사이클로토믹장

수 이론에서, 사이클로토믹 장은 합리적인 수의 분야인 $Q$ 에 통합의 복잡한 뿌리를 결합하여 얻은 수 분야다.

사이클로토믹 장은 페르마의 마지막 정리와의 관계 때문에 현대 대수학 및 숫자 이론의 발전에 결정적인 역할을 했다. 에른스트 쿠머가 처음으로 이상적인 숫자의 개념을 도입하고 그의 유명한 합치를 입증한 것은 이러한 분야들의 산술에 대한 심도 있는 조사 과정이었다.

정의

$n$ ≥ $1$ 의 경우, = = $e 2π i / n c n$ C로 하자; 이것은 단결의 원시 n번째 뿌리다. 그 다음 n번째 사이클로토믹 장은 $ζ$ 에_n 의해 생성된 $Q$ 의 확장 $Q (ζ n)$ 이다.

특성.

n번째 사이클로토믹 다항식

{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\!\!\!\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\\gcd(k,n)=1.\!\!\왼쪽(x-e^{2\pi ik/n}\오른쪽)=\!\!\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\\gcd(k,n)=1.\!\!\!(x-{\\zeta _{n}^{k}}})

해석할 수 없기 때문에 Q에 $대한$ $over$ 의_n 최소 다항식이다.

따라서 $C$ 에서 $ζ$ 의_n 결합은 $unity n k$ 1 primitive $k$ ≤ $n$ 의 $다른$ 원시 n번째 근원이며 $gcd(k, n)$ = 1이다.
$따라서$ Q $(ζ n)$ 의 정도는[ $Q (ζ n): Q]$ = $deg n$ = = $((n)$ 이며 여기서 $φ$ 은 오일러의 총함수다.
$x n$ - $1$ 의 뿌리는 $ζ$ 의_n 힘이기 때문에 $Q (ζ n$ )는 $q$ 에 대한 $x n$ - $1$ ( $또는$ $φ)$ 의 분열장이다.
$따라서$ Q $(ζ n)$ 는 $Q$ 의 갈루아 확장이다.
The Galois group $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ is naturally isomorphic to the multiplicative group $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ , which consists of the invertible residues modulo $n$ , which are the residues $a mod n$ with $1 \leq a \leq n$ and $gcd(a, n) = 1$ . The isomorphism sends each $\sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ to $a mod n$ , where $a$ is an integer such that $σ(ζ n) = ζ n a$ .
$Q (ζ n)$ 의 정수 링은 $Z [ζ n]$ 이다.
$n$ > $2$ 의 경우 확장 $Q (()/ Q$ 의_n 판별은 다음과 같다^[1].

{\displaystyle(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}{\displaystyle \p^{p}p^{n)/(p-1)}}}}}}}.}

특히, $n$ 을 나누지 않고 모든 primary $q$ 위에 $Q (수치 n)/ Q$ 를 표시하지 않는다.
$n$ 이 prime $p$ 의 힘이라면, $p$ $위에 n Q(/)/$ $Q$ 가 완전히 함몰된다.
If $q$ is a prime not dividing $n$ , then the Frobenius element $\operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ corresponds to the residue of $q$ in $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ .
$Q (ζ n)$ 의 통합의 뿌리의 $집단$ 은 n이 짝수인지 홀수인지에 $따라$ n $또는$ 2n의 순서를 가진다.
단위 그룹 $Z [ζ n] \times$ 는 디리클레 단위 정리에 의해 어떤 $n$ > $2$ 에 대해서도 $½φ(n)-1$ 등급의 아벨리아 그룹이다. 특히 n $n {1,2,3,4,$ 6}인 경우를 제외하고 단위 그룹은 무한하다. $Z [ζ n] \times$ 의 비틀림 부분군은 $앞$ 의 항목에서 설명한 Q $(ζ n$ )의 통합의 뿌리군이다 $.$ 사이클로토믹 단위는 $Z [ζ n$ ]의 명시적 유한 지수 부분군을 형성한다 $. \times$
크로네커-베버 정리는 $C$ 에서 $Q$ 의 모든 유한한 아벨 연장이 일부 $n$ 에 대해 $Q (ζ n)$ 에 포함되어 있다고 기술하고 있다. 동등하게, 모든 사이클로토믹장 $Q (ζ n)$ 의 $결합$ 은 Q의 최대 아벨리안 확장 $Q$ 이다^ab.

일반 다각형과의 관계

가우스는 나침반과 직선자를 가진 규칙적인 n곤을 건설하는 문제와 관련하여, 사이클로토믹 분야 이론에 일찍이 진출했다. 전임자들을 면한 그의 놀라운 결과는 규칙적인 17곤이 그렇게 구성될 수 있다는 것이었다. 보다 일반적으로 어떤 $정수$ n $3$ 3에 대해서도 다음 사항은 동등하다.

