콤팩트 요소
Compact element |
순서 이론의 수학적 영역에서, 부분 순서 집합의 컴팩트 요소 또는 유한 요소는 컴팩트 요소 위에 이미 구성원을 포함하지 않은 어떤 비빈 방향 집합의 우월성에 의해 요약될 수 없는 요소들이다. 이러한 콤팩트함의 개념은 집합이론에서는 유한 집합의 개념, 위상에서는 콤팩트 집합, 대수학에서는 정교하게 생성된 모듈들을 동시에 일반화한다.(수학에서는 콤팩트함에 대한 다른 개념들이 있다.)
형식 정의
부분적으로 순서가 지정된 집합(P,610)에서 원소 c는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 콤팩트(또는 유한)라고 한다.
- P의 모든 지시된 부분 집합 D에 대해, D가 우월 Supp D와 c c Sup D를 가지고 있다면 D의 일부 요소에 대해 c ≤ d를 가진다.
- P의 모든 이상 I에 대해, 만약 내가 최상급 Sup I과 C ≤ Sup I을 가지고 있다면, C는 I의 요소다.
P가 추가적으로 조인-세밀라티치(즉, 이항우월성을 갖는 경우)인 경우, 이러한 조건은 다음과 같은 문구와 동일하다.
- P의 모든 부분 집합 S에 대해, S가 우월 S와 c subset S를 가지고 있다면, S의 일부 유한 부분 집합 T에 대해 c ≤ Sup T.
특히 c = Sup S이면 c는 S의 유한 부분 집합의 우월성이다.
이러한 동등성은 관련된 개념의 정의로부터 쉽게 검증된다. 조인-세밀라티스의 경우, 유한(비어있는)우월성 이하에서 닫힘으로써 어떤 세트도 동일한 우월성을 가진 디렉티드 세트로 전환될 수 있다.
지시된 완전한 부분 주문 또는 완전한 격자를 고려할 때, 지정된 우월성이 존재한다는 추가 요건은 물론 삭제될 수 있다. 완전하게 지시된 조인-세밀라티스는 거의 완전한 격자(최소한의 요소가 결여되었을 가능성이 있음)이다. 자세한 내용은 완전성(순서가론)을 참조하라.
예
- 가장 기본적인 예는 부분집합에 의해 정렬된 일부 집합 A의 파워 세트를 고려함으로써 얻어진다. 이 완전한 격자 안에서, 콤팩트 원소는 정확히 A의 유한 부분 집합이다. 이것은 "완료 요소"라는 이름을 정당화한다.
- "콤팩트"라는 용어는 위상학적 공간 T의 (토폴로지적으로) 콤팩트 서브셋의 정의에서 영감을 얻었다. 집합 Y는 모든 집합 S의 집합에 대해, S에 대한 결합이 Y를 부분 집합으로 포함하는 경우, S의 유한 하위 집합의 집합에 대한 집합 Y가 부분 집합으로 포함되는 경우, 집합 Y는 소형이다. 집합 집합 집합의 우월성이 조합에 의해 부여되는 부분집합성 순서의 완전 격자로서 T의 파워 세트를 고려할 때, 소형성에 대한 위상학적 조건은 결합-세밀러티에서 소형성에 대한 조건과 유사하지만 개방성에 대한 추가 요건을 모방한다.
- 만약 그것이 존재한다면, 포셋의 최소 요소는 항상 콤팩트하다. 실제 단위 간격 [0,1](실수에서 물려받은 표준 순서 포함)의 예에서 알 수 있듯이, 이것이 유일한 콤팩트 요소일 수 있다.
- 격자의 모든 완전 결합 프라임 요소는 작다.
대수적 양수
모든 원소가 그 아래에 있는 콤팩트 원소의 최상인 포셋을 대수적 포셋이라고 한다. dcpos인 그러한 poset은 도메인 이론에서 많이 사용된다.
중요한 특별한 경우로서 대수 격자는 완전한 격자 L이며, 여기서 L의 모든 원소 x는 x 이하의 콤팩트 원소의 우월성이다.
대표적인 예("알제브라틱"이라는 이름의 동기가 된 것)는 다음과 같다.
모든 대수 A(예: 그룹, 반지, 필드, 격자 등)에 대해, 서브(A)는 A의 모든 작동(그룹 추가, 링 추가 및 곱셈 등)에 의해 닫히는 A의 모든 하위 구조의 집합이 되도록 한다. 여기서 하부구조의 개념은 대수 A가 무효 연산이 없는 경우에 대한 빈 하부구조를 포함한다.
다음:
- 세트 포함으로 정렬된 세트 서브(A)는 격자형이다.
- 서브(A)의 가장 큰 요소는 세트 A 그 자체다.
- S, T, Sub(A)의 경우 S와 T의 최대 하한은 S와 T의 설정된 이론적 교차점이며, 가장 작은 상한은 S와 T의 결합에 의해 생성된 하위골격이다.
- Sub(A)는 완전 격자일 수도 있다. 하위 구조 집단의 가장 큰 하한은 교차점(또는 집단이 비어 있는 경우 A)이다.
- 서브(A)의 콤팩트한 요소는 정확히 A의 미세하게 생성된 하부 구조물이다.
- 모든 하부 구조는 그것의 정밀하게 생성된 하부 구조들의 결합이다. 따라서 Sub(A)는 대수 격자다.
또한, 일종의 대화에는 다음과 같은 것들이 있다. 모든 대수 격자는 일부 대수 A에 대해 Sub(A)와 이형이다.
유니버설 대수학에서 중요한 역할을 하는 또 다른 대수 격자가 있다. 모든 대수 A에 대해 우리는 콘(A)을 A에 대한 모든 합치 관계의 집합이 되게 했다. A에 대한 각 결합은 제품 대수 AxA의 하위 언어여서 Con(A) ⊆ Sub(AxA)이다. 다시 한번 말하지만
- 콘(A)은 세트포함 방식으로 주문되며 격자형이다.
- Con(A)의 가장 큰 요소는 세트 AxA로, 일정한 동형성에 해당하는 응집이다. 가장 작은 조합은 AxA의 대각선으로, 이형성에 해당한다.
- Con(A)은 완전 격자야.
- Con(A)의 콤팩트한 요소들은 정확히 미세하게 생성된 결합물이다.
- Con(A)은 대수 격자다.
다시 다음과 같은 반전이 있다. George Grahtzer와 E. T. Schmidt의 정리에 의해 모든 대수 격자는 일부 대수 A에 대해 Con(A)과 이형화된다.
적용들
컴팩트 원소는 도메인 이론이라고 불리는 의미론적 접근법에서 컴퓨터 과학에서 중요한데, 여기서 그것들은 원시 원소의 한 종류로 간주된다: 컴팩트 원소로 대표되는 정보는 이미 이 지식을 포함하지 않은 어떤 근사치로도 얻을 수 없다. 콤팩트한 요소는 엄격히 그 아래의 요소들에 의해 근사치될 수 없다. 반면에, 모든 비 컴팩트 요소들은 콤팩트 요소의 지시된 우월성으로 획득될 수 있는 경우가 발생할 수 있다. 이는 컴팩트한 요소 집합이 종종 원래의 위치보다 작기 때문에 바람직한 상황이며, 위의 예들은 이를 예시한다.
