연결공간

R²의 연결된 부분공간과 연결되지 않은 부분공간

위에서 아래로: 적색 공간 A, 분홍색 공간 B, 황색 공간 C, 주황색 공간 D는 모두 연결된 공간이고, 녹색 공간 E(부분 집합 E₁, E₂, E₃, E로₄ 구성됨)는 연결되지 않습니다.또한, A와 B는 단순히 연결되어 있는 반면(0속), C와 D는 그렇지 않은 경우: C는 1속을, D는 4속을 포함합니다.

연결 공간(connected space)은 두 개 이상의 서로소인 비어 있지 않은 열린 부분 집합의 결합으로 표현할 수 없는 위상 공간입니다.연결성은 위상 공간을 구분하는 데 사용되는 주요 위상 특성 중 하나입니다.

위상 공간 $X$ $X$ 의 하위 집합은 $X$ $X$ 의 하위 공간으로 볼 때 연결된 공간이면 연결된 $X$ 집합입니다 $X$

관련이 있지만 더 강력한 조건으로는 경로 연결, 단순 연결, $n$ ${\displaystyle n}-$ 연결 $n$ 등이 있습니다.또 다른 관련 개념은 국소적으로 연결되어 있는데, 이 개념은 연결성을 암시하지도 않고 따르지도 않습니다.

형식적 정의

위상 공간 $X$ $X$ 은(는) 두 개의 분리된 비어 있지 않은 열린 집합의 결합일 경우 연결이 끊어졌다고 합니다 $X$ .그렇지 않으면 $X$ $X$ 이(가) 연결되어 있다고 합니다 $X$ .위상 공간의 부분 집합은 부분 공간 위상 아래에서 연결되어 있으면 연결되어 있다고 합니다.일부 작성자는 빈 집합(고유 토폴로지 포함)을 연결된 공간으로 제외하지만, 이 문서는 이 관행을 따르지 않습니다.

위상 공간 $X$ $X$ 의 경우 다음 $X$ 조건이 같습니다.

$X$ $X$ 이 $X$ (가) 연결되어 있습니다. 즉, 서로 연결되어 있지 않은 두 개의 비어 있지 않은 열린 집합으로 나눌 수 없습니다.
$X$ $X$ 의 $X$ 열려 있는 부분 집합과 닫혀 있는 부분 집합(닫혀 있는 집합)은 X {\displaystyle $X}$ 과 $X$ (와) 빈 집합뿐입니다.
경계가 비어 $X$ 있는 $X$ $X$ 의 하위 집합은 $X$ $X$ 과 $X$ (와) 빈 집합뿐입니다.
$X$ $X$ 은(는) 비어 있지 않은 두 개의 분리된 집합(각각이 다른 집합의 닫힘과 분리된 집합)의 합으로 쓸 수 없습니다 $X$ .
$X$ $X$ 에서 $X$ $\{0,1\}$ { $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ $\{0, 1\$ 까지 모든 연속 함수는 일정하며 $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ { $\{0,1\}$ , $\{0,1\}$ $displaystyle \{0,$ 1\}은 $($ 는 $\{0,1\}$ ) 이산 위상을 부여한 2점 공간입니다.

역사적으로 연결성 개념의 현대적 공식화( $X$ $X$ 를 $X$ 두 개의 분리된 집합으로 분할하지 않는다는 점에서)는 20세기 초 N.J. 레네스, 프리깃 리에즈 및 펠릭스 하우스도르프와 함께 (독립적으로) 처음 나타났습니다.자세한 내용은 을 참조하십시오.

