신뢰 및 예측 대역

신뢰 대역은 제한적이거나 노이즈가 많은 데이터에 기초한 곡선 또는 함수 추정의 불확실성을 나타내기 위해 통계 분석에 사용된다.마찬가지로 예측 대역은 곡선의 새로운 데이터 포인트 값에 대한 불확실성을 나타내기 위해 사용되지만 노이즈의 영향을 받는다.신뢰 및 예측 대역은 회귀 분석 결과의 그래픽 표시의 일부로 사용되는 경우가 많습니다.

신뢰 대역은 단일 수치 추정의 불확실성을 나타내는 신뢰 구간과 밀접하게 관련되어 있다."신뢰 구간은 구조상 단일 지점만을 가리키기 때문에 여러 ^[1]지점에서 동시에 유지되어야 하는 신뢰 대역보다 좁습니다."

점 단위 및 동시 신뢰 대역

함수 f(x)를 추정하는 것이 목적이라고 가정합니다.예를 들어, f(x)는 선거에서 특정 후보를 지지하는 특정 연령 x의 비율일 수 있습니다.x를 1년의 정밀도로 측정하면 각 연령에 대해 95% 신뢰 구간을 별도로 구성할 수 있습니다.이러한 각 신뢰 구간은 해당하는 참 값 f(x)를 0.95의 신뢰도로 포함합니다.이러한 신뢰 구간을 종합하면 f(x)에 대한 95% 포인트 신뢰 밴드가 됩니다.

수학적 용어로 커버리지 확률이 1 - α인 점 단위 신뢰 ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ f ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) ± ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ { $displaystyle {f}(x)\pm$ w $(x)}$ 는 ${f}(x)\pm w(x)$ x의 각 값에 대해 별도로 다음 조건을 만족한다.

{\displaystyle\Pr\Big (\hat {f}(x)-w(x)\leq f(x)\leq {f}(x)+w(x){\Big)}=1-\alpha,}

${\hat {f}}(x)$ 서 f ${\hat {f}}(x)$ ( ${\hat {f}}(x)$ ) { $displaystyle {f}}(x)$ 는 $\hat{f}(x)$ f(x)의 포인트 추정치입니다.

신뢰 구간 집합의 동시 적용 확률은 모든 신뢰 구간이 동시에 해당 참 값을 포함할 확률이다.위의 예에서 동시 커버리지 확률은 x = 18,19,...에 대한 간격의 확률이다.모든 것이 그들의 진정한 가치를 포함한다. (18세가 투표할 수 있는 가장 어린 나이라는 것을 의미한다.)각 간격의 커버리지 확률이 개별적으로 0.95일 경우 동시 커버리지 확률은 일반적으로 0.95보다 작습니다.95% 동시 신뢰 대역은 동시 커버리지 확률 0.95를 가지도록 구성된 f(x) 영역의 모든 값 x에 대한 신뢰 구간의 집합이다.

수학적 용어로 커버리지 확률이 1 - α인 동시 신뢰 ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ f ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) ± ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ { $displaystyle {f}(x)\pm$ w $(x)}$ 는 ${f}(x)\pm w(x)$ 다음 조건을 만족합니다.

{\displaystyle\Pr\Big (\hat {f}(x)-w(x)\leq f(x)\leq {f}(x)+w(x)\;\;{\text{모든}}x{\Big}}=1-\alpha .}

거의 모든 경우에서 동시 신뢰 대역은 동일한 커버리지 확률을 가진 점 단위 신뢰 대역보다 넓습니다.점 단위 신뢰 대역의 정의에서, 범용 정량자는 확률 함수 밖으로 이동합니다.

유권자 연령의 함수로서 선거에서 특정 후보를 지지하는 유권자의 비율을 나타내는 시뮬레이션 데이터를 위한 신뢰 범위입니다.포인트별 95% 신뢰 대역과 Bonferroni 보정을 사용하여 구성된 동시 95% 신뢰 대역이 표시됩니다.

회귀 분석의 신뢰 대역

회귀 ^[2]분석에서 일반적으로 신뢰 구간이 발생합니다.단일 독립 변수를 포함하는 단순 회귀 분석의 경우, 결과는 점 단위 또는 동시 신뢰 대역과 함께 추정된 회귀선을 보여주는 그림 형태로 표시될 수 있습니다.회귀 분석에서 동시 신뢰 대역을 구성하는 데 일반적으로 사용되는 방법은 Bonferroni 및 Scheffé 방법입니다. 자세한 내용은 Familywise 오류율 제어 절차를 참조하십시오.

시뮬레이션 데이터를 사용하여 단순 선형 회귀 분석을 위한 신뢰 대역입니다.점 단위 95% 신뢰 대역과 Scheffé 방법을 사용하여 구성된 동시 95% 신뢰 대역이 표시된다.

