볼록 폴리토프

한 다면체의 볼록 다면체는 특별한 경우 추가 재산 갖고 있는 것이 또한 볼록 집합이 n에 포함된{n\displaystyle}Rn{\displaystyle \mathbb{R}^{n}-dimensional 유클리드 공간}. 대부분의 texts[1][2] 한정적 볼록 다면체에. 그리고 그 단어"다면체"더 gen.의 학기"다면체"을 사용한다eral, 무제한의 물체일 수 있다. 다른^[3] 것(이 기사 포함)은 폴리에스테르가 무한정으로 유지되도록 허용한다. "경계/경계되지 않은 볼록 폴리토프"라는 용어는 논의된 이슈에 경계가 중요할 때마다 아래에 사용된다. 그러나 다른 문헌들은 그것의 경계와 함께 볼록한 폴리토프를 식별한다.

볼록 폴리토페스는 수학의 다양한 분야와 응용 분야, 특히 선형 프로그래밍에서 중요한 역할을 한다.

이 주제에 관한 그룬바움과^[1] 지글러의^[2] 영향력 있는 교과서들뿐만 아니라 이산 기하학의 많은 다른 문헌들에서도 볼록한 폴리토페스를 단순히 "폴리토페스"라고 부르는 경우가 많다. 그룬바움은 이는 오로지 '콘벡스'라는 단어의 끝없는 반복을 피하기 위한 것이며, 이 논의는 전체적으로 볼록한 다양성에만 적용되는 것으로 이해되어야 한다고 지적한다(p. 51).

폴리토프는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 객체라면 풀차원이라고 한다.

예

• 경계가 있는 볼록 다면체의 많은 예는 "폴리헤드론"이라는 글에서 찾을 수 있다.
• 2차원 사례에서 전체 차원 예로는 반평면, 두 평행선 사이의 스트립, 각도 형태(비평행 반평면 두 개의 교차점), 끝단에 두 개의 광선이 부착된 볼록 폴리곤 체인에 의해 정의된 형태, 볼록 폴리곤 등이 있다.
• 한이 없는 볼록폴록의 특별한 경우는 두 개의 평행 하이퍼플레인 사이의 슬래브, 두 개의 비병렬 반공간에 의해 정의되는 쐐기, 다면체 원통(무한 프리즘), 공통점을 통과하는 세 개 이상의 반공간에 의해 정의되는 다면체 원뿔(무한 원뿔)이다.

정의들

볼록 폴리토프는 당면한 문제에 더 적합한 것이 무엇인지에 따라 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다. 그룬바움(Grünbaum)의 정의는 공간의 볼록한 점 집합에 관한 것이다. 다른 중요한 정의는: 반공간(반공간 표현)의 교차점 및 점 집합의 볼록한 선체로(베르텍스 표현)이다.

정점 표현(콘벡스 선체)

그룬바움(Grünbaum)은 그의 저서 볼록 폴리포페스에서 볼록 폴리포페를 극한점수가 유한한 콤팩트 볼록스 세트로 정의하고 있다.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$의 $세트{\displaystyle }$ $K {\$$displaystyle$ $K}$이$($가) 볼록한 경우$$ $K{\displaystyle }$ {\displaystyle a}, K ${\displaystyle$ $K$$}$의 $각{\displaystyle }$ 개별 $지점$ 쌍에 대해 끝점이 $있는{\displaystyle }$ 닫힌 세그먼트가 K$$${\$$di$ 내에 포함된$$ 경우$splaystyle K}$.

이는 한정된 집합이 반드시 폴리토프의 극한점 집합을 포함해야 하는 유한한 점 집합의 볼록한 선체로 한정된 볼록한 볼록한 볼록한 폴리토프를 정의하는 것과 동등하다. 그러한 정의를 정점 표현(V-표현 또는 V-설명)이라고 한다.^[1] 콤팩트 볼록 폴리토프의 경우 최소 V-설명법이 고유하며 폴리토프의 정점 집합에 의해 주어진다.^[1] 볼록 폴리토프는 모든 정점들이 정수 좌표를 갖는다면 일체형 폴리토프라고 불린다.