연결된 구성요소

위상 공간 $X,$ 의 $x$ 일부점x {\ $displaystyle x},$ {\ $displaystyle X}$ 이(가) 주어지면 각각 $x$ $x$ 을(를) 포함하는 연결된 부분 집합 집합의 결합이 $X,$ 다시 한 번 연결된 부분 집합이 됩니다 $x$ . $X$ $X$ 에 있는 $x$ x $x$ 의 연결된 구성 요소는 $x;$ 를 포함하는 $X$ $X$ 의 연결된 모든 하위 집합의 결합입니다 $.$ $x;$ 은 $($ 는) $x$ 를 포함하는 $X$ ${\displaystyle$ $X}$ 의 연결된 하위 집합 중에서 유일하게 가장 큽니다 $({\displaystyle \subseteq }$ ⊆의 경우 $\subseteq$ 비어 있지 않은 위상 공간의 최대 연결 부분 집합(포함 $\subseteq$ $\subseteq$ 순 $\subseteq$ 을 공간의 연결 구성 요소라고 합니다.위상 공간 $X$ $X$ 의 구성 요소는 $X$ $X$ 의 파티션을 형성합니다 $X$ $X$ 이들은 서로 연결되어 있지 않고 비어 있지 않으며, 이들의 결합은 전체 공간입니다.모든 구성요소는 원래 공간의 닫힌 부분 집합입니다.그들의 수가 유한한 경우, 각 성분도 열린 부분 집합임을 알 수 있습니다.그러나 만약 그들의 수가 무한하다면, 그렇지 않을 수 있습니다. 예를 들어 유리수 집합의 연결된 구성 요소는 열려 있지 않은 원 포인트 집합(singleton)입니다.증명:두 개의 서로 다른 유리수 $q_{1}<q_{2}$ $q_{1}<q_{2}$ < $q_{1}<q_{2}$ $q_{1}<q_{2}$ ${\$ 은(는) 서로 다른 구성 요소에 있습니다 $q_{1}<q_{2}$ .무리수 $q_{1}<r<q_{2},$ $q_{1}<r<q_{2},$ < $q_{1}<r<q_{2},$ < $q_{1}<r<q_{2},$ $q_{1}<r<q_{2},$ ${\displaystyle q_{1}<r_{$ 2}}을 $($ 를) $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ 다음 A = $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ { $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ ∈ Q : $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ < r $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ ${\displaystyle A$ =\{ $q\in \mathbb {Q}$ : $q<r\},$ B $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ = $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ { $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ ∈ $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ : $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ > r $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ 을(를) 설정합니다 $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ ${\displaystyle$ B =\{ $q\in \mathbb {Q} :q>r\}$ $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ 그러면 $(A,B)$ ( $(A,B)$ $(A,B)$ $(A,B)$ 는 $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q},$ 및 $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ ∈ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ 의 분리입니다 $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ 따라서 각 구성 요소는 원 포인트 집합입니다.

γ $\Gamma _{x}'$ ${\$ displaystyle \ $Gamma$ _ ${$ $x$ $}}$ 를 위상 공간 X, {\displaystyle X,}에서 x ${\displaystyle$ x}의연결된 구성요소라고 하고 γ x' $\Gamma _{x}'$ ${\$ $\Gamma _{x}'$ \ $Gamma$ _ ${$ x $}'$ 를 x ${\$ $displaystyle x$ 의 $준구성$ 요소라고 함)를 $x$ 하는 모든 열린 집합의 교집합이라고 합니다. $}$ 그런 다음 $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ $X$ 가 콤팩트 하우스도르프이거나 로컬로 연결된 경우 등식이 성립하는 $γ$ $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ $⊂$ $γ$ $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x$ }}입니다 $.$ ^[2]

단절된 공간

모든 구성 요소가 원포인트 집합인 공간을 완전 연결 해제라고 합니다.이 속성과 관련하여 $X$ $X$ 의 $y$ 두 개의 서로 $다른$ 요소x {\ $displaystyle$ x $x$ } $및$ y {\ $displaystyle$ y $X$ 에 $대해$ X {\ $displaystyle x}$ 를 포함하는 $U$ 서로소 $열린$ 집합U {\ $displaystyle U}$ 과 $x$ $y$ $y$ 을(를 $V$ ) $V$ 하는V {\ $displaystyle$ V}이 $($ 가 $y$ ) 있는 경우 공간 $X$ ${\$ $displaystyle$ $X}$ 을(를) 완전 분리라고 합니다 $X$ . $X}$ 은 $X$ (는) $U$ $U$ 과 $U$ (는) $V$ $V$ 의 결합입니다 $V$ 완전히 분리된 모든 공간은 완전히 연결이 끊겼지만 그 반대 공간은 유지되지 않습니다.예를 들어, 유리수 $\mathbb {Q}$ ${\$ 의 복사본을 두 개 가지고 $\mathbb {Q}$ 0을 제외한 모든 점에서 식별합니다.몫 위상을 갖는 결과 공간은 완전히 단절됩니다.그러나 0의 두 사본을 고려함으로써 공간이 완전히 분리된 것은 아니라는 것을 알 수 있습니다.사실 하우스도르프도 아니고 완전히 분리된 상태가 하우스도르프라는 상태보다 엄밀하게 더 강합니다.

