커플러시클래스

수학, 특히 집단 이론에서 그룹의 두 $요소$인 ${\displaystyle a}$과 b ${\displaystyle b}$이(가) $b{\displaystyle }$= g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle b=g^{-1ag.}$와 같은 요소 $g$ ${\displaystystyle g}$이(가)가 있으면 결합된다.$$ 이것은 동등성 클래스를 결합성 클래스라고 부르는 동등성 관계다.

동일한 결합계급의 구성원은 그룹 구조만을 사용하여 구분할 수 없으므로 많은 특성을 공유한다.비아벨라 그룹들의 결합 계층에 대한 연구는 그들의 구조를 연구하는데 기본적이다.^[1][2]아벨 그룹의 경우 각 결합 등급은 하나의 요소(싱글톤 집합)를 포함하는 집합이다.

동일한 결합계급의 구성원에 대해 일정한 기능을 클래스 함수라고 한다.

정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹화하십시오$$.Two elements ${\displaystyle a,b\in G}$ are conjugate if there exists an element ${\displaystyle g\in G}$ such that ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ in which case ${\displaystyle b}$ is called a conjugate of ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle a}$ is called a conjugate$.$ [\$displaystyle$ b$.}$의

변환 불가능한 행렬의 일반 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 그룹 $⁡ ($n ) {\$displaystyle$ \$operatorname {GL}$ (n$$$)}$의 경우 결합 관계를 행렬 유사성이라고 한다.

결합이 동등성 관계임을 쉽게 알 수 있으며 $따라서{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G$}을 동등성 등급으로$$ 분할한다.(이것은 그룹의 모든 요소가 정확히 하나의 결합 클래스에 속하며, Cl $classes{\displaystyle }$ ( )${\displaystyle$\operatorname {$Cl} ($a)}과$($와) Cl${\displaystyle }$) ${\displaystyle (b}$)$$${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)$ 클래스는 {\$displaystytate$ 및 $}$이($다른$ 방식으로)인$$ 경우에만 동일함을$$ 의미한다.${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\in G}$ 요소를 포함하는 동등성 클래스는$$

$그리고{\displaystyle }$ .${\displaystyle a.}$의 결합 클래스라고 불린다.$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 클래스 번호는 구별(nonequivalous) 결합 클래스의 수입니다$$.동일한 결합 등급에 속하는 모든 원소들은 동일한 순서를 가진다.

결합 클래스는 "순서 6 원소의 특정 결합 클래스"를 의미하는 "6A"와 같은 약어로, 또는 "순서 6 원소의 특정 결합 클래스"와 "6B"와 같은 약어로 설명할 수 있다. 결합 클래스 1A는 정체성의 결합 클래스다.어떤 경우에, 결합 클래스는 균일한 방법으로 설명될 수 있다. 예를 들어, 대칭 그룹에서 그것들은 사이클 구조로 설명될 수 있다.

예

3개 요소의 6개 순열로 구성된$$ 대칭 그룹${\displaystyle {}_{}}S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, {\$displaystyle S_{3}}$에는 다음과 같은$$세 가지 조합 클래스가 있다.

1. 변경 없음$({\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$→ ${\displaystyle b}$ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle(property\to abc)}$
2. 2$({\displaystyle b}$→ c ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ → ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ → b c${\displaystyle ,}$ b → ${\displaystyle b}$ ) ${\displaystyle(to acb,to bac,process\to$cba$)}$
3. 세 가지 모두의 주기적 순열$({\displaystyle b}$ c${\displaystyle }$→ ${\displaystyle b}$ c ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$→ ${\displaystyle b}$).${\displaystyle (to bca, pass\to cab)$$}$

이 세 종류는 또한 정삼각형의 등각형 분류에 해당한다.

4개 요소의 24개 순열로 구성된 대칭 그룹 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle S_{4}}$은(는) 5개의 조합 클래스를 가지며, 이들의 주기 구조와 순서와 함께 나열된다.

(1) ₄변경 없음(1 요소: { (1, 2, 3, 4) }).이 결합 클래스를 포함하는 단일 행은 인접한 테이블에서 블랙 원의 행으로 표시된다.

(2) 교대하는 두 개의 요소 (6개 요소: { (1, 2, 4, 3)), (1, 4, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1) (3, 2, 1, 4, 1) (2, 1, 3, 4) })이 결합 클래스를 포함하는 6개의 행은 인접한 표에서 녹색으로 강조 표시된다.

