m $_$ { $p$ } / $m$ _ { e $)^4}$ \ { $10^{$ 13}의 속도로 제동으로 인해 에너지를 잃는다.

각도 분포

각도의 함수로서 복사 전력의 가장 일반적인 공식은 다음과 같습니다.^[4]

{d\Omega } = frac {q^{2} {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c} {\frac {\hat {n}}} {\times \left(\timesymathbf {n}}}

${\hat {\mathbf {n} }}$ 서 n $^$ {\ $displaystyle {n}}$ 은 ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\hat {\mathbf {n} }}$ 입자에서 관찰자를 가리키는 단위 벡터이고 $d\Omega$ $d\Omega$ { $displaystyle$ d $\Omega}$ 는 $d\Omega$ 솔리드 각도의 극소 비트입니다.

속도가 가속도와 평행한 경우(예: 선형 운동)에는 다음과 같이 단순화됩니다^[4].

({displaystyle {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}=pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}{\frac {{{{\cos ^{2}}}{{\ta}}}}{\frac {{{{\coscsin }}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{\csylasselon}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $\theta$ {\ $displaystyle \theta$ $}$ 은 $\theta$ $\mathbf {a}$ $($ 는) $\displaystyle$ \mathbf { $a}$ 과(와) 관측 방향 $\mathbf {a}$ 의 각도입니다.

간단한 양자 설명

이 섹션에서는 이전 섹션의 양자역학적 유사점을 설명하지만 몇 가지 단순화를 통해 설명합니다. $질량$ $m_{e}$ $,$ $전하$ $-e$ - $m_{e}$ $e$ $초기$ $v의$ 전자가 Coolrom 필드에서 감속하는 $v$ 특수 $케이스$ 인 $Ze$ $n_{i}$ 의 전자의 $비상대적$ 인 처리를 한다. $n_{i$ 방출된 방사선은 주파수 $\nu =c/\lambda$ c / $\nu =c/\lambda$ { $displaystyle \nu$ = $c/\displayda$ $h\nu$ } 및 $h\nu$ h $h\nu$ $δ$ { $displaystyle h\$ nu}의 $j(v,\nu )$ 광자로, 두 광자 사이의 방출 전력인 방사율 $(v,$ δ $)$ 를 구한다.라미네이션.우리는 이 결과를 대략적인 고전적 결과에 양자 및 기타 보정을 포함하는 자유 방출 Gunt 계수_ff g를 곱한 관점에서 쓰는 일반적인 천체물리학적 관행을 따른다.

{\displaystyle j(v,\nu)={8\pi \over 3sqrt {3}\leftsece^{2} \over 4\pi \silon _{0}\right)^3}{Z^{2}n_{i} \over c^{3}m_{e}{{{e}vg_{\rmff}{{rmff}(v}\nu)

$g_{\rm {ff}}$ $g_{\rm {ff}}$ {\ $displaystyle g_{\rm {ff}}}$ 에 $g_{\rm {ff}}$ $g_{\rm {ff}}$ 일반적인 양자역학 공식은 존재하지만 매우 복잡하며, 일반적으로 수치 계산에 의해 발견됩니다.다음과 같은 추가 전제 조건과 함께 대략적인 결과를 제시합니다.

진공 상호작용: 플라즈마 스크리닝 효과와 같은 배경 매체의 영향을 무시합니다.이는 광자 주파수가 플라즈마 주파수 $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$ p $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$ $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$ $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$ 1/ $({$ _ ${\rm$ { $pe}}\propto n_{\rm$ { $e}}^{1/$ 2 $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$ })보다 훨씬 $n_{e}$ , $n_{e}$ {\ $displaystyle$ n_ ${$ e $n_{e}$ })의 플라즈마 전자 밀도는 n_ ${$ displaystyle n_{e}이다.광파는 $\nu <\nu _{\rm {pe}}$ < $\nu <\nu _{\rm {pe}}$ $\nu <\nu _{\rm {pe}}$ e \ $displaystyle \nu$ < \ $nu$ _ { \ $rm$ { $pe$ } } 에서는 $\nu <\nu _{\rm {pe}}$ 일시적인 것이므로 현저하게 다른 접근방식이 필요합니다.
연질광자: $h\nu \ll m_{e}v^{2}/2$ $h\nu \ll m_{e}v^{2}/2$ m $h\nu \ll m_{e}v^{2}/2$ $h\nu \ll m_{e}v^{2}/2$ / $h\nu \ll m_{e}v^{2}/2$ (\ $displaystyle$ h $\nu \ll$ m_ ${e}v^{2}/2$ 즉, 광자 에너지는 초기 전자 운동 에너지보다 훨씬 작다.