예

표준 하위 공간 토폴로지의 닫힌 $[0,2)$ 간격 $[0,2)$ $[0,2)$ ${\displaystyle [0,$ 2 $]}$ 이(가) 연결되어 있습니다. 예를 들어 $[0,1)$ [ $[0,1)$ $[0,2).$ $[0,1)$ {\ $displaystyle$ [ $[0,2).$ $, 1]$ 및 $[0,1)$ $[1,2),$ [ $[1,2),$ $[0,2).$ 의 합집합으로 쓸 수 있지만 $,$ {\ $displaystyle [1,$ 2 $[0,2).$ 의 선택한 토폴로지에서는 $[1,2),$ 두 번째 집합이 열리지 $[0,2).$ 않습니다 $.$ {\ $displaystyle$ [ $0,$ 2 $}$
$[0,1)$ $[0,1)$ ${\displaystyle[0,1]}$ 및 $(1,2]$ $(1,2]$ ${\displaystyle(1,$ 2 $)}$ 의 결합이 끊어졌습니다. 이 두 간격 모두 표준 위상 공간 $[0,1)\cup (1,2].$ [ $[0,1)\cup (1,2].$ $[0,1)\cup (1,2].$ ∪ $[0,1)\cup (1,2].$ $[0,1)\cup (1,2].$ 에서 열려 있습니다 $[0,1)\cup (1,2].$ ${\displaystyle[0, 1]\cup(1, 2).$
$(0,1)\cup \{3\}$ $(0,1)\cup \{3\}$ $(0,1)\cup \{3\}$ ) $(0,1)\cup \{3\}$ } $(0,1)\cup \{3\}$ ${\displaystyle(0, 1)\cup \{3\}$ 의 연결이 끊어졌습니다.
$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 볼록한 부분 집합이 $\mathbb {R} ^{n}$ 연결되어 있으며, 실제로는 단순히 연결되어 있습니다.
원점 $(0,0),$ $(0,0),$ $(0,0),$ ${\displaystyle(0,$ 0 $),}$ 을 제외한 유클리드 평면이 연결되어 $(0,0),$ 있지만 단순히 연결되어 있지는 않습니다.원점이 없는 3차원 유클리드 공간은 연결되어 있고, 심지어 단순하게 연결되어 있습니다.반대로 원점이 없는 1차원 유클리드 공간은 연결되지 않습니다.
직선이 제거된 유클리드 평면은 두 개의 반평면으로 구성되어 있으므로 연결되지 않습니다.
$\mathbb {R}$ 일반적인 토폴로지를 가진 실수의 공간인 $\mathbb {R}$ ${\$ 이(가) 연결되어 있습니다.
소르겐프리 선이 끊겼습니다.^[3]
$\mathbb {R}$ ${\$ 에서 점 하나라도 제거하면 나머지 부분의 연결이 끊어집니다 $\mathbb {R}$ 그러나 $n\geq 2,$ ≥ $n\geq 2,$ ${\displaystyle$ n\geq 2, {\displaystyle n $\geq$ 2 $,}$ 인 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}^{n$ 에서 셀 수 있는 무한대의 점을 제거하면 나머지는 연결됩니다. $n\geq 3$ ≥ $n\geq 3$ $n\geq 3$ 인 경우 $n\geq 3$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}^{n$ 은(는) 셀 수 없이 많은 점을 제거한 후에도 단순히 연결된 상태로 유지됩니다.
연결된 필드( $\mathbb {R}$ : R ${\$ $\mathbb {C}$ C ${\$ $\mathbb {C}$ 위의 임의의 위상 벡터 공간(예: 힐베르트 공간 또는 바나흐 공간)은 단순히 연결됩니다.
적어도 두 개의 원소를 갖는 모든 이산 위상 공간은 단절되어 있으며, 실제로 그러한 공간은 완전히 단절되어 있습니다.가장 간단한 예는 이산형 2점 공간입니다.^[4]
반면, 유한 집합은 연결될 수 있습니다.예를 들어, 이산형 평가 링의 스펙트럼은 두 점으로 구성되며 연결되어 있습니다.이것은 시에르피 ń스키 공간의 한 예입니다.
캔터 집합은 완전히 연결이 끊겼습니다. 집합에는 셀 수 없이 많은 점이 포함되어 있으므로 셀 수 없이 많은 구성 요소가 있습니다.
공간 $X$ $X$ 이 $X$ (가) 연결된 공간과 동일한 호모토피인 경우 $X$ $X$ 자체가 $X$ 연결되어 있습니다.
위상수학자의 사인 곡선은 연결되어 있지만 경로가 연결되어 있거나 로컬로 연결되어 있지 않은 집합의 예입니다.
일반 선형 그룹 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ⁡ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle \operatorname {GL}(n,\mathbb {R} )}($ $n$ , n $n$ - $by$ n $n$ 실수, 가역 행렬의 그룹)은 양의 행렬식을 갖는 구성 요소와 음의 행렬식을 갖는 구성 요소로 구성됩니다.특히 연결되어 있지 않습니다.반대로 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ ⁡ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatorname {GL}(n,\mathbb {C})$ 이(가) 연결되어 있습니다.더 일반적으로, 복잡한 힐베르트 공간의 가역적 경계 연산자 집합은 연결됩니다.
치환 국소 고리와 적분 영역의 스펙트럼이 연결됩니다.일반적으로 다음은 동치입니다^[5].
1. 교환 링 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 스펙트럼이 연결되어 $\mathbb {R}$ 있습니다.
2. $\mathbb {R}$ ${\$ 위에서 유한 생성된 투영 모듈은 모두 일정한 순위를 가집니다 $\mathbb {R}$ .
3. $\mathbb {R}$ ${\$ $displaystyle \mathbb {R}}$ 에 idempo $\mathbb {R}$ ent $\neq 0,1$ $\neq 0,1$ 1 {\ $displaystyle$ \ $neq 0,1}($ 즉, $\mathbb {R}$ {\displaystyle \ $mathbb {R}은($ 는) 사소한 방법으로 두 고리의 곱이 아닙니다)가 없습니다.