반공간 교차점

볼록 폴리토프는 한정된 수의 반공간 교차점으로 정의할 수 있다. 그러한 정의를 반공간 표현(H-표현 또는 H-설명)이라고 한다.^[1] 볼록 폴리토프에 대한 H-해설화가 무한히 많이 존재한다. 단, 전차원 볼록폴록형 폴리토프의 경우, 최소 H-Description은 사실 고유하며, 면 디펜싱 하프스페이스 세트에 의해 주어진다.^[1]

닫힌 반공간은 선형 불평등이라고 쓸 수 있다.^[1]

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 고려 중인 폴리토프를 포함하는 공간의 치수다$$. 따라서 닫힌 볼록 폴리토프는 선형 불평등 시스템에 대한 해결책의 집합으로 간주될 수 있다.

${\displaystyle{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&,&\;+\,&&a_{12}x_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{1n}x_{n}&,&\;\leq\;&,&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&,&\;+\,&&a_{22}x_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{2n}x_{n}&,&\;\leq\;&,&&b_{2}\\\vdots.\와 같이^;&,&&&\vdots.\와 같이^;&.;&&&\vdots.\와 같이^;&,&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&,&\;+\,&&a_{m2들}x_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{중성자의 정지 질량}x_{n}&,&\;\leq\;&,&&b_{m}\\\end{aligne.dat}}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 폴리토프를 정의하는 반감기 수입니다. 이것은 행렬 불평등이라고 간결하게 쓰여질 수 있다.

$(\디스플레이 스타일 Ax\le Ax\leq b)$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A}$은$($는) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle m\times n}$ 행렬이고$,$ $x{\displaystyle }$${\$$displaystyle$ $x_{$$1}~{$$}$ 변수$$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$${\displaystyle }$$b{\displaystyle \}}$은$($는) m × 1 ${\displaysty$$}$ 행렬이다$$$$$$.좌표가 스칼라 불평등의 우측$$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${\displaystyle b_{}}$ m ${\$인 $ystyle m\m1}$ 열$$ 벡터.

개방 볼록형 폴리토프는 동일한 방식으로 정의되며, 엄격한 불균형이 아닌 공식에 사용되는 엄격한 불평등이 있다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 각 행 계수는 각 반공간을 정의하는 선형 불평등 계수와 일치한다$$. 따라서 행렬의 각 행은 폴리토프를 포함하는 절반의 공간을 경계하는 하이퍼 평면인 폴리토프의 지지 하이퍼 평면에 해당한다. 지지 하이퍼플레인 역시 폴리토프를 교차하는 경우, 경계 하이퍼플레인(지지 하이퍼플레인이기 때문에 폴리토프의 경계에서만 폴리토프를 교차할 수 있다)이라고 한다.

앞에서 설명한 정의는 폴리토프가 완전 차원이라고 가정한다. 이 경우, 불평등을 정의하는 독특한 최소 집합(양수까지 곱하기)이 있다. 이 독특한 미니멀 시스템에 속하는 불평등을 본질이라고 한다. 본질적인 불평등을 평등과 함께 만족시키는 폴리토프의 점 집합을 면이라고 한다.

폴리토프가 완전한 ${\displaystyle \mathrm{차원}}$이 아닌 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ b ${\displaystyle Ax\leq b}$의 용액은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 적절한 아핀 하위 공간에 놓여$$ 있으며$$, 폴리토프는 이 하위 공간의 개체로서 연구될 수 있다. 이 경우 폴리토프의 모든 점에 의해 충족되는 선형 방정식이 존재한다. 정의되는 불평등에 이 방정식들 중 하나를 더한다고 해서 폴리토프가 바뀌지는 않는다. 그러므로 일반적으로 폴리토프를 정의하는 독특한 최소한의 불평등 집합은 없다.

일반적으로 임의의 반공간의 교차점은 경계할 필요가 없다. 그러나 볼록한 선체로써 그것과 동등한 정의를 원한다면, 경계는 분명히 요구되어야 한다.

다른 표현 사용

두 가지 표현은 함께 주어진 벡터가 주어진 볼록 폴립토프에 포함되는지 여부를 결정하는 효율적인 방법을 제공한다: 주어진 벡터가 폴리토프 안에 있다는 것을 보여주기 위해서는 폴리토프 정점의 볼록한 조합으로 표시하기에 충분하다(V-description이 사용된다). 폴립토프 안에 있지 않다는 것을 보여주기 위해서는 노래를 제시하기에 충분하다.그것이 위반하는 불평등을 정의한다.^{[4]: 256}

벡터에 의한 표현에서 미묘한 점은 벡터의 수가 차원에서는 기하급수적일 수 있으므로, 벡터가 폴리토프에 있다는 증거는 기하급수적으로 길 수도 있다는 것이다. 다행히도 캐러테오도리의 정리는 폴리토프의 모든 벡터가 최대 d+1 정의 벡터로 표현될 수 있음을 보장하는데, 여기서 d는 공간의 차원이다.