이러한 가정 하에 프로세스를 특징짓는 두 개의 단위 없는 파라미터는 $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ Z $\eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v$ $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ Z $\eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v$ / $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ v $\eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v$ \ $displaystyle \eta$ _ { $Z$ $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ \ $equiv$ Ze $^{2}$ / \ $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ $\eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v$ v 2 $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ \ equestyle $\ nu$ 입니다. $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ 은 $전자이온$ $\eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v$ 쿨롱 $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ 의 강도를 측정하는 $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}$ 입니다 $.$ "소프트니스"는 항상 작다고 가정합니다(팩터 2의 선택은 나중에 편리해질 수 있습니다).제한 $\eta _{Z}\ll 1$ Z $\eta _{Z}\ll 1$ 1 $\eta _{Z}\ll 1$ { $displaystyle \eta$ _ { $Z}$ \ $ll$ 1 $\eta _{Z}\ll 1$ 에서 양자역학적 Born 근사치는 다음과 같습니다.

\displaystyle g_{\rm {ff,Born}}=sqrt {3}\over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}

반대 한계치 $\eta _{Z}\gg 1$ Z $\eta _{Z}\gg 1$ 1 { $displaystyle \eta$ _ { $Z$ } \ $gg$ 1 $\eta _{Z}\gg 1$ }에서는 완전한 양자역학적 결과가 완전히 고전적인 결과로 감소한다.

\displaystyle g_{\rm {ff,class}=syslogrt {3} \over \pi }\left [\ln \left 1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }} - \right ]

여기서 $\gamma \approx 0.577$ 0. $(표시$ 스타일 $\gamma \약$ 0. $577)$ 은 $\gamma \approx 0.577$ 오일러-마셰로니 상수이다.1 $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ / $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ Z $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ $=$ $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ / $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ e $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ ${\$ { $display style$ 1 $/\eta$ _ ${Z}\eta$ _ ${\nu$ }=m_{ $e}v^{3}/\pi$ Ze $^{2}\nu }$ 는 $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ 플랑크의 $h표시$ (\ $style$ h $h$ 가 없는 순수 고전적인 표현이라는 $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu$ 에 유의하십시오.

Gunt 계수를 이해하기 위한 반고전적이고 경험적인 방법은 g $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ x / $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ i n $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ ) { $display$ g _ { \ $rm$ { $max$ } \ $ln$ ( b $_$ { \ $rm$ { max } ) 。 $b_{\max }$ 서 $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ b $b_{\max }$ $b_{\rm {min}}$ $style$ $b$ _ { \ $g_{\rm {ff}}\approx \ln(b_{\rm {max}}/b_{\rm {min}})$ $rm$ { \ $max$ $b_{\max }$ } } $b_{\rm {min}}$ $b_{\rm {min}}$ 。매개변수"를 지정한다. $b_{\rm {max}}=v/\nu$ $b_{\rm {max}}=v/\nu$ $b_{\rm {max}}=v/\nu$ $b_{\rm {max}}=v/\nu$ $b_{\rm {max}}=v/\nu$ / ${\$ { $displaystyle$ b _ { \ $rm$ { $max$ } $=$ v / \nu $b_{\rm {max}}=v/\nu$ : 보다 큰 충격 파라미터의 경우 광자장의 사인파 진동은 상호작용을 강하게 감소시키는 "위상혼합"을 $b_{\rm {min}}$ 한다. $b_{\rm {min}}$ $b_{\rm {min}}$ n {\ $display style b_{\rm$ {min $}}$ }는 $b_{\rm {min}}$ 양자역학적 디브로글파장 파장의 큰 파장이다. $\approx h/m_{e}v$ / $\approx h/m_{e}v$ e $v$ \ $displaystyle$ \ approx h / m _ { e $}$ v $\approx h/m_{e}v$ $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ 2 / $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ $0$ 0 $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ approx e^ { $2 }$ / 4 \ $pi$ \ $epsilon _$ { 0 } m _ { 0 $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ } m _ { e } $v$ } v $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ ^ {2} v } $\approx h/m_{e}v$ where approach approach approach $\approx e^{2}/4\pi \epsilon _{0}m_{e}v^{2}$ 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

위의 결과는 일반적으로 로그의 인수가 큰 한 적용되며, 단일성보다 작을 때 분해됩니다.즉, Gunt 계수는 이 경우 음이 되며 이는 비물리적입니다.적절한 Born 및 Classical 한계와 함께 전체 계산에 대한 대략적인 근사치는 다음과 같습니다.