연결되지 않은 공간의 예로는 무한선이 삭제된 평면이 있습니다.연결되지 않은 공간(즉, 연결되지 않은 공간)의 다른 예로는 환형체가 제거된 평면과 두 개의 분리된 닫힌 디스크의 결합이 있으며, 여기서 이 단락의 모든 예는 2차원 유클리드 공간에 의해 유도된 부분공간 위상을 갖습니다.

경로연결성

경로 연결 공간은 경로의 구조를 필요로 하는 연결의 더 강력한 개념입니다. $x$ 공간 $X$ ${\displaystyle$ x $}$ 의 점 x {\ $y$ x}에서 점 y ${\displaystyle$ $y$ $}$ 로의 경로는 단위 간격 [0 $f(1)=y$ $1$ $[0,1]$ ${\displaystyle$ f $}$ 에서 ${\$ displaystyle [ $0$ $,1]$ 로 $f(1)=y$ $X$ 함수 {\ $displaystyle$ x $}$ 로 $,$ f (0) = x {\ $displaystyle$ f ( $f(1)=y$ = x ( $)$ = y {\ $displaystyle$ f ( $1)$ = $y}$ 입니다. $X$ $X$ 의 경로 구성 요소는 $x$ $x$ 에서 $x$ $y$ ${\displaystyle$ y $}$ 로의 경로가 있는 경우 $y$ x $x$ 을 $y$ $y$ 와 $x$ 같게 만드는 동등성 관계 하에서 X $X$ 의 동등성 클래스입니다 $X$ $y$ X $X$ $X$ 은 경로 구성 요소가 하나만 있는 경우, 즉 $X$ $X$ 의 임의의 두 점을 연결하는 경로가 있는 경우 경로 연결(또는 $\mathbf {0}$ 으로 연결됨, 또는 0 ${\$ - 연결됨 $\mathbf {0}$ )이라고 합니다 $X$ $X$ 다시 많은 저자들이 빈 공간을 제외합니다(그러나 이 정의에 의해).빈 공간은 경로 components가 0이므로 경로 연결되지 않습니다. 빈 집합에는 동등성 클래스가 0인 고유한 동등성 관계가 있습니다.

모든 경로가 연결된 공간이 연결되어 있습니다.역이 항상 성립하는 것은 아닙니다. 경로가 연결되지 않은 연결된 공간의 예로는 확장된 긴 선 $L^{*}$ ∗ ${\displaystyle$ L $^{*}$ 과 위상수학자의 사인 곡선이 있습니다.

$\mathbb {R}$ R ${\$ 의 부분 집합은 경로가 연결된 경우에만 연결됩니다 $\mathbb {R}$ . 이 부분 집합은 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 간격입니다 $\mathbb {R}$ 또한 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 또는 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb {C}$ ^{n $}$ 의 열린 부분 집합은 경로가 연결된 경우에만 연결됩니다 $\mathbb {C} ^{n}$ .또한, 한정된 위상 공간에 대해서는 연결성과 경로 연결성이 동일합니다.