언바운드 폴리에스테르 표현

무한 폴리토프(일명: 다면체라고도 함)의 경우 H 서술은 여전히 유효하지만 V 서술은 확장해야 한다. 테오도르 모츠킨(1936년)은 어떤 무한 폴리토프라도 경계가 있는 폴리토프와 볼록한 다면 원뿔의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했다.^[5] 즉, 무한 폴리토프의 모든 벡터는 정점의 볼록한 합("디핑 포인트")과 더불어 무한 에지의 유클리드 벡터("디핑 광선")의 원뿔적인 합이다. 이것을 유한근거 정리라고 한다.^[3]

특성.

모든 (경계된) 볼록 폴리토프는 심플렉스의 이미지로, 모든 점은 (마지막으로 많은) 정점의 볼록한 조합이기 때문이다. 그러나 폴리토페스는 일반적으로 단순화에 이형성이 없다. 이는 벡터 공간과 선형 결합의 경우와는 대조적으로, 모든 유한차원 벡터 공간은 어떤 차원의 유클리드 공간(또는 다른 영역에 대한 아날로그)의 이미지일 뿐만 아니라, 사실상 이형화된다.

얼굴 격자

볼록 폴리토프의 면은 폴리토프의 내부 지점이 하프 스페이스의 경계 위에 놓여 있지 않도록 반공간을 가진 폴리토프의 어떤 교차점이다. 동등하게, 얼굴은 폴리토프의 어떤 유효한 불평등에서 평등을 주는 점들의 집합이다.^{[4]: 258}

polytope가 d차원이라면, 그것의 면은 그것의 (d - 1)차원 면이고, 그것의 정점은 그것의 0차원 면이며, 그것의 가장자리는 그것의 1차원 면이며, 그것의 능선은 그것의 (d - 2)차원 면이다.

매트릭스 ${\displaystyle \mathrm{불평등}}$ A x ${\displaystyle \le }$ b ${\displaystyle Ax\leq$ b$}$에 의해 정의된 볼록 폴리토프 P에 대해$,$ A의 각 행이 경계 하이퍼플레인과 일치하고 다른 행과 선형적으로 독립된 경우, P의 각 면은 정확히 A의 한 행과 일치하며, 그 반대도 마찬가지다. 주어진 면의 각 점은 행렬에 있는 해당 행의 선형 평등을 만족시킬 것이다. (다른 행의 평등을 만족시킬 수도 있고 충족하지 않을 수도 있다. 마찬가지로 능선의 각 지점은 A의 두 줄에서 평등을 만족시킬 것이다.

일반적으로 (n - j)차원 얼굴은 A의 j 특정 행에서 동등성을 만족한다. 이 줄들은 얼굴의 기본을 이루고 있다. 기하학적으로 말하면, 이것은 얼굴이 폴리토프의 경계 하이퍼플레인의 j의 교차점에 놓여 있는 폴리토프의 점 집합임을 의미한다.

따라서 볼록한 폴리토프의 얼굴은 얼굴 격자라 불리는 오일러 격자를 형성하는데, 여기서 부분적인 순서는 얼굴 격납에 의해 이루어진다. 위에서 주어진 얼굴의 정의는 폴리토프 그 자체와 빈 세트를 모두 얼굴로 간주할 수 있게 하여, 모든 쌍의 얼굴에는 얼굴 격자에서 조인과 만남이 이루어지도록 한다. 전체 폴리토프는 격자의 고유한 최대 원소로, 모든 폴리토프의 (-1)차원 면(-1)으로 간주되는 빈 세트는 격자의 고유한 최소 원소다.

두 개의 다면체는 얼굴 격자가 이형체라면 결합형 이형체라고 불린다.

