등각 기하학

수학에서 등각 기하학은 공간의 각도 보존(적합한) 변환의 집합에 대한 학문이다.

실제 2차원 공간에서 등각 기하학은 정확하게 리만 표면의 기하학이다. 2차원 이상의 공간에서, 등정 기하학은 "평평한 공간"이라고 불리는 것의 등정적 변환 연구(유클리드 공간 또는 구) 또는 리만 또는 사이비-리만 다지관인 등정적 다지관 연구 중 하나를 참조할 수 있다. 평면구조에 대한 연구는 뫼비우스 기하학이라고도 하며, 클라인 기하학의 일종이다.

등각 다지관

등각 다지관은 미터법 텐서의 등가 등급을 갖춘 사이비-리만 다지관으로서, 두 가지 측정 기준 g와 h는 다음과 같은 경우에만 동일하다.

${\displaystyle h=\data ^{2}g,}$

여기서 λ은 다지관에 정의된 실제값의 매끄러운 함수로서 정합 계수라고 한다. 그러한 메트릭의 동등성 클래스는 정합성 메트릭 또는 정합성 클래스로 알려져 있다. 따라서, 정합성 측정기준은 "최대 규모"로만 정의되는 측정기준으로 간주될 수 있다. 종종 순응 메트릭은 순응 클래스에서 메트릭을 선택하고 선택한 메트릭에 "적합하게 불변" 구조만 적용하여 처리된다.

리만 곡률 텐서(tensor tensor)가 사라지는 일반적인 의미에서, 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 평탄한 계량 각 점의 개방된 근방에서 평평한 등정 클래스에서만 메트릭스를 찾을 수 있을 것이다. 이러한 경우를 구별할 필요가 있을 때, 문헌에서는 흔히 구별이 유지되지 않지만 후자를 국소적으로 평탄하다고 한다. n-sphere는 이러한 의미에서 전지구적으로 평탄하지 않은 국소적으로 평탄한 다지관인 반면, 유클리드 공간, 토러스 또는 유클리드 공간의 개방된 부분 집합에 의해 덮인 모든 정합성 다지관은 (광택적으로) 평탄하다. 국소적으로 평탄한 다지관은 뫼비우스 기하학과 국소적으로 일치하며, 이는 다지관에서 뫼비우스 기하학으로 국소 차이점을 보존하는 각도가 존재함을 의미한다. 2차원에서 모든 정합성 측정기준은 국소적으로 평탄하다. 치수 n > 3에서 등각 측정기준은 Weyl 텐서가 소멸되는 경우와 소멸되는 경우에만 국소적으로 평탄하다. 치수 n = 3에서는 코튼 텐서가 소멸되는 경우 및 소멸되는 경우에만 지역적으로 평탄하다.

등각 기하학에는 (시사-)리만 기하학과는 구별되는 여러 가지 특징이 있다. 첫 번째는 (시사-)리만 기하학에서는 각 지점에 잘 정의된 측정지표를 가지고 있지만, 일치 기하학에서는 측정지표의 종류만 가지고 있다는 점이다. 따라서 접선 벡터의 길이는 정의할 수 없지만, 두 벡터 사이의 각도는 여전히 정의할 수 있다. 또 다른 특징은 g와 λg가² 등정 구조를 두 가지 대표할 경우 g와 λg의² 크리스토펠 기호가 일치하지 않기 때문에 Levi-Civita 연결이 없다는 것이다. λg와² 관련된 것은 함수 λ의 파생상품과 관련되지만 g와 관련된 것은 관련되지 않을 것이다.

이러한 차이에도 불구하고, 등정 기하학은 여전히 다루기 쉽다. Levi-Civita 연결부 및 곡률 텐서(tensor)는 정합 구조의 특정 대표자를 선별한 후에만 정의되지만, 다른 대표자를 선택할 때 λ 및 그 파생상품과 관련된 특정 변형 법칙을 충족한다. 특히 (3보다 높은 차원에서는) Weyl tensor가 λ에 의존하지 않는 것으로 밝혀져 순응 불변제다. 더욱이, 등정 다지관에는 레비-시비타 연결이 없더라도, 대신 등정 연결로 작업할 수 있으며, 이는 관련 뫼비우스 기하학에서 모델링한 카르탄 연결의 한 유형으로서 또는 웨일 연결로 취급할 수 있다. 이를 통해 정합성 곡률 및 정합성 구조의 기타 불변성을 정의할 수 있다.