호 연결도

위상학적으로 구분 가능한 두 점이 포함된 $f:[0,1]\to X$ [ $f:[0,1]\to X$ $f:[0,1]\to X$ ] $f:[0,1]\to X$ → $f:[0,1]\to X$ ${\displaystyle$ f $:[0,$ 1 $]\to X}$ 인 호로 결합될 수 있는 경우 공간 $X$ ${\displaystyle$ $X$ $}$ 는 호 연결 또는 호 연결된 것이라고 합니다 $f:[0,1]\to X$ $X$ $X$ 의 호 구성 $X$ 는 $X$ X ${\displaystyle$ X $}$ 의 최대 호 연결 부분 집합입니다 $X$ 또는 두 점이 호로 결합될 수 있는지 또는 두 점이 위상적으로 구별되지 않는 경로로 결합될 수 있는지 여부에 대한 동등성 관계의 동등성 클래스입니다.

경로가 연결된 모든 하우스도르프 공간도 호로 연결됩니다. 일반적으로 경로의 각 이미지가 닫힌 공간인 δ $\Delta$ - 하우스도르프 공간의 경우에 해당됩니다.경로는 연결되지만 호는 연결되지 않은 공간의 예는 두 개의 원점이 있는 선으로 제공됩니다. 0 $0$ 의 두 복사본은 경로로 연결할 수 있지만 $0$ 호는 연결할 수 없습니다.

경로 연결 공간에 대한 직관은 호 연결 공간으로 쉽게 전달되지 않습니다. $X$ $X$ 를 $X$ 원점이 두 개인 선이라고 합니다.다음은 아날로그가 경로 연결 공간은 유지하지만 호 연결 공간은 유지하지 않는 사실입니다.

호 연결 공간의 연속적인 이미지는 호 연결되지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 호 연결 공간에서 위상학적으로 구별할 수 있는 점이 셀 수 있을 정도로 많은(최소 2개) 해당 몫까지의 몫 맵은 너무 작은 카디널리티로 인해 호 연결될 수 없습니다.
아크-구성요소는 분리되지 않을 수 있습니다.예를 들어 $X$ $X$ 에는 두 개의 중첩된 호 성분이 있습니다 $X$ .
호 연결 제품 공간은 호 연결 공간의 산물이 아닐 수 있습니다.예를 들어 $X\times \mathbb {R}$ X $X\times \mathbb {R}$ ${\$ 은 $X\times \mathbb {R}$ $($ 는) 호에 연결되어 있지만 $X$ $X$ 은(는) 연결되어 $X$ 있지 않습니다.
제품 공간의 호 성분은 한계 공간의 호 성분의 곱이 아닐 수 있습니다.예를 들어 $X\times \mathbb {R}$ X $X\times \mathbb {R}$ ${\$ 에는 단일 호 성분이 있지만 $X\times \mathbb {R}$ $X$ $X$ 에는 두 개의 호 성분이 있습니다 $X$ .
호 연결 부분 집합의 교집합이 비어 있지 않은 경우에는 결합이 호 연결되지 않을 수 있습니다.예를 들어 $X$ $X$ 의 호 구성 요소는 교차하지만 $X$ 이들의 결합은 호와 연결되지 않습니다.

로컬 연결

$x$ $x$ 의 모든 이웃에 연결된 열린 이웃이 있는 $x$ 경우 $x$ $위상$ 공간은 x $x$ 지점에서 로컬로 연결되어 있다고 합니다.연결된 집합의 기본이 있는 경우 로컬로 연결됩니다.열려 있는 $모든$ X $X$ 집합의 모든 구성 요소가 열려 $X$ 있는 경우에만 공간 $X$ $X$ 가 $X$ 로컬로 연결되어 있음을 알 수 있습니다.

마찬가지로 위상 공간은 경로 연결 집합의 기본이 있는 경우 로컬 경로 연결 공간이라고 합니다.로컬 경로 연결 공간의 열린 부분 집합은 경로가 연결된 경우에만 연결됩니다.이것은 각각 로컬 경로에 연결된 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 및 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 에 대한 이전 문을 일반화합니다.일반적으로, 위상다양체는 국소적으로 경로 연결됩니다.

