채슬스의 정리(운동학)

운동학에서 차슬스의 정리 또는 모찌-차슬의 정리에서는 가장 일반적인 강체 체위변위는 그 선에 평행한 축을 중심으로 한 회전에 따른 선(나사 축 또는 선행)을 따라 번역에 의해 만들어질 수 있다고 말한다.^[1][2][3]

역사

공간적 변위가 회전으로 분해되어 선 주위를 빙글빙글 돌 수 있다는 증거는 천문학자 겸 수학자 줄리오 모찌(1763년), 사실 나사 축은 이탈리아에서는 전통적으로 아스 디 모찌라고 불린다.그러나 대부분의 교과서는 1830년부터 시작된 미셸 차슬스의 후속 유사 작품들을 언급하고 있다.^[4]M의 또 다른 동시대인 몇 명.차슬스는 그 무렵 G. 조르지니, 카우치, 푸인소트, 푸아송, 로드리게스를 포함한 동일하거나 유사한 결과를 얻었다.줄리오 모찌의 1763년 증명서와 그 역사의 일부에 대한 설명은 여기에서 찾을 수 있다.^[5][6]

증명

Mozzi는 처음에는 질량 중심을 통과하는 축을 중심으로 회전한 다음 임의의 방향으로 변위 D의 변환을 거치는 경직된 몸을 간주한다.어떤 경직된 동작도 오일러의 회전의 축 존재에 관한 정리 때문에 이런 식으로 이루어질 수 있다.질량 중심 변위 D는 축에 평행하고 수직인 구성 요소로 분해될 수 있다.수직(및 평행) 구성요소는 강체 본체의 모든 지점에 작용하지만, Mozzi는 일부 지점의 경우 이전 회전이 정확히 반대 변위로 작용했기 때문에 그러한 점들은 회전 축과 평행하게 번역된다는 것을 보여준다.이 지점들은 나사 운동을 통해 경직된 움직임이 이루어질 수 있는 Mozzi 축에 놓여 있다.

모찌-카슬레스의 정리에 대한 또 다른 기본적인 증거는 E. T.에 의해 제시되었다. 1904년 휘태커.^[7]A가 B로 변한다고 가정하자.휘태커는 주어진 회전 축에 평행하게 선 AK를 선택하고, K는 B로부터 직각인 발의 것을 제안한다.적절한 나사 변위는 K가 B로 이동되는 AK에 평행한 축에 대한 것이다.이 방법은 회전과 번역의 구성을 적절한 중심에 대한 회전으로 대체할 수 있는 유클리드 평면 등각계에 해당한다.휘태커의 용어로, "어떤 축에 대한 회전은 축에 수직인 방향으로의 간단한 번역과 함께 축에 평행한 어떤 축에 대해서도 같은 각도를 통한 회전에 해당한다."

계산

스크루 모션으로부터의 통근번역 및 회전 계산은 ${\displaystyle {\mathrm{3D}}_{}}$ 유클리드 공간의 기하 대수인 $$3DPGA(${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$0${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ {$R} _{3,0,1})$를 사용하여 수행할 수 있다.^[8]It has three Euclidean basis vectors ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ satisfying ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}=1}$ representing orthogonal planes through the origin, and one Grassmanian basis vector ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$ satisfying ${\displaystyle$$\mathbf {e} _{0}^{2}=0}$ 무한대의 평면을 나타내기 위해$$.그런 다음 원점으로부터의$$ 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를) 선형 조합으로 구성할 수 있다.

${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ a$^{2}=1}$이(가) $되도록{\displaystyle {}^{}}$ 정규화된다$.$ 반사가 발생하는 평면으로 나타낼 수 있기 때문에, 두 평면의 $곱$은 ${\displaystyle b}$ ${\$$displaystyle a}$과 b ${\$$displaystyle b}$이다$.$결과는 교차로 $선주변{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$b ${\displaystyle a\wedge$ b$}$을(를) 회전하는 것으로$,$ 두 개의 반사가 평행할 때 평면에 무한대로 놓여질 수 있으며, 이 경우 $([\displaystyle ab})$는 변환이다$$.

스크류 모션 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 4개의 비접합 반사의 산물이며, 따라서 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S=abcd$ 그러나 Mozi-Chasles의 정리대로 스크류 모션을 통근 번역으로 분해할 수 있다.

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 ${\displaystyle \mathrm{B}}$ $1{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 0 ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$을(를$)$ 만족하는 번역 축이다$$.여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 B ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$을(를) 만족하는 회전 축이다$$$.$$B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$디스플레이 스타일 $B_{1}$및$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $스타일$ $B_{2$}}개의 바이브레이터 라인은 직교 및 통근이다$$.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 및$$ R ${\displaystyle R}$을(를) 찾으려면 S ${\displaystyle S}$을(를) 작성하여$$ 등급별 결과를 고려하십시오$.$Because the quadvector part ${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$ and ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$, ${\displaystyle T}$ is directly found to be^[9]따라서Thus, for a given screw motion ${\displaystyle S}$ the commuting translation and rotation can be found using the two formulae above, after which the lines ${\displaystyle B_{1}}$ and ${\displaystyle B_{2}}$ are found to be proportional to ${\displaystyle \langle T\rangle _{2}}$ and ${\displaystyle ⟨R{⟩}_2}$${\displaystyle {}_{}}$각각$$ ${\displaystyle \langle R\angle _{2}.$

참조

추가 읽기

• 벤자민 피어스 (1872) 분석역학의 체계, III.회전과 번역의 결합 동작, 특히 § 32와 § 39, 데이비드 밴 노스트랜드 & 컴퍼니, 인터넷 아카이브의 링크