보수연장

수학적 논리학에서 보수적 연장은 이론의 초이론이며, 이론의 이론은 종종 이론의 증명에는 편리하지만, 원래 이론의 언어에 대한 새로운 이론은 증명하지 않는다.마찬가지로 비보수적 연장은 보수적이지 않은 초이론이며, 원론보다 더 많은 정리들을 증명할 수 있다.null

좀 더 형식적으로 서술하면, $이론{\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle T_{1$}의 $모든{\displaystyle {}_{}}$ 정리가 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $T_{1$}의 정리라면$$ 이론$$ T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystytle$ $T_${1$}{$$1$}의 보수적인 확장이며$,$ T ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$개 언어의$$ 모든 정리가 된다.$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 정리는 이미 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 정리가 되어$$ 있다$.$

More generally, if ${\displaystyle \Gamma }$ is a set of formulas in the common language of ${\displaystyle T_{1}}$ and ${\displaystyle T_{2}}$, then ${\displaystyle T_{2}}$ is ${\displaystyle \Gamma }$-conservative over ${\displaystyle T_{1}}$ if every formula from ${\d$$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}: isplaystyle $\Gamma}$에서 제공되며$$ $T$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에서도 제공된다$.$

일관된 이론의 보수적인 연장은 일관된다는 점에 유의하십시오.그렇지 않다면, 폭발 원리에 의해 T $2{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle T_{$2}}개 $언어$의 모든 공식은 ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 정리일 것이므로$,$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}의 언어의 모든 공식은 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $T_$${$1}의 정리일 것이다$$.$e T_{1}:{$1}는 일관성이 없을$$ 것이다.따라서 보수적인 연장은 새로운 불일치를 도입할 위험을 부담하지 않는다.이것은 또한 큰 이론을 작성하고 구조화하는 ${\displaystyle {방법론}_{}}$으로 볼 수 있다: T 0 ${\$ 일관성이 있다고 알려져 있거나 가정된 이론으로 $시작$하여 보수적인 확장 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}, $...$을 연속적으로 구축한다.null

최근 온톨로지 모듈 개념을 정의하는 데 보수적인 확장자가 사용되었는데, 온톨로지 전체를 논리 이론으로 공식화하면, 온톨로지 전체가 서브이론의 보수적인 확장이라면 서브이론은 모듈이다.null

보수적이지 않은 연장은 적절한 연장이라 할 수 있다.null

예

• 역수학으로 연구된 2차 산술의 서브시스템인 ACA는₀ 1차 산술 페아노 산술의 보수적인 확장이다.
• 폰 노이만-베르네이-괴델 집합론은 선택 공리(ZFC)를 가진 제르멜로-프라엔켈 집합론의 보수적인 확장이다.
• 내부 세트 이론은 선택 공리(ZFC)를 가진 제르멜로-프라엔켈 세트 이론을 보수적으로 확장한 것이다.
• 정의에 의한 확장은 보수적이다.
• 제약 없는 술어 또는 함수 기호에 의한 확장은 보수적이다.
• Iς₁( (-공식만⁰₁ 유도를 갖는 페아노 산술의 서브시스템)은 원시 재귀 산술(PRA)의 π-보수적⁰₂ 확장이다.^[1]
• ZFC는 쇼엔필드의 절대성 정리에 의한 ZF의 σ-보수¹₃ 확장이다.
• 연속체 가설을 가진 ZFC는 ZFC의 π-보수적인²₁ 확장이다.^{[citation needed]}

모델이론적 보수 확장

With model-theoretic means, a stronger notion is obtained: an extension ${\displaystyle T_{2}}$ of a theory ${\displaystyle T_{1}}$ is model-theoretically conservative if ${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$ and every model of ${\displaystyle T_{1}}$ can be expanded to a model of $$${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 각각의 모델-이론적 보수 확장도 위의 의미에서는 (방증-이론적) 보수 확장이다.^[2]모델 이론적 개념은 증명적 개념에 비해 장점이 있어서, 그것이 당면한 언어에 크게 의존하지 않는다. 반면에, 일반적으로 모델 이론적 보수성을 확립하는 것은 더 어렵다.null

참고 항목

• 정의별 확장
• 새 상수 및 함수 이름으로 확장

참조

외부 링크

• 수학의 기초를 위한 보수적 확장의 중요성