로컬로 연결된 것은 연결된 것을 의미하지 않으며 로컬로 연결된 경로도 연결된 것을 의미하지 않습니다.연결(또는 경로 연결)되지 않은 로컬 연결(및 로컬 경로 연결) 공간의 간단한 예로는 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 에 있는 두 개의 분리된 간격의 합(예 $\mathbb {R}$ $(0,1)\cup (2,3)$ $(0,1)\cup (2,3)$ ∪ $(0,1)\cup (2,3)$ ( $(0,1)\cup (2,3)$ $(0,1)\cup (2,3)$ ${\displaystyle (0,$ 1 $)\cup (2,$ 3 $)})$ 이 있습니다 $(0,1)\cup (2,3)$

국소적으로 연결되지 않은 연결된 공간의 고전적인 예는 $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ = { $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ( $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ) $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ } $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ∪ { $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ( $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ⁡ ( $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ) $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ } : $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ∈ $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ ( $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ 1 ] ${\displaystyle$ T =\{( $0,0)\}\cup$ \ $left\{\left(x,\sin \left$ ({\ $tfrac {1}{x}\right)\right):x\in$ (0,1 $]\$ right $\}$ 로 $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 에 포함되어 유클리드 위상이 유도됩니다. ${\displaystyle \mathbb {R}^{2$

연산설정

연결된 집합의 교차점이 반드시 연결되어 있는 것은 아닙니다.

$X=(0,1)\cup (1,2)$ = $X=(0,1)\cup (1,2)$ ( $X=(0,1)\cup (1,2)$ $X=(0,1)\cup (1,2)$ ) $X=(0,1)\cup (1,2)$ ∪ $X=(0,1)\cup (1,2)$ $X=(0,1)\cup (1,2)$ ${\displaystyle$ X = ( $0,$ 1 $)\cup (1,$ 2 $)}$ 을(를) 고려하면 알 수 있듯이 연결된 집합의 결합이 반드시 연결되어 있지는 않습니다 $X=(0,1)\cup (1,2)$

각 타원은 연결된 집합이지만 연결되지 않은 두 개의 연결된 열린 $집합$ U {\ $displaystyle U}$ 및V {\ $displaystyle$ V $}$ 로 $U$ 분할할 수 있으므로 연결되지 않았습니다 $V$

즉, $X$ $X$ 결합이 끊어지면 $X$ 집합 $\{X_{i}\}$ { $\{X_{i}\}$ $\{i}\$ 이(가) $X$ ${\displaystyle$ X $}(그림$ 참조)에서 집합 {Xi} {\displaystyle \{i}\}이(가) 두 개의 하위 집합으로 분할될 수 있습니다 $\{X_{i}\}$ . $X$ 이는 여러 경우에 연결된 집합의 결합이 반드시 연결되어 있어야 함을 의미합니다.특히:

모든 집합의 공통 교집합이 비어 있지 않은 경우 ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$ ⋂ ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$ ≠ ∅ ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$ {\ $textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset}),$ 당연히 집합을 서로소 결합된 집합으로 분할할 수 없습니다.따라서 교집합이 비어 있지 않은 연결된 집합들의 결합이 연결됩니다.
각 집합 쌍의 교집합이 비어 있지 않은 경우 $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ ∀ $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ : $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ ∩ $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ ≠ ∅ $displaystyle \forall$ i $,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ 다시 연결된 결합이 있는 집합으로 분할할 수 없습니다.
집합을 "연결된 체인"으로 정렬할 수 있는 경우, 즉 정수 인덱스 및 ∀ $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$ 로 색인화된 $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$ ∩ $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$ + $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$ ≠ ∅ $displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset}$ 로 정렬할 수 있으면 해당 집합의 결합이 다시 연결되어야 합니다 $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$
집합이 쌍방향으로 서로소이고 몫 $X/\{X_{i}\}$ X $X/\{X_{i}\}$ / $X/\{X_{i}\}$ { $X/\{X_{i}\}$ ${\displaystyle$ X $/\{X_{i}\}$ 이(가 $X/\{X_{i}\}$ ) 연결되어 있으면 $X$ 가 연결되어 있어야 합니다.그렇지 않으면 $U\cup V$ ∪ $U\cup V$ ${\$ $displaystyle U\$ $cup V}$ 이(가) $X$ 의 $q(U)\cup q(V)$ 이면 $q(U)\cup q(V)$ $q(U)\cup q(V)$ ) ∪ $q(U)\cup q(V)$ (V $)$ {\ $displaystyle q(U$ )\ $cup q(V$ )}은( $q(U),q(V)$ ( $q$ 가 서로소이고 몫 공간에서 열려 있으므로) 몫 공간의 구분입니다.