확률 분포에 대한 신뢰 대역

신뢰 대역은 경험적 분포 함수의 추정치를 중심으로 구성할 수 있습니다.단순 이론에서는 점 단위 신뢰 구간을 구성할 수 있지만, 콜모고로프-스미르노프 검정을 반전하거나 비모수 우도 ^[3]방법을 사용하여 누적 분포 함수 전체에 대한 동시 신뢰 대역을 구성할 수도 있습니다.

신뢰 대역의 기타 적용

신뢰 대역은 통계 분석이 함수를 추정하는 데 초점을 맞출 때마다 발생합니다.

신뢰 대역은 밀도 함수,^[4] 스펙트럼 밀도 함수, 분위수 함수, 산점도 평활, 생존 함수 및 특성 ^{[citation needed]}함수의 추정에도 고안되었다.

예측 대역

예측 대역은 신뢰 구간과 관련된 것과 같은 방식으로 예측 구간과 관련이 있습니다.예측 대역은 회귀 분석에서 일반적으로 발생합니다.예측 대역의 목적은 주어진 데이터 세트가 샘플링된 동일한 모집단에서 하나 이상의 미래 관측치 값을 규정된 확률로 포괄하는 것이다.예측 구간이 신뢰 구간보다 넓듯이 예측 대역도 신뢰 구간보다 넓습니다.

수학적 용어로 커버리지 확률이 1 - α인 예측 ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ f ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) ± ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ( ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ ) { $displaystyle {f}(x)\pm$ w $(x)}$ 는 ${\hat {f}}(x)\pm w(x)$ x의 각 값에 대해 다음 조건을 만족한다.

{\displaystyle\Pr\Big (\hat {f}(x)-w(x)\leq y^{*}\leq {f}(x)+w(x){}\Big)}=1-\alpha,}

여기서^* y는 점 ${\hat {f}}(x)$ f ${\hat {f}}(x)$ ( ${\hat {f}}(x)$ ) { $displaystyle {f}(x)}$ 및 ${\hat {f}}(x)$ 신뢰^[vague] 구간 w(x)를 구성하는 데 사용되는 데이터와 독립적인 특정 지점 x의 데이터 생성 프로세스에서 얻은 관측치입니다.이것은 점 단위 예측 ^[vague]구간입니다.예를^[vague] 들어, Bonferroni 방법을 사용하여 구간을 적절한 양만큼 넓히는 유한한 수의 독립 관측치에 대한 동시^[vague] 구간을 구성할 수 있습니다.

레퍼런스

^ W. Hérdle, M. Muller, S. Sperlich, A. 페이지 65.베르왓츠(2004), 비모수 및 반파라메트릭 모델, 스프링거, ISBN3540207228"Archived copy". Archived from the original on 2013-04-12. Retrieved 2013-02-06.{{cite web}}: CS1 유지 보수: 제목으로 복사(링크), [1]
^ Liu, W; Lin S.; Piegorsch W.W. (2008). "Construction of Exact Simultaneous Confidence Bands for a Simple Linear Regression Model". International Statistical Review. 76 (1): 39–57. doi:10.1111/j.1751-5823.2007.00027.x.
^ Owen, A. B. (1995). "Nonparametric likelihood confidence bands for a distribution function". Journal of the American Statistical Association. American Statistical Association. 90 (430): 516–521. doi:10.2307/2291062. JSTOR 2291062.
^ Neumann, M.H.; Paparoditis, E. (2008). "Simultaneous confidence bands in spectral density estimation". Biometrika. 95 (2): 381. CiteSeerX 10.1.1.569.3978. doi:10.1093/biomet/asn005.

[1] W. Hérdle, M. Muller, S. Sperlich, A. 페이지 65.베르왓츠(2004), 비모수 및 반파라메트릭 모델, 스프링거, ISBN3540207228"Archived copy". Archived from the original on 2013-04-12. Retrieved 2013-02-06.{{cite web}}: CS1 유지 보수: 제목으로 복사(링크), [1]

[2] Liu, W; Lin S.; Piegorsch W.W. (2008). "Construction of Exact Simultaneous Confidence Bands for a Simple Linear Regression Model". International Statistical Review. 76 (1): 39–57. doi:10.1111/j.1751-5823.2007.00027.x.

[3] Owen, A. B. (1995). "Nonparametric likelihood confidence bands for a distribution function". Journal of the American Statistical Association. American Statistical Association. 90 (430): 516–521. doi:10.2307/2291062. JSTOR 2291062.

[4] Neumann, M.H.; Paparoditis, E. (2008). "Simultaneous confidence bands in spectral density estimation". Biometrika. 95 (2): 381. CiteSeerX 10.1.1.569.3978. doi:10.1093/biomet/asn005.

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