정규 n-곤은 구성 가능하다.
$Q$ 로 시작하고 $Q (ζ n$ )로 끝나는 일련의 필드가 있으며 $,$ 각 필드는 이전 필드의 2차 확장이다.
$φ (n)$ 은 2의 힘이다.
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ = $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ p 1 $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ r $n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ {\ $displaystyle n=2^{a}$ p_ ${1$ }\cdots $p_{r},$ $일부$ 정수 a, r ≥ $0$ 및 Fermat $p_{1},\ldots ,p_{r}$ $p_{1},\ldots ,p_{r}$ 1, p $p_{1},\ldots ,p_{r}$ r ${\$ },\ $dots, p_{r$ (페르마트 프라임은 $p$ - $1$ 은 홀수 $p$ - 1의 p - 1의 검정력이다. 알려진 페르마 프라임은 3, 5, 17, 257, 65537이며, 다른 것은 없을 가능성이 높다.)

작은 예

N=3, nx6:방정식 ζ 3)− 1+− 32{\displaystyle \zeta_{3}={\tfrac{-1+{\sqrt{-3}}}{2}}}과 ζ 6=1+− 32{\displaystyle \zeta_{6}={\tfrac{1+{\sqrt{-3}}}{2}}} 보여 Q(ζ3))Q(ζ6))Q(√-3)이 2차 연장의 A.Correspondingly, 보통 3-gon하고, 일정한 6.-g건설할 수 있다.
$n$ = $4$ : 비슷하게 $ζ 4$ = $i$ 이므로 $Q (ζ 4)$ = $Q (i$ )이며 $,$ 일반 4곤은 구성 가능하다.
$n$ = $5$ : 필드 $Q (ζ 5$ )는 $Q$ 의 2차 확장이 아니라 2차 확장 Q $(\sqrt 5$ )의 2차 확장이기 때문에 정규 5곤을 구성할 수 있다 $.$

페르마의 마지막 정리와의 관계

페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 자연스러운 접근법은 이항 $x n$ + $y$ 를ⁿ 고려하는 것이다. $여기$ 서 n은 홀수 프라임이며 페르마의 방정식의 한 면에 나타난다.

x^{n}+y^{n}=z^{n}}

아래와 같이

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots(x+\zeta ^{n-1}y)

여기서 $x$ 와 $y$ 는 일반적인 정수인 반면, 인자는 사이클로토믹 필드 $Q (ζ n$ )의 대수적 정수인 반면 $,$ 고유 인자화가 사이클로토믹 정수 Z $[ζ n]$ 에 있다면 페르마의 방정식에 대한 비경쟁적 해결책의 존재를 배제하는 데 사용될 수 있다.

이러한 선들을 따라 페르마의 마지막 정리를 다루기 위한 여러 시도가 진행되었으며, $n$ = $4$ 에 대한 페르마의 증명과 n = $3$ 에 대한 오일러의 증명 둘 다 이 용어로 다시 제시될 수 있다. $Q (ζ n$ )가 고유한 요소를 갖는 $n$ 의 전체 리스트는^[2]

1 ~ 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 44, 45, 45, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

쿠메르는 독특한 요소화의 실패에 대처하는 방법을 찾았다. 그는 사이클로토믹 정수 $Z [ζ n$ ]의 프라임 숫자에 대한 교체를 도입하고 $,$ 클래스 $number n$ h를 통해 고유 인자화의 실패를 측정하고, $만약 p$ h가 프라임 $p$ 에 의해 분할되지 않는다면( $그런$ p를 정규 pimes라고 한다) 페르마의 정리가 $지수$ n = $p$ 에 대해 참임을 증명했다. 나아가 어떤 프리임이 규칙적인지 판단하기 위한 기준을 제시하고, 불규칙적인 프리타임 37, 59, 67을 제외한 모든 프라임 지수 $p$ 를 100 미만인 모든 프라임 지수에 대해 페르마의 정리를 확립했다. 사이클로토믹 분야의 계급수에 대한 쿰메르의 일치에 관한 연구는 이와사와 이론에서 20세기에 이와사와에 의해, 그리고 쿠보타와 레오폴트에 의해 p-adic 제타 함수 이론에서 일반화되었다.

사이클로토믹 필드의 클래스 번호 목록

(OEIS의 경우 시퀀스 A061653) 또는 OEIS: A055513 또는 OEIS: $h$ $h$ -part $h$ (prime n의 경우)

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65: 64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

참고 항목

참조

^ 워싱턴 1997년 발의안 2.7.
^ 워싱턴 1997, 정리 11.1.

원천

Bryan Birch, J.W.S. Cassels and A.의 "사이클로토모믹 들판과 쿠머 확장" 프롤리히 (edd), 대수학 수 이론, 학술 출판사, 1973. III, 페이지 45-93.
다니엘 A. 마커스, 숫자 필드, 초판, 스프링거-버래그, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
세르게 랑, 사이클로토믹 필즈 I과 II, 복합 2판. 칼 루빈의 맹장으로. 수학 대학원 교과서, 121. 스프링거-베를라크, 1990. ISBN 0-387-