{\displaystyle g_{\rm {ff}} \max \left [1, {\sqrt {3} \over \pi } \ln \left [ {\nu } \max ( 1, e^ {\gamma } \eta _{Z}} \right ]

서멀 브렘스스트룽: 배출과 흡수

bremsstrahlung 파워 스펙트럼은 큰

\omega

(\

displaystyle \obega

에 대해 급격히 감소하며

\omega =\omega _{\rm {p}}

\omega =\omega _{\rm {p}}

\omega =\omega _{\rm {p}}

p \

displaystyle \obega

= \

obega

_

{\rm {p

부근에서도 억제된다.이 그림은 양자

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

e

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

>

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

2

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

T_{e}>Z^{2}E_{\rm {h}}

{\

>

Z^{2}E_{\rm

{

h

및

\hbar \omega _{\rm {p}}/T_{e}=0.1

\hbar \omega _{\rm {p}}/T_{e}=0.1

p p

\hbar \omega _{\rm {p}}/T_{e}=0.1

/

\hbar \omega _{\rm {p}}/T_{e}=0.1

=

0.

\hbar \omega _{\rm {p}}/T_{e}=0.1

\

displaystyle \hbar _{\rm {p}}/T_{e

}=

0.1

에 대한 것입니다.

이 절에서는 거시적 매체에서의 bremsstrung 배출과 역흡수 과정(역 bremsstrung이라고 함)에 대해 논의한다.먼저 복사 전달 방정식으로 시작합니다. 복사 전달 방정식은 단순 절차뿐만 아니라 일반 프로세스에 적용됩니다.

(\displaystyle\frac{1}{c}}\displaystyle_{t})I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n}}}\cdot \cdot \cdla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }

$I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ $I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ ( $I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ , $I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ x $I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ ) { $display$ I _ { \ $nu$ } ( $t$ , \ $mathbf$ { $x$ } )는 $I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ 두 편광에 대한 방사선 스펙트럼 강도 또는 전력(광자 속도 공간의 면적 * 고체 각도 * 광자 주파수)입니다. $j_{\nu }$ $j(v,\nu )$ ${\$ { $display$ style $j_{\nu$ }}는 $j_{\nu }$ $j(v,\nu )$ $j(v,\nu )$ ( $j(v,\nu )$ , $j(v,\nu )$ ) display j $style$ disputeanu, dised j( $)\nu$ , display $jv )\$ nu, display j, discline, discline, disponyle, dis $k_{\nu }$ k $(\$ 는 $k_{\nu }$ 흡수율입니다. $(\$ $k_{\nu }$ k $(\$ })는 $k_{\nu }$ 방사선이 아닌 물질의 특성이며, 앞 절에서와 같이 한 쌍의 전자와 이온의 모든 입자를 설명한다. $I_{\nu }$ (\ $displaystyle I_{\nu }})$ 가 $I_{\nu }$ 시공간이 동일하면 전송 방정식의 왼쪽은 0이 되고

I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }

물질과 방사선이 일정 온도에서 열평형 상태에 있는 경우 $I_{\nu }$ $†$ {\ $displaystyle I_{\nu }}$ 은 $I_{\nu }$ (는) 흑체 스펙트럼이어야 합니다.

B_{\nu }({nu, T_{e})=blac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}{\frac {1}{e^{h\nu/k_{\rm {B}}}T_{e}}-1}

$j_{\nu }$ ${\$ ( \ $displaystyle j _$ { \ nu $j_{\nu }/k_{\nu }$ } ) $k_{\nu }$ $k_{\nu }$ ${\$ ( \ $displaystyle k$ _ { \ $nu }$ )는 $k_{\nu }$ I ${\$ ( \ $displaystyle$ I _ { \ $nu$ $I_{\nu }$ } $I_{\nu }$ 와는 독립적이기 $j_{\nu }$ 에 $j_{\nu }/k_{\nu }$ 는 물질이 평형 상태에 있을 때 항상 j $j_{\nu }/k_{\nu }$ / ${\$ ( \ $displaystyle$ j $_$ { \ $nu$ } / $j_{\nu }/k_{\nu }$ _ { \ nu } / nu } / nu } / k _ {\ nu })의 $j_{\nu }/k_{\nu }$ 스펙트럼이어야 함을 의미합니다.방사선을 쬐죠이를 통해 j $(\$ })와 $j_{\nu }$ $k_{\nu }$ (\ $displaystyle$ k_{\ $nu$ }})를 $k_{\nu }$ 모두 알 수 있게 됩니다(균형상태의 물질).