뫼비우스 기하학

뫼비우스 기하학은 "무한에 점이 추가된 유클리드 공간" 또는 "무한에 널 콘이 추가된 미코프스키(또는 사이비 유클리드) 공간"을 연구하는 학문이다. 즉, 그 설정은 익숙한 공간의 압축이다; 기하학은 각도를 보존하는 것의 의미와 관련이 있다.

추상적 수준에서 유클리드 공간과 사이비 유클리드 공간은 차원 2의 경우를 제외하고 거의 동일한 방식으로 취급할 수 있다. 압축된 2차원 민코스키 평면은 광범위한 등각 대칭을 보인다. 형식적으로, 그것의 순응적 변환 그룹은 무한한 차원이다. 대조적으로, 압축된 유클리드 평면의 일치 변환 그룹은 6차원일 뿐이다.

2차원

민코프스키기

밍코프스키 2차 폼 q(x, y) = 평면에서 2xy의 등각 그룹은 아벨리안 리 그룹이다.

${\displaystyle \operatorname {CSO}(1,1)=\왼쪽\{\왼쪽).{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}\right a,b\in \mathb {R}\right\}}}$

모든 실제 대각선 2 × 2 행렬로 구성된 Lie 대수 cso(1, 1)와 함께.

지금 밍코우스키 비행기, 미터기가 장착된 ℝ을² 고려해보자.

$dx\,dx\,dy~}$

1-모수 순응변환 그룹은 X를 따라 g의 Lie 파생상품이 g에 비례하는 속성으로 벡터 필드 X를 발생시킨다. 상징적으로

L_X g = 일부 λ의 경우 λg.

특히, 리 대수 cso(1, 1)에 대한 위의 설명을 이용하여, 이것은 다음을 함축하고 있다.

1. L_X dx = a(x) dx
2. L_X dy = b(y) dy

일부 실제값 함수의 경우 각각 x와 y에 따라 a와 b가 달라진다.

반대로, 그러한 실제 가치 함수 쌍을 고려할 때, 1.와 2.를 만족하는 벡터 필드 X가 존재한다. 따라서 등정 구조의 극소수 대칭인 위트 대칭의 리 대수학은 무한 차원이다.

민코프스키 평면의 등정밀화는 두 개의 원 S¹ × S의¹ 카르테시안 제품이다. 유니버설 커버에서는 극소수 대칭을 통합하는 데 지장이 없으므로 등정변형의 집단은 무한차원 리 그룹이다.

${\displaystyle(\mathb {Z} \rtimes \mathrm {Diff}(S^{1})\time(\mathb {Z} \rtimes \mathrmatrm {Diff}(S^{1}),})}$

여기서 Diff(S¹)는 원의 차이점형 집단이다.^[1]

정합군 CSO(1, 1)와 이의 Lie 대수학은 2차원 정합장 이론에 현재 관심이 있다.

유클리드 공간

2차 형태의 정합 대칭 그룹

${\displaystyle q(z,{\bar {z})=z{\bar {z}}$

GL₁(C) = C 그룹^×, 복합 번호의 곱셈 그룹이다. 그것의 Lie 대수학은 gl₁(C) = C이다.

미터법이 장착된 (유클리드) 복합 평면을 고려하십시오.

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

극소수의 등호 대칭이 충족됨

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{z}}=f({\bar {z})\,d{\bar {z},}$

여기서 f는 Cauchy-Remann 방정식을 만족하며, 그 영역에 대한 홀로모르픽도 만족한다. (Witt 대수 참조)

따라서 도메인의 등각형은 홀로모르프 자체맵으로 구성된다. 특히 등정밀화(Riemann sector)에서 등정형 변환은 뫼비우스 변환에 의해 주어진다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}}$

여기서 ad - bc는 0이 아니다.

상위 치수

2차원에서 공간의 순응 자동화 그룹은 상당히 클 수 있다(로렌츠 서명의 경우처럼) 또는 변수(유클리드 서명의 경우처럼). 2차원 사례와 더 높은 차원의 사례의 비교 강성이 결여된 것은 구조물의 최소 자동화의 점증적 발전이 상대적으로 제약이 없다는 분석적 사실에 기인한다. 로렌츠어 표식에서 자유는 한 쌍의 실제 가치 있는 함수에 있다. 유클리드에서는 자유가 단일 홀로모르프 함수에 있다.