(3) 3개의 순환 순열 (8개의 원소: { (1, 3, 4, 2, 3) (1, 4, 2, 3) (3, 2, 4, 1) (4, 2, 1, 3, 3) (4, 1, 2, 3, 2) (2, 3, 1, 4, 4) })이 결합 클래스를 포함하는 8개의 행은 인접한 표에 일반 인쇄(볼드체 또는 색상 강조 표시 없음)로 표시된다.

(4) 4개 모두의 주기적 순열 (6개 원소: { (2, 3, 4, 1) (2, 4, 1, 3) (3, 1, 2, 1) (4, 1, 2, 3) (4, 3, 1, 2, 2) })이 결합 클래스를 포함하는 6개의 행은 인접한 표에서 주황색으로 강조 표시된다.

(2)(2)는 2개, 다른 2개(: { (2, 1, 4, 3)), (4, 3, 2, 1) (3, 4, 1, 2) })를 교환한다.이 결합 클래스를 포함하는 3개의 행은 인접한 표에 굵은 글씨로 표시된다.

신체 대각선의 순열로 특징지을 수 있는 입방체의 적절한 회전도 ${\displaystyle {S4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{4}$의 결합에 의해 설명된다.

일반적으로 대칭 그룹 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 결합 클래스 수는 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle n.}$의 정수 파티션 수와 동일하다$$$$. 각 결합 클래스는 $\{{\displaystyle 1,2}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots,n\}$의 정확히 하나의 파티션에 해당하며, 최대 사이클이 적용되기 때문이다.$\{{\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}$의 원소에.$}$

일반적으로 유클리드 집단은 유클리드 공간에서 이소메트리의 결합에 의해 연구될 수 있다.

특성.

• ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ 요소는 ${\displaystyle \mathrm{항상}}$ 클래스에서 Cl${\displaystyle }$is ( e )${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \operatorname {Cl}(e)=\{e\}.$$}$
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨리안인 경우${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$-$$ = $모든$ ${\displaystyle a,}$ g ∈ G ${\displaystyle gag$^{-1}=$a$ 즉, $g$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystystyle a,g\in$ G$}.$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{Cl}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) =${\displaystyle }${${\displaystyle }$${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$Cl}(a)=\{a\}}$ 모든 $all{\displaystyle }$ G ${\displaystyle a\in G}$에 대해$$$($$$반전 또한 참: 모든 결합 클래스가 단골격인 경우 G ${\displaysty G}$은 아벨리안)이다$$.
• $두{\displaystyle }$ 요소 ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b\in }$G {\$displaystyle a,b\in$ G$}$이(가) 동일한 결합 등급(즉, 결합인 경우)에 속할$$ 경우 동일한 순서를 갖는다.More generally, every statement about ${\displaystyle a}$ can be translated into a statement about ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ because the map ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ is an automorphism of ${\displaystyle G.}$ See the next property for an example.
• If ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are conjugate, then so are their powers ${\displaystyle a^{k}}$ and ${\displaystyle b^{k}.}$ (Proof: if ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ then ${\displaystyle a^k=\left(gb{g}^{-1}\right)\left(gb{g}^{-1}\right)\cdots \left(gb{g}^{-1}\right)=g{b}^k{}^{}}$${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$) Thus taking ${\displaystyle k}$^th powers gives a map on conjugacy classes, and one may consider which conjugacy classes are in its preimage.예를 들어 대칭 그룹에서 유형 (3)(2)(3 사이클과 2 사이클)의 원소의 제곱은 유형 (3)의 원소이므로, (3)의 전원 공급 클래스 중 하나가 클래스 (3)(2)(여기서 ${\displaystyle$ a$}$은 ${\displaystyle k^{}}$ ${\$의 전원 공급 클래스다.$$
• 요소${\displaystyle g}$ G$${\$displaystyle a\in$G}은(는) $해당{\displaystyle }$ 결합 클래스가 $하나$의 요소만$$ 가지고 있는 경우에만$$ G ${\$$displaystyle$ $G}$의 $Z{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (G}$) ${\$$displaysty$ $\operatorname {Z}(G)$에 있다$$.More generally, if ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ denotes the centralizer of ${\displaystyle a\in G,}$ i.e., the subgroup consisting of all elements ${\displaystyle g}$ such that ${\displaystyle ga=ag,}$ then the index ${\displaystyle \lef$$t[G:\operatorname {C} _{G}\left(a\$right$)\right]}$는$${\$displaystyle a}$의 결합 등급에 있는 원소의 수($$궤도 안정제 정리 기준)와$$ 같다.
• $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을${\displaystyle (}$를) 취하여${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 ,$$m s {\$displaystyle m_{1},\ldots,$m_{$s}}$을(를$$) 사이클 유형 $in{\displaystyle }$ ${\displaystystyle \sma }$의 사이클 길이로 나타내도록 한다.$$Let ${\displaystyle k_{i}}$ be the number of cycles of length ${\displaystyle m_{i}}$ in ${\displaystyle \sigma }$ for each ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ (so that ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$).그런 다음 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 접합자 수는 다음과$$ 같다.^[1]
  $$디스플레이 스타일 {\frac {n!}}{{\left(k_{1}!m_{1}^{1}^{1}:{k_{1}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}}}}\rig}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$$