플라즈마 내

메모: 이 섹션에서는 현재 Rayleigh-Jeans 제한 $\hbar \omega \ll k_{\rm {B}}T_{e}$ formulas k B $\hbar \omega \ll k_{\rm {B}}T_{e}$ \ $displaystyle$ \ $hbar \ obega$ \ $ll$ k_ ${\rm$ { $}}$ 에 적용되는 수식을 제공합니다. $T_{e$ 및 방사선 정량화(Planck) 처리를 사용하지 않습니다.따라서 exp $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ ( $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ - " " $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ / $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ ) { $displaystyle$ \ $exp$ ( - \ $hbar$ \ omega / $k$ _ { \ $rm$ { $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ B } )와 같은 일반적인 인수입니다. $T_{e}}$ 이 $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})$ (가) 표시되지 않습니다. $\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e}$ / / $\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e}$ B $\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e}$ $\$ $displaystyle$ \ $hbar \$ 메가 / k _ { \ $rm$ { $B$ }의 외관 $아래$ $y$ 의 $y$ T_ ${$ $e}$ 는 $\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e}$ 충돌의 양자역학적 처리에 의한 것입니다.

플라즈마에서 자유 전자는 이온과 지속적으로 충돌하여 브렘스스트랄렁을 생성합니다.완전한 분석을 위해서는 2진수 쿨롱 충돌과 집단(유전체) 동작을 모두 고려해야 합니다.자세한 처리는 베케피,^[5] 간이 처리는 이치마루가 ^[6]합니다.이 섹션에서는 컷오프 웨이브넘버( $k_{\rm {max}}$ m $k_{\rm {max}}$ {\ $display$ style $k_{\rm {max$ 를 통해 충돌하는 Bekefi의 유전체 처리를 따릅니다.

온도 $T의$ 분포에 따라 열전자가 분포된 균일한 플라즈마를 생각해 보자 $T_{e}$ 베케피에 이어 전력 스펙트럼 밀도(볼륨당 각 주파수 간격당 전력, 고체 각도의 ${display 4\pi }$ sr $4\pi$ $4\pi$ 에 통합됨)와양쪽 편광)은 방사된 브렘스스트룽의 다음 값을 계산한다.

({displaystyle {dP_{\mathrm {Br}} \over d\oper d\oper d\oper d\ober rt {2} \over 3brt {pi } \left [ { e } \ } \ pi \ varepsilon _ { 0 } \ } \ } { 1 \ } { 1 \ } { 1 \ over ( mathright ) { 1 } } } } } } { 1 } { 1 } } } } ^2 } } } 、 {T_{e}^{1/2}} E_{1}(y),}

여기서 $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ p $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ ( $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ e $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ / $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ 0 $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ e ) $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ / $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ ( \ $displaystyle$ \ $osmega$ _ $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ { p } \ $equiv$ ( $n$ _ { $e }$ e^ { } / \ $varepsilon _$ { 0 } m _ { e } $)^{$ 1/ $2}}$ 는 $\omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ 전자 $\omega$ 플라즈마 주파수 $,$ $n_{e},n_{i}$ $n_display$ $style$ $n_{e},$ $.$ er 기호는 물리 상수입니다.두 번째 괄호화 인자는 플라즈마 내 광파의 굴절률로 $\omega <\omega _{\rm {p}}$ < $\omega <\omega _{\rm {p}}$ p \ $display \ omega$ < \ $메가$ _ { \ $rm$ { p $\omega <\omega _{\rm {p}}$ } $\omega <\omega _{\rm {p}}$ （ $이것$ 은 플라즈마 내 광파의 컷오프 조건이며, 이 경우 광파는 에버넨트)에 대해 방출이 크게 억제됨을 나타낸다. $\omega >\omega _{\rm {p}}$ 이 공식은 $\omega >\omega _{\rm {p}}$ $\$ 에만 적용됩니다.이 공식은 다종 혈장 내 이온 종에 대해 합산되어야 한다.

E1{\displaystyle E_{1}}이 기하 급수적으로 적분 기사에서 가 정의되어 있는 특별한 기능 및unitless 수량 y{이\displaystyle}이다.

y={1\over 2}{\omega ^{2}m_{e}\over k_{\rm{맥스}}^{2}k_{\rm{B}}.T_{e}}

Km x{\displaystyle k_{\rm{맥스}}}은 최대 또는 차단 wavenumber, 발생한 때문에 2진 충돌할 수 있고, 달라지와 이온의 종이다.때 BTe을 k 대략 k}};Z나는 2Eh{\displaystyle k_{\rm{B}}는 x=1/λ B{\displaystyle k_{\rm{맥스}}=1/\lambda _{\rm{B}m.T_{\rm{e}}을, Eh}\approx 27.2}eV는 하트리 에너지 27.2{\displaystyle E_{\rm{h}≈ Z_{나는}^{2}E_{\rm{h}}}(플라스마 양쪽에서 너무 춥지 않은 그룹들이 전형적인), λ B)ℏ/(mekBTe)=\hbar/1/2{\displaystyle \lambda_{\rm{B}}(m_{\rm{e}}k_{\rm{B}}.드 브로이 파장 T_{\rm{e}})^{1/2}}[해명 필요한]은 전자 열.\propto 1{\rm{C} 그렇지 않으면, k}}}는 x∝ 1/나는 C{\displaystyle k_{\rm{맥스}m 근접한 접근법의l C{\displaystyle l_{\rm{C}}}은 SQL쿨롱 거리이다.