연결된 집합의 집합 차이가 반드시 연결되어 있는 것은 아닙니다.그러나 $X\supseteq Y$ ⊇ $X\supseteq Y$ ${\displaystyle X\supsequ$ Y $}$ 와 그 차이 $X\setminus Y$ ∖ $X\setminus Y$ ${\displaystyle X\setminus$ Y $}$ 의 연결이 끊어지면( $X_{1}$ 두 개의 열린 집합 X $X_{1}$ 1 {\ $displaystyle X_{1$ }}과 $X_{1}$ $X_{2}$ 2 {\ $displaystyle X_{$ 2}}의 결합으로 쓸 수 있습니다), $Y$ {\displaystyle $Y}$ 와 각 구성 요소의 결합은 연결됩니다(즉, $Y\cup X_{i}$ $Y\cup X_{i}$ $Y\cup X_{i}$ $i$ {\ $displaystyle i})$ 에 대해 $Y\cup X_{i}$ $Y\cup X_{i$ 가 연결되어 있습니다.

증명^[7]

모순적으로 $Y\cup X_{1}$ ∪ $Y\cup X_{1}$ $Y\cup X_{1}$ $Y\cup X_{1}$ 이(가) 연결되어 있지 않다고 가정합니다. $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ Y ∪ $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ = $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ ∪ Z $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ ${\displaystyle Y\cup X_{1$ }= $Z_{1}\cup Z_{2}}$ 와 같이 서로 분리된 두 개의 열린 집합의 합체로 쓸 수 있습니다 $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ $Y$ $Y$ 가 연결되어 있으므로 이 구성 요소 중 하나에 완전히 포함되어야 합니다 $Z_{1}$ 예를 들어 $Z_{1}$ 1 ${\displaystyle Z_{1}}.$ 따라서 $Z_{2}$ $Z_{2}$ $Z_{2$ 는 $X_{1}$ $X_{1}$ $X_{1}$ 에 포함됩니다 $X_{1}$ 이제 우리는 이것을 압니다.

X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)

마지막

합집합의

두

집합

은 X {\displaystyle

X}

에서 서로소이고 열려 있으므로

X

X

X

이(가) 연결되어

X

있다는 사실과 모순됩니다

X

정리

연결성의 주요 정리: $X$ $X$ 및 $Y$ $Y$ 을(를) 위상 공간이라고 하고 $f:X\rightarrow Y$ → $f:X\rightarrow Y$ Y {\ $displaystyle f:X\rightarrow$ Y}을 $($ 를) 연속 함수라고 합니다. $X$ $X$ 이 $X$ (가) 연결되어 있으면 이미지 $f(X)$ $f(X)$ 이(가) 연결되어 있습니다 $f(X)$ .이 결과는 중간값 정리의 일반화로 간주할 수 있습니다.
모든 경로가 연결된 공간이 연결되어 있습니다.
로컬 경로에 연결된 모든 공간은 로컬로 연결됩니다.
로컬 경로 연결 공간은 연결된 경우에만 경로 연결됩니다.
연결된 부분 집합의 닫힘이 연결됩니다.또한, 연결된 서브셋과 그 클로저 사이의 서브셋은 연결됩니다.
연결된 구성 요소는 항상 닫혀 있습니다(일반적으로 열리지 않음)
로컬로 연결된 공간의 연결된 구성 요소도 열려 있습니다.
공간의 연결된 구성 요소는 경로 연결된 구성 요소의 서로소 결합입니다(일반적으로 열려 있지도 닫히지도 않음).
연결된 모든 계수(resp).로컬 연결, 경로 연결, 로컬 경로 연결) 공간이 연결됩니다(resp.로컬 연결, 경로 연결, 로컬 경로 연결).
연결된(경로 연결된) 공간 패밀리의 모든 제품은(경로 연결된) 연결되어 있습니다.
로컬로 연결된 부분 집합의 열려 있는 모든 부분 집합(resp.로컬 경로 연결) 공간이 로컬로 연결됩니다(resp.로컬 경로 연결).
모든 매니폴드는 로컬 경로로 연결됩니다.
호 방향으로 연결된 공간은 경로로 연결되지만 경로 방향으로 연결된 공간은 호 방향으로 연결되지 않을 수 있습니다.
호 단위로 연결된 집합의 연속 영상은 호 단위로 연결됩니다.

그래프

그래프에는 경로 연결된 부분 집합, 즉 모든 점 쌍이 연결된 부분 집합이 있습니다.그러나 연결된 동일한 집합을 유도하는 점 집합에서 토폴로지를 항상 찾을 수 있는 것은 아닙니다.5주기 그래프( $n>3$ n $n>3$ > $n>3$ $n$ 의 $n$ - 사이클이 $n$ n > 3인 ${\displaystyle$ n>3 $}$ 이(가) 그러한 $n>3$ 예 중 하나입니다.