  

집단행동으로서의 결합

임의의 $두{\displaystyle }$ 요소${\displaystyle g}$ , x${\displaystyle ,}$ G$$, {\$displaystyle g,x\in$ G$,}$에 대해 다음과$$ 같이 하십시오.

이것은 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G}$에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 그룹 동작을 정의한다. 이$$ 동작의 궤도는 결합 등급이며, 주어진 요소의 안정성은 원소의 중심제다.^[3]

마찬가지로 $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$의 모든 하위 집합 집합에서$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 그룹 작업을 서면으로 정의할$$ 수 있다.

$또는{\displaystyle }$ G${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$의 하위 그룹 집합에 표시

결합 등급 방정식

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한한 그룹인 경우, 그룹 $요소{\displaystyle }$ a${\displaystyle }$,$$${\displaystyle$$a$$}$의 $결합성$ 클래스에 있는$$ 요소는 $중앙집중기{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ G${\displaystyle {}_{}(}$(${\displaystyle }$) .$${\$displaysty \operatorname {C} _{G}(a$)의 코세트와 일대일 대응된다$.$$}$ This can be seen by observing that any two elements ${\displaystyle b}$ and ${\displaystyle c}$ belonging to the same coset (and hence, ${\displaystyle b=cz}$ for some ${\displaystyle z}$ in the centralizer ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$) give rise to the same element when${\displaystyle a}$ $사용:$

그것은 또한 궤도-안정제 정리에서도 볼 수 있는데, 이는 집단이 결합을 통해 스스로 작용하는 것으로 간주할 때, 궤도는 결합 등급이고 안정화 부분군은 중앙집중제라는 것이다.그 반대도 마찬가지야.

Thus the number of elements in the conjugacy class of ${\displaystyle a}$ is the index ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ of the centralizer ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ in ${\displaystyle G}$; hence the size of each conjugacy class divide그룹의 순서.

나아가 모든 결합계급에서$$ 하나의 $대표요소{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ i$${\$displaystyle x_{i}$를 선택한다면, 우리는 결합계급의 해체로부터 다음과 같은 것을 유추한다.

여기서 $C{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\$은 $요소{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle i_{}}$.$${\$displaystyle x_{i}$의 중심 인물이다.$}$ ${\displaystyle \mathrm{센터}}$ $Z{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$의 각 요소가 자신을 포함하는 결합 클래스를 형성하는$$ 것을 관찰하면$$ 다음과 같은 클래스 방정식이 발생한다.^[4] 합계가 중앙에 없는 각 결합 등급의 대표 요소 위에 있는 경우.

그룹 순서 ${\displaystyle G}$ $displaystyle$G$}$의 구분자에 대한 지식은 종종 센터 순서나 결합 등급에 대한 정보를 얻기 위해 사용될 수 있다$$.

예

$유한$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -group$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}($즉, 순서 ${\displaystyle p^{}}$ n,$$${\displaystyle$ p$^{n})$을 고려하십시오. 여기서 p ${\displaystyle p}$은 소수이고 > $[\displaystyle n>0}).$우리는 모든 $유한$한 p ${\displaystyle p}-$group이 비경쟁적인 중심을 가지고 있다는 것을 증명할 것이다.

이후 G{G\displaystyle}의 어떤 conjugacy 수업 주문,{G\displaystyle,}G의 순서를 나누어야 한다 그것은 나는{\displaystyle H_{나는}는 중심에 있는 각 conjugacy H종}은 또한 주문 pk의 힘의 나는,{\displaystyle p^{k_{나는}},}이 0<, k 나는 <, n.{\displ 따른다.aystyle0<, k_{나는}<, n.}그런데 그 후 수업 방정식은 G=pnxZ(G)⁡+∑ 나는 p k.{\textstyle G=p^{n}=\operatorname{Z}(G)+\sum _{나는}p^{k_{나는}}.}여기서 우리는{p\displaystyle}}Z⁡(G),{\displaystyle \operatorname{Z}(G), 나누어야 한다 그 p본 무수한 Z⁡(G)이 필요하다.${\displaystyle \operatorname {Z}(G) >1.}$