$k_{m}=1/\lambda _{B}$ 의 $k_{m}=1/\lambda _{B}$ k $k_{m}=1/\lambda _{B}$ $k_{m}=1/\lambda _{B}$ 1 / ${\$ $k_{m}=1/\lambda _{B}$ { $display style$ k _ { m } = 1 / \ $squalda$ _ { $B$ } $we$ 。

y={1\over2}\left[{\frac {hbar \obega}{k_{\rm {B}}T_{e}}\right]^{2}.

$\omega _{\rm {p}}$ P $dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ r / $dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ ${\$ { \ $displaystyle dP$ _ { \ $mathrm$ { $Br$ $\omega _{\rm {p}}$ $dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ / d \ 메가 $dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ $}$ 의 공식은 $\omega _{\rm {p}}$ { \ $displaystyle$ \ $}$ 보다 약간 위쪽에 $\omega$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $slightly$ \ $occurring$ $\omega$ $occurring$ occurring occurring occurring occurring occurring occurring에 대해 발생하는 확장 방출을 무시한다는 점에서 근사치입니다.

$y\ll 1$ y $y\ll 1$ 1 { $display$ y \ $ll$ 1 $E_{1}$ $y\ll 1$ 57 $E_{1}$ 、 E $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ ）57 - $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ [ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ ] $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ + $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ ( y $){$ $\gamma \approx 0.577$ $E_{1}$ ( y ) \ approx - $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ \ $lnye ^$ { \ $gamma$ } + $\gamma \approx 0.577$ $O$ ( y )로서 $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ $E_{1}$ ( y )에 $E_{1}$ 할 수 있습니다 $\gamma \approx 0.577$ 선행 로그 용어는 자주 사용되며 다른 충돌 플라즈마 계산에서 발생하는 쿨롱 로그와 유사합니다.y $y>e^{-\gamma }$ > $y>e^{-\gamma }$ - ${\$ （ \ $display$ y > $e^$ { - \ $gamma }$ ）의 $y>e^{-\gamma }$ $y>e^{-\gamma }$ 로그 항은 음수이며 근사치가 불충분합니다.Bekefi는 상세한 이진 충돌 계산과 일치하는 로그 항에 대한 수정된 식을 제공합니다.

모든 주파수에 걸쳐 통합된 총 방출 전력 밀도는

디스플레이 스타일P_{\mathrm{Br}}&=\int _{\omega_{\rm{p}}}^{\infty}d\omega{dP_{\mathrm{Br}}\over d\omega}=ᆯ\left[{e^{2}\over 4\pi \varepsilon_{0}}\right]^{3}{1\over m_{e}^{2}c^{3}}Z_{나는}^{2}n_{나는}n_{e}k_{\rm{맥스}}G(y_{\rm{p}})\\G(y_{p})&, ={1\over 2{\sqrt{\pi}}}\int _{y_{\rm{p}}}^{\infty}dy\,y^{-{\frac{1}{2}}}\left는 경우에는 1-{y_{\rm{p}}. \over는 y}\right]^{\frac {1}{2}}E_{1}(y)\y_{\rm {p}}&=y(\omega=_{\rm {p})\end{aligned}}}

G(y_{\rm {p}}=0)=1

(

G(y_{\rm {p}}=0)=1

p

G(y_{\rm {p}}=0)=1

)

G(y_{\rm {p}}=0)=1

{ \

displaystyle

G ( y _ { \

rm

{ p } = 0 ) =

G(y_{\rm {p}}=0)=1

1 。

y_{\rm {p}}

p { \

displaystyle

y _ { \

rm

{

p

}

y_{\rm {p}}

}

y_{\rm {p}}

。항상 양의 값입니다.

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

a

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

1

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

/

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

B {

displaystyle

k

_

{ \

rm

{

max

}

= 1

/ \

displayda

_ { \

rm

{

B

}

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

k_{\rm {max}}=1/\lambda _{\rm {B}}

、

{\displaystyle P_{\mathrm {Br} = {16 \over 3) {\leftflac {e^{2} {4\pi \varepsilon _{0}}\right}^{3} \over (m_{e}c^{2}^{\hbar}}_i}^{n}_n}{n}{n}{n}T_{e}^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}:

$§$ $\lambda _{\rm {B}}$ 의 양자성질에 따른 § ${\displaystyle\hbar}$ 의 $\hbar$ $\lambda _{\rm {B}}$ 외관에 주의한다.실용 단위에서는 이 공식의 $G=1$ $G=1$ 1 ${\$ $displaystyle$ G=1 $}$ 에 대해 $G=1$ 으로 사용되는 버전은 다음과 같다.

P_{\mathrm {Br}}[{\textrm {W}}/{\textrm {m}^{3}}={Z_{i}{2}n_{e} \over \left [7.69\times 10^{18}{m}{-3}\right}^{2}T_{e}[{\textrm {eV}}}^{\frac {1}{2}}.

이 공식은 위에 제시된 공식의 1.59배이며, 이진 충돌에 대한 세부 사항으로 인해 차이가 있습니다.이러한 모호성은 종종 Gunt $g_{\rm {B}}$ g $(\$ 를 도입함으로써 표현된다.

\varepsilon _{\mathrm {ff} } =4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{e}n_{i}Z^{2}g_{\rm {B}},

여기서 모든 것이 CGS 단위로 표현됩니다.

상대론적 수정

양성자에 충돌하는 전자에 의한 30keV 광자의 방출에 대한 상대론적 보정.

매우 높은 온도의 경우 이 공식에는 상대론적 보정이 있습니다. 즉, k $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ T $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ / $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ 2의 $k_{\rm {B}}T_{e}/m_{e}c^{2}\,.$ 항입니다 $.\displaystyle k_{\rm {B}$ $T_{e}/m_{e}c^{2}, .}$

브렘스스트룽 냉각

플라즈마가 광학적으로 얇으면 브렘스트룽 방사선이 플라즈마를 떠나 내부 플라즈마 에너지의 일부를 운반합니다.이 효과는 bremsstrahlung 냉각이라고 알려져 있습니다.이것은 복사 냉각의 일종입니다.bremsstrahlung에 의해 운반되는 에너지는 bremsstrahlung 손실이라고 불리며, 일종의 복사 손실을 나타냅니다.일반적으로 용융 플라즈마에서와 같이 플라즈마 냉각이 바람직하지 않을 때 bremsstrahlung loss라는 용어를 사용한다.

편광단축

편광 브렘스스트랄룽(또는 "원자 브렘스스트랄룽"이라고도 함)은 ^[10]^[11]대상 원자가 입사 하전 입자의 쿨롱장에 의해 편광될 때 대상의 원자 전자에 의해 방출되는 방사선이다.총 제동 스펙트럼에 대한 편광 제동 스펙트럼의 기여는 상대적으로 큰 입사 입자,^[12] 공명 ^[13]과정 및 자유 ^[14]원자와 관련된 실험에서 관찰되었다.그러나 고체 ^[15]^[16]표적에 빠른 전자가 입사하는 실험에서 편광 제동력에 유의한 기여가 있는지에 대해서는 여전히 논란이 있다.

"편광"이라는 용어는 방출된 브렘스스트룽이 편광된다는 것을 의미하는 것이 아니라는 점에 유의할 필요가 있다.또 편광브렘스트랄룽의 각도 분포는 이론적으로 일반브렘스트랄룽과 ^[17]상당히 다르다.

원천

X선관

로듐 타깃이 있는 X선 튜브가 60kV로 작동하는 X선 스펙트럼.연속곡선은 bremsstrahlung에 의한 것이며, 스파이크는 로듐의 특징적인 K라인입니다.곡선은 Duane과 합의하여 21시에 0이 된다.헌트의 법칙(텍스트에 기재되어 있습니다.

X선 튜브에서 전자는 진공 상태에서 전기장에 의해 "타깃"이라고 불리는 금속 조각을 향해 가속됩니다.X선은 전자가 금속에서 감속(감속)할 때 방출됩니다.출력 스펙트럼은 연속적인 X선 스펙트럼으로 구성되며, 특정 에너지에서 추가적인 첨예한 피크를 가진다.연속 스펙트럼은 bremsstrahlung에 의한 것이며, 첨예한 피크는 목표물의 원자와 관련된 특징적인 X선이다.이러한 이유로 이러한 맥락에서 bremsstrahlung은 연속 ^[18]X선이라고도 불립니다.

이 연속 스펙트럼의 모양은 크래머스의 법칙에 의해 대략적으로 설명된다.

크래머스의 법칙 공식은 일반적으로 방출된 ^[19]방사선의 $δ(\$ displaystyle\ $lambda)$ 에 $\lambda$ 대한 강도( $)$ I(\ $displaystyle$ I $I$ ) 분포로 주어진다.

I(\lambda), d\lambda = K\left({\frac {\flac {\flac}_{\min}}-1\right){\frac {1}{\flambda ^{2}},d\flamda

상수 K는 대상 원소의 원자 번호에 비례하며, $\lambda _{\min }$ min {\ $displaystyle \lambda$ _ ${\min$ }}은 $\lambda _{\min }$ Duane에 의해 주어진 최소 파장이다.헌트법.