폴리토프 그래프(폴리토프 그래프, 폴리토프의 그래프, 1-골격)는 고차원 면은 무시한 채 폴리토프의 정점과 가장자리만 세트다. 예를 들어 다면 그래프는 3차원 다면체의 다면 그래프다. 휘트니의^[6] 결과 3차원 폴리토프의 얼굴 격자는 그래프에 의해 결정된다. 임의 차원의 단순한 폴리토페스도 마찬가지다(Blind & Mani-Levitska 1987, Micha Perles의 추측을 증명).^[7] 칼라이(1988)는 독특한 싱크대 방향을 바탕으로 간단한 증거를 제시한다.^[8] 이러한 폴리토페스의 얼굴 격자는 그래프에 의해 결정되기 때문에, 두 개의 3차원 또는 단순한 볼록형 폴리포트가 결합적으로 이형성인지 여부를 결정하는 문제는 그래프 이형성 문제의 특수한 경우로서 동등하게 공식화될 수 있다. 그러나 이러한 문제들을 반대로 해석하는 것도 가능하여 폴리토페 이형성 검사가 그래프 이형성 검사 완료임을 알 수 있다.^[9]

위상학적 특성

볼록 폴리토프는, R의ⁿ 다른 콤팩트 볼록 부분집합과 마찬가지로, 닫힌 공에 대해 동형이다.^[10] m이 폴리토프의 치수를 나타내도록 하라. 폴리토프가 완전 차원일 경우 m = n. 따라서 볼록 폴리토프는 경계가 있는 m차원 다지관이며 오일러 특성은 1이며, 기본 집단은 사소한 것이다. 볼록 폴리토프의 경계는 (m - 1)-sphere에 대해 동형이다. 경계의 오일러 특성은 짝수 m의 경우 0이고 홀수 m의 경우 2이다. 경계는 (m - 1)차원 구면 공간의 다듬기(즉, 구면 타일링)로 간주할 수도 있다.

단순 분해

볼록한 폴리토프는 단순한 복합체, 즉 단순한 조합으로 분해되어 특정 성질을 만족시킬 수 있다.

볼록한 r차원 폴리토프 P를 주어진 경우, (r+1) 친숙하게 독립된 점을 포함하는 정점의 부분집합은 r-심플렉스를 정의한다. 해당 단순화의 합이 P와 같도록 하위 집합의 집합을 구성할 수 있으며, 두 단순화의 교차점은 비어 있거나 저차원 단순화된다. 이 단순한 분해는 단순체의 부피가 공식에 의해 쉽게 주어지기 때문에 볼록폴록의 부피를 계산하는 많은 방법의 기초가 된다.^[11]

볼록 폴리토프의 알고리즘 문제

표현 구성

볼록 폴리토프의 다른 표현은 효용성이 다르기 때문에 다른 표현에 주어진 하나의 표현 구조는 중요한 문제다. V-표현 시공 문제는 정점 열거 문제로, H-표현 시공 문제는 정점 열거 문제로 알려져 있다. 경계 볼록 폴리토프의 정점 세트가 그것을 독특하게 정의하지만, 다양한 응용에서 폴리토프의 결합 구조, 즉 얼굴 격자에 대해 더 많이 아는 것이 중요하다. 다양한 볼록형 선체 알고리즘은 전면 열거 및 면 격자 구조를 모두 다룬다.

평면의 경우, 즉 볼록 폴리곤의 경우, 면과 정점 열거 문제는 모두 순서 정점(resp)에 해당한다. 볼록한 선체 주변 가장자리). 볼록 폴리곤이 폴리곤에 대해 전통적인 방식으로 지정될 때, 즉, $정점{\displaystyle {}_{}}$v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle v_{}}$ m ${\$의 순서에 의해 지정될 때$,$ 정점(또는 가장자리)의 입력 목록이 정렬되지 않으면 문제의 시간 복잡성이 O(m log m)가 된다.^[12] 일치하는 하한은 계산의 대수적 의사결정 트리 모델에서 알려져 있다.^[13]

볼륨 계산

볼록 폴리토프의 부피를 계산하는 과제는 계산 기하학 분야에서 연구되어 왔다. 예를 들어 멤버십 오라클에 액세스할 수 있는 경우 볼록 볼륨 근사 기법을 사용하여 볼륨을 대략적으로 계산할 수 있다. 정확한 계산에 관해서, 한 가지 장애물은 볼록 폴리토프를 선형 불평등의 방정식 시스템으로 표현했을 때, 폴리토프의 부피는 이 표현에서 다항식이 아닌 비트 길이를 가질 수 있다는 것이다.^[14]

참고 항목

• 방향매트로이드
• 네프 다면체
• 스타이니츠의 볼록 폴리헤드라 정리

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 볼록스 폴리토페스와 관련된 미디어가 있다.

• Weisstein, Eric W. "Convex polygon". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Convex polyhedron". MathWorld.
• 고메이 후쿠다, 폴리헤드럴 계산 FAQ.