결과적으로, 연결의 개념은 공간 상의 위상과는 독립적으로 공식화될 수 있습니다.즉, 연결 공리를 만족시키는 연결 부분 집합의 집합으로 구성된 연결 공간의 범주가 있습니다. 그 형태는 연결된 집합을 연결된 집합에 매핑하는 함수입니다(Muscat & Buhagiar 2006).위상 공간과 그래프는 연결 공간의 특수한 경우입니다. 실제로 유한 연결 공간은 정확히 유한 그래프입니다.

그러나 정점을 점으로, 가장자리를 단위 간격의 복사본으로 간주하여 모든 그래프를 위상 공간으로 만들 수 있습니다(위상 그래프 이론 #그래프를 위상 공간으로 참조).그러면 위상 공간으로 연결되어 있는 경우에만 그래프가 연결되어 있음을 (그래프 이론적 의미에서) 보여줄 수 있습니다.

보다 강력한 형태의 연결성

위상 공간에는 다음과 같은 더 강력한 형태의 연결이 있습니다.

위상 공간 $X$ $X$ 에 두 개의 서로 연결되지 않은 비어 있지 않은 열린 집합이 없는 경우 $X$ $X$ 이(가) 연결되어 있어야 하므로 $X$ 초연결 공간도 연결됩니다 $X$
단순히 연결된 공간은 정의상 경로 연결이 필요하기 때문에, 어떤 단순 연결된 공간도 연결됩니다.단순 연결 정의에서 "경로 연결" 요구 사항이 삭제된 경우, 단순 연결 공간을 연결할 필요가 없습니다.
그러나 더 강력한 버전의 연결성에는 수축 가능한 공간이라는 개념이 포함됩니다.모든 수축 공간은 경로로 연결되어 있고 따라서 연결되어 있습니다.

일반적으로 경로 연결된 공간은 모두 연결되어야 하지만 경로 연결되지 않은 공간이 존재합니다.삭제된 빗살 공간은 위에서 언급한 위상수학자 사인 곡선과 마찬가지로 이러한 예제를 제공합니다.

참고 항목

연결된 구성요소(그래프 이론) – 정점이 서로 도달할 수 있는 최대 하위 그래프 리디렉션 대상에 대한
연접점
도메인(수학적 분석) – 위상 공간의 연결된 열린 부분 집합
극도로 단절된 공간 – 열려 있는 모든 집합의 닫힘이 열려 있는 위상 공간
국부적으로 연결된 공간 – 위상 공간
n연접의
균일하게 연결된 공간 – 균일한 공간 유형
픽셀 연결

참고문헌

^ Wilder, R.L. (1978). "Evolution of the Topological Concept of "Connected"". American Mathematical Monthly. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676. JSTOR 2321676.
^ "General topology - Components of the set of rational numbers".
^ Stephen Willard (1970). General Topology. Dover. p. 191. ISBN 0-486-43479-6.
^ George F. Simmons (1968). Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw Hill Book Company. p. 144. ISBN 0-89874-551-9.
^ Charles Weibel, The K-book: 대수적 K이론의 개론
^ Brandsma, Henno (February 13, 2013). "How to prove this result involving the quotient maps and connectedness?". Stack Exchange.
^ Marek (February 13, 2013). "How to prove this result about connectedness?". Stack Exchange.

추가열람

Munkres, James R. (2000). Topology, Second Edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Weisstein, Eric W. "Connected Set". MathWorld.
V. I. Malykhin (2001) [1994], "Connected space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 39: 1–13. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2010-05-17..

[1] Wilder, R.L. (1978). "Evolution of the Topological Concept of "Connected"". American Mathematical Monthly. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676. JSTOR 2321676.

[2] "General topology - Components of the set of rational numbers".

[3] Stephen Willard (1970). General Topology. Dover. p. 191. ISBN 0-486-43479-6.

[4] George F. Simmons (1968). Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw Hill Book Company. p. 144. ISBN 0-89874-551-9.

[5] Charles Weibel, The K-book: 대수적 K이론의 개론

[6] Brandsma, Henno (February 13, 2013). "How to prove this result involving the quotient maps and connectedness?". Stack Exchange.

[7] Marek (February 13, 2013). "How to prove this result about connectedness?". Stack Exchange.

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