스펙트럼의 컷오프는 µ $($ 스타일 $\lambda$ _ ${\min$ 이며, 이는 들어오는 전자의 에너지가 제한적이기 때문입니다.예를 들어 튜브 안의 전자가 60kV를 통해 가속되면 60keV의 운동에너지를 얻고 목표물에 부딪히면 에너지 보존에 의해 최대 60keV의 에너지를 가진 X선을 만들 수 있다.(이 상한은 X선 광자를 1개만 방출함으로써 전자가 정지하는 것에 해당합니다.보통 전자는 많은 광자를 방출하며, 각각은 60 keV 미만의 에너지를 가집니다.최대 60 keV의 에너지를 가진 광자는 최소 21 pm의 파장을 가지므로 그래프에서 볼 수 있듯이 연속 X선 스펙트럼은 정확히 그러한 컷오프를 가진다.보다 일반적으로 저파장 컷오프 공식인 Duane-헌트법이란?^[20]

\displaystyle \da _{\min}=\frac {hc}{eV}}\ 약 {frac {1239}.8} {V} {\text {pm/kV}}

여기서 h는 플랑크의 상수, c는 빛의 속도, V는 전자가 가속되는 전압, e는 기본 전하, pm은 피코메트이다.

베타 붕괴

베타 입자 방출 물질은 때때로 약한 방사선을 나타내며, 연속 스펙트럼은 bremsstrhlung에 기인한다(아래 "외부 bremsstrhlung" 참조).이러한 맥락에서 bremsstrahlung은 1차 방사선(베타 입자)을 정지(또는 감속)한 결과로 생성되는 "2차 방사선"의 일종이다.베타 방사선의 고속 전자에 의해 생성된다는 점을 제외하면 X선 발생기의 전자로 금속 표적에 충격을 가하여 생성되는 X선과 매우 유사합니다.

내측 및 외측 Bremsstrahlung

"내부" bremsstrahlung ("내부 bremsstrahlung"이라고도 함)은 전자가 생성되고 핵을 떠날 때 전자의 강한 전기장으로 인한 에너지 손실에서 발생합니다.그러한 방사선은 원자핵의 베타 붕괴의 특징이지만, 가끔 (덜 흔하게) 양성자로의 자유 중성자의 베타 붕괴에서 볼 수 있다. 여기서 베타 전자가 양성자를 떠나면서 생성된다.

베타 붕괴에 의한 전자 및 양전자 방출에서 광자의 에너지는 전자-핵자 쌍에서 나오며, 베타 입자의 에너지가 증가함에 따라 브렘스트룽의 스펙트럼이 지속적으로 감소한다.전자포획에서 에너지는 중성미자를 희생하여 발생하며, 스펙트럼은 정상 중성미자 에너지의 약 1/3에서 가장 커지며, 정상 중성미자 에너지에서 전자파 에너지가 0으로 감소합니다.전자포착의 경우 하전입자가 방출되지 않아도 브렘스스트룽이 방출된다는 점에 유의하십시오.대신, 브렘스스트룽 방사선은 포착된 전자가 흡수되는 방향으로 가속되면서 생성된 것으로 간주될 수 있다.그러한 방사선은 연감마선과 동일한 주파수에 있을 수 있지만 감마 붕괴의 뚜렷한 스펙트럼 라인을 나타내지 않기 때문에 기술적으로 감마선이 아니다.

위에서 ^[21]논의한 바와 같이 외부로부터 오는 전자의 핵(즉, 다른 핵에 의해 방출되는)에 대한 충돌로 인해 내부 프로세스는 "외부" 브렘스스트렁과 대조되어야 한다.

방사선 안전성

어떤 경우에는, 예를 들어 인-32, 제동 복사(예를 들어 이어지)고, 그런 경우에, 차폐 밀도가 낮은 재료로 진행되어야 한다. 위험한 것이 보통 사용했다 울창한 재료를 베타 방사선 차폐에 의해 생산된, 유리(루싸이트), 플라스틱, 나무, 또는 물[22]로 원자 번호 이런 자료들을 낮게 설정되어 있으면 강도. bre의msstrahlung은 현저하게 감소하지만 전자(방사선)를 멈추려면 더 두꺼운 차폐가 필요하다.

천체물리학에서

은하단에서 지배적인 발광 성분은 10에서 10⁸ 켈빈의 은하단⁷ 내 매질입니다.클러스터 내 매질로부터의 방출은 열브렘스트룽(thermal bremsstrahlung)이 특징입니다.이 방사선은 X선의 에너지 범위에 있으며 찬드라 X선 관측소, XMM-뉴턴, ROSAT, ASCA, EXOSAT, 스자쿠, RHESI와 같은 우주 기반 망원경 및 IXO [1 ] 및 Astro-H2와 같은 미래 임무에서 쉽게 관찰할 수 있다.