더 높은 차원의 경우, 최소 대칭의 점근사적 발달은 최대 2차 다항식이다.^[2] 특히 유한차원 리 대수학을 형성한다. 다지관의 소수점 이하 순응 대칭은 다지관이 일정한 평탄한 공간일 때(범용 커버 및 이산 그룹 인용문까지) 정밀하게 통합될 수 있다.^[3]

순응 기하학의 일반 이론은 유클리드 및 사이비 유클리드 서명의 경우 일부 차이는 있지만 유사하다.^[4] 어느 경우든, 일치하게 평평한 기하학의 모델 공간을 도입하는 방법에는 여러 가지가 있다. 문맥에서 달리 명확하지 않는 한, 본 기사는 유사-유클리드 상황에도 적용된다는 이해로 유클리드 일치 기하학의 사례를 다룬다.

역행 모델

순응 기하학의 역행 모델은 구의 역행으로 생성된 유클리드 공간 E의ⁿ 국부적 변환 그룹으로 구성된다. 리우빌의 정리로는, 어떤 각도 보존 국소(적합한) 변환도 이 형식이다.^[5] 이러한 관점에서 평탄한 등각 공간의 변환 특성은 반전 기하학의 특성이다.

투영 모형

투영 모델은 투영 공간에서 특정 사분면으로 등각 구역을 식별한다. q는 로런츠 2차적 형태를 R에ⁿ⁺² 나타내도록 한다.

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n+1}=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

투영 공간 P(Rⁿ⁺²)에서 S를 q = 0의 중심이 되게 한다. 그 다음 S는 정합 기하학의 투영형(또는 뫼비우스) 모델이다. S에 대한 등정형 변환은 4중 불변성을 떠나는 P(Rⁿ⁺²)의 투영적 선형 변환이다.

이와 관련된 구조에서, 4차 S는 위와 같이 2차 형태 q를 갖춘 민코프스키 우주 R에^n+1,1 있는 null con의 무한대에 있는 천체로 생각된다. null 콘은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle N=\왼쪽\{(x_{0},\ldots,x_{n+1}\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

이것은 돌출형 사방 S 위에 있는 아핀 원뿔이다. N을⁺ null 콘의 미래 부분이 되게 한다(원점을 삭제한 경우). 그러면 tautological projection R^n+1,1 ∖ {0} → P(Rⁿ⁺²)는 projection⁺ N → S로 제한된다. 이것은 N에게⁺ S에 대한 선다발의 구조를 준다. S에 대한 정합성 변환은 R의^n+1,1 직교 로렌츠 변환에 의해 유도된다. 이것들은 미래의 null 원뿔을 보존하는 균일한 선형 변환이기 때문이다.

유클리드권

직관적으로 구형의 평탄한 기하학은 구형의 리만 기하학보다 경직성이 떨어진다. 구의 정합성 대칭은 모든 하이퍼스피어의 역전에 의해 생성된다. 반면, 리만니안 구의 등각도는 지질 하이퍼퍼의 역전에 의해 생성된다(카르탄-디우도네 정리 참조). 유클리드 구체는 규범적인 방법으로 일치된 구체에 매핑될 수 있지만, 그 반대의 경우도 아니다.

유클리드 단위 구는 R의ⁿ⁺¹ 중심점이다.

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

이것은 밍코스키 공간^n+1,1 R에 매핑할 수 있다.

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt{2}}},\x_{1}x_{1},\dots,\,\x_{n}=x_{n}}}},\x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt{2}}.}$

이러한 변형에 따른 구체의 이미지가 민코프스키 공간에서는 null임을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 콘⁺ N에 놓여 있다. 따라서 선다발⁺ N → S의 단면을 결정한다.

그럼에도 불구하고 자의적인 선택이 있었다. κ(x)가 x = (z₀, x, ..., x_n)의 양의 함수일 경우 할당

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

또한⁺ N에 대한 매핑을 제공한다. 함수 κ은 순응 척도의 임의의 선택이다.

대표 측정 기준

구체의 대표적인 리만 메트릭스는 표준구 메트릭에 비례하는 메트릭이다. 이것은 구를 순응 다지관으로서 실현시켜 준다. 표준 구면 지표는 R에ⁿ⁺¹ 대한 유클리드 지표의 제한이다.

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

완전히

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

g의 정합적 대표자는 gg² 형식의 미터법으로, 여기서 λ은 구체의 양함수다. [g]로 표시된 g의 등정계급은 그러한 모든 대표자의 집합이다.

${\displaystyle [g]=\좌측\{\boda ^{2}g\mid \boda >0\우측\}.}$

앞 절에서와 같이 유클리드 구를 N에⁺ 내장하면 S에 대한 정합 척도가 결정된다. 반대로 S에 대한 모든 일치 척도는 그러한 임베딩에 의해 주어진다. 따라서 선다발 N⁺ → S는 S:의 등정 척도 묶음으로 식별되며, 이 묶음의 한 단면을 제공하는 것은 등정 등급[g]에 계량법을 지정하는 것과 같다.