$특히{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$, ${\$$displaystyle$ $n=2,}$이(가) 있는 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle g$$}$은(는) 비경쟁 그룹 요소가 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 또는$$ p ${\displaystyle 2^{}}$이므로${\displaystyle {}^{}}$G$$${\displaystystyle$$p^}$이$($$가$) 아벨 $그룹$이다${\displaystyle {}^{}}$${2},$ 그러면$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 순서 p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle p^{2}$의 순환 그룹에 이형성이므로$$ 아벨리안이다.반면 Z⁡(G)을 위의 결론, 1,{\displaystyle \operatorname{Z}(G)을 통해서 G{G\displaystyle}의 모든은 요소 순서 p의,{\displaystyle p,}따라서;1,}그때 Z⁡(G))p1{\displaystyle \operatorname{Z}(G)=p> 1}또는 p2.{\display.스타일 p^{2}.}우리는 경우에만 Z(G))p을 ⁡ 고려해 보라에, 1,{\displaystyle \operatorname{Z}(G)=p>, 1,}다음 G{G\displaystyle}의 G의 중심에 없는 요소 b{\displaystyle b}입니다. 필요하{G.\displaystyle}다는 것 CG(b){\displaystyle \operatorname{C}_ᆱ(b)⁡}. 포함한udes $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 포함되지 않지만 최소한 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 요소를$$ 포함하는 중심.Hence the order of ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ is strictly larger than ${\displaystyle p,}$ therefore ${\displaystyle \left \operatorname {C} _{G}(b)\right =p^{2},}$ therefore ${\displaystyle b}$ is an element of the center of ${\displaystyl$$e$ G$,}$ 모순$$.따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 아벨리안이며 실제로 두 개의 주기적 그룹의 직접 생산물에 대해 이형성이 있다. 각 순서 $p{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ p$.}$

부분군 및 일반 부분군 조합

More generally, given any subset ${\displaystyle S\subseteq G}$ (${\displaystyle S}$ not necessarily a subgroup), define a subset ${\displaystyle T\subseteq G}$ to be conjugate to ${\displaystyle S}$ if there exists some ${\displaystyle g\in G}$ such that ${\displaystyle T$$=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \mathrm{Cl}}$cl${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Cl}(S)$을 모든 하위 집합 $T{\displaystyle }$⊆ G ${\displaystyle T\subseteq G}$의 집합으로$$ 설정하여 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ T$}$이${\displaystyle (}$$가$) ${\displaystystystystystystyth$ S.}에 결합되도록$$ 하십시오$$.

A frequently used theorem is that, given any subset ${\displaystyle S\subseteq G,}$ the index of ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ (the normalizer of ${\displaystyle S}$) in ${\displaystyle G}$ equals the order of ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$:

This follows since, if ${\displaystyle g,h\in G,}$ then ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ if and only if ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ in other words, if and only if ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ are in the same coset$N{\displaystyle \mathrm{}(}$ (${\displaystyle S}$ )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \operatorname {N}(S)$의 .$}$

$이{\displaystyle }$ 공식은$$ S${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$, ${\displaystyle$S=\{$a\}}$을 사용하여 결합 클래스의 원소 수에 대해 앞에서 주어진 공식을 일반화한다.

위의 내용은 $특히{\displaystyle }$ G${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$의 부분군을 말할 때 유용하며, 따라서 부분군은 결합 등급으로 나눌 수 있으며, 결합 등급인 경우에만 동일한 등급에 속하는 두 개의 부분군이 있다.결합 부분군은 이형이지만 이형 부분군은 결합할 필요가 없다.예를 들어, 아벨 그룹에는 이형성인 서로 다른 두 개의 하위 그룹이 있을 수 있지만, 그것들은 결코 결합되지 않는다.

기하학적 해석

경로연결 위상학 공간의 기본 그룹에서 결합 클래스는 자유 호모토피 아래에서 자유 루프의 동등성 클래스로 생각할 수 있다.

유한군에서의 결합 등급 및 불가해한 표현

어떤 유한 집단에서, 복잡한 숫자에 대한 구별되지 않는 (비이성형) 불분명한 표현들의 수는 정확하게 결합 등급의 수입니다.

참고 항목

• 위상결합
• FC 그룹 – 그룹 이론 수학 그룹
• 결합-폐쇄 부분군

메모들

참조

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract algebra. Graduate texts in mathematics. Vol. 242 (2 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

외부 링크

• "Conjugate elements", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]