브렘스스트랄룽은 또한 전파 파장에서 HII 영역에 대한 지배적인 방출 메커니즘이다.

방전 중

예를 들어 실험실이 두 전극 사이에서 방전되거나 구름과 지면 사이 또는 구름 안에서 번개가 방전될 때 전자는 공기 분자에서 산란하면서 브렘스스트랄롱 광자를 생성합니다.이러한 광자는 지상 감마선 섬광에 나타나며 전자, 양전자, 중성자 및 ^[23]양성자 빔의 선원이 된다.브렘스스트룽 광자의 출현은 또한 낮은 ^[24]산소 비율을 가진 질소-산소 혼합물의 방전의 전파와 형태학에 영향을 미친다.

양자역학적 설명

완전한 양자역학적 설명은 베테와 하이틀러에 ^[25]의해 처음 수행되었다.그들은 원자의 핵에서 산란하는 전자의 평면파를 가정하고, 그 과정의 완전한 형상을 방출된 광자의 주파수와 관련짓는 단면을 도출했다.쌍생산에 대한 양자역학적 대칭을 보여주는 4중 미분 단면은 다음과 같다.

{\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left \mathbf {p} _{f}\right }{\left \mathbf {p} _{i}\right }}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left \mathbf {q} \right ^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left \mathbf {p} _{f}\right \cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left \mathbf {p} _{i}\right \cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left \mathbf {p} _{f}\right \cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left \mathbf {p} _{i}\right \cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left \mathbf {p} _{i}\right \left \mathbf {p} _{f}\right \sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left \mathbf {p} _{f}\right \cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left \mathbf {p} _{i}\right c1\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right].\end{aligned}}

There $Z$ is the atomic number, $\alpha _{\text{fine}}\approx 1/137$ the fine structure constant, $\hbar$ the reduced Planck's constant and $c$ the speed of light. The kinetic energy $E_{{\text{kin}},i/f}$ of the electron in the initial and final state is connected to its total energy $E_{i,f}$ or its momenta $\mathbf {p} _{i,f}$ via

E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},

where $m_{e}$ is the mass of an electron. Conservation of energy gives

E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,

where $\hbar \omega$ is the photon energy. The directions of the emitted photon and the scattered electron are given by

{\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}

where $\mathbf {k}$ is the momentum of the photon.

The differentials are given as

{\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}

The absolute value of the virtual photon between the nucleus and electron is

{\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left \mathbf {p} _{i}\right ^{2}-\left \mathbf {p} _{f}\right ^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left \mathbf {p} _{i}\right {\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left \mathbf {p} _{f}\right {\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left \mathbf {p} _{i}\right \left \mathbf {p} _{f}\right \left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}

The range of validity is given by the Born approximation

v\gg {\frac {Zc}{137}}

where this relation has to be fulfilled for the velocity $v$ of the electron in the initial and final state.

For practical applications (e.g. in Monte Carlo codes) it can be interesting to focus on the relation between the frequency $\omega$ of the emitted photon and the angle between this photon and the incident electron. Köhn and Ebert integrated the quadruply differential cross section by Bethe and Heitler over $\Phi$ and $\Theta _{f}$ and obtained:^[26]

{\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}

with

{\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}

and

{\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left \mathbf {p} _{f}\right }{\left \mathbf {p} _{i}\right }}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left \mathbf {p} _{i}\right \cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left \mathbf {p} _{f}\right +2\left \mathbf {p} _{i}\right \left \mathbf {p} _{f}\right \cos \Theta _{i}.\end{aligned}}

However, a much simpler expression for the same integral can be found in ^[27] (Eq. 2BN) and in ^[28] (Eq. 4.1).

An analysis of the doubly differential cross section above shows that electrons whose kinetic energy is larger than the rest energy (511 keV) emit photons in forward direction while electrons with a small energy emit photons isotropically.

Electron–electron bremsstrahlung

One mechanism, considered important for small atomic numbers $Z$ , is the scattering of a free electron at the shell electrons of an atom or molecule.^[29] Since electron–electron bremsstrahlung is a function of $Z$ and the usual electron-nucleus bremsstrahlung is a function of $Z^{2}$ , electron–electron bremsstrahlung is negligible for metals. For air, however, it plays an important role in the production of terrestrial gamma-ray flashes.^[30]

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External links

Index of Early Bremsstrahlung Articles

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Formalism	Euler–Heisenberg Lagrangian Feynman diagram Gupta–Bleuler formalism Path integral formulation
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