주변 메트릭 모델

대표적인 지표를 실현하는 또 다른 방법은 R에^{n+1, 1} 관한 특별 좌표계를 통해서이다. 유클리드 n-sphere S가 입체 좌표계를 탑재한다고 가정한다. 이는ⁿ R → S r R의ⁿ⁺¹ 다음과 같은 지도로 구성된다.

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}},{\frac {\left \mathbf {y} \right ^{2}-1}{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

이러한 입체 좌표면에서는 민코프스키 공간의 null 콘 N에⁺ 좌표계를 부여하는 것이 가능하다. 위에 주어진 임베딩을 이용하여 null con의 대표적인 미터법 부분은

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left \mathbf {y} \right ^{2}}{1+\left \mathbf {y} \right ^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}}.}$

N의⁺ 확장에 해당하는 새 변수 t를 도입하여 null 콘이 다음 방법으로 조정되도록 함

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left \mathbf {y} \right ^{2}}{1+\left \mathbf {y} \right ^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left \mathbf {y} \right ^{2}+1}}.}$

마지막으로, N의⁺ 다음과 같은 정의 함수가 되도록 한다.

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}:{t^{2}}.}$

R의^n+1,1 t, ρ, y 좌표에서 민코프스키 측정기준은 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

여기서 g는_ij 구의 미터법이다.

이 항에서 번들 N의⁺ 한 부분은 null 콘 cone = 0을 따라 y의ⁱ 함수로서 변수 t = t(yⁱ)의 값을 명세하는 것으로 구성된다. 이것은 S에 대해 다음과 같은 정합성 측정기준을 나타낸다.

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

클라인 모델

우선 유클리드 서명의 평평한 등각 기하학의 경우를 고려한다. n차원 모델은 (n + 2)차원 로렌츠 공간 R의^n+1,1 천구다. 여기서 모델은 클라인 기하학: 균질 공간 G/H이며, 여기서 G = SO(n + 1, 1)는 (n + 2)차원 로렌츠 공간^n+1,1 R에 작용하고 H는 라이트 콘에 고정된 null Ray의 동위원소 그룹이다. 따라서 순응적으로 평평한 모델은 반전 기하학의 공간이다. 미터법 시그니처(p, q)의 사이비유클리드(p, q)의 경우 모델 플랫 지오메트리는 균질 공간 O(p + 1, q + 1)/H와 유사하게 정의되며 여기서 H는 다시 null 라인의 스태빌라이저로 취해진다. 유클리드 모델 공간과 유사 유클리드 모델 공간은 모두 소형이라는 점에 유의하십시오.

순응적인 리 알헤브라스

플랫 모델 공간에 관련된 그룹과 알헤브라를 설명하려면 R에^p+1,q+1 다음 양식을 고정하십시오.

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

여기서 J는 2차 서명의 형태(p, q)이다. 그 다음 G = O(p + 1, Q + 1)는 (n + 2) × (n + 2) 안정화 Q : MQM = Q로 구성된다. 리 대수학은 카르탄의 분해를 인정한다.

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\왼쪽\{\왼쪽.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1p\\0&0\end{pmatrix}\in \mathbbp {R}^{n}\right\}\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{{좌측}{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right q\in(\mathb {R}^{n}^{n})^{*}\right\}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\왼쪽\{\왼쪽.{\pmatrix}-a&0&0\\0>A&0\\0&a&a\end{pmatrix}\right A\in {\mathfrak {so}(p,q), a\in \mathb {R}\right\}.}$

대안으로, 이 분해는ⁿ R so cso(p, q) ⊕ (Rⁿ)에 정의된 자연적인 Lie 대수 구조와 일치한다.^∗

마지막 좌표 벡터를 위로 향하게 하는 Null Ray의 스태빌라이저는 Borel subalgebra에 의해 주어진다.

h = g₀ ⊕ g₁.

참고 항목

• 등각 기하 대수
• 등각중력
• 등각 킬링 방정식
• 얼랑겐 프로그램
• 뫼비우스 비행기

메모들

참조

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Transformation Groups in Differential Geometry (First ed.). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation).
• Sternberg, Shlomo (1983). Lectures on differential geometry. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.

외부 링크

• G.V. Bushmanova (2001) [1994], "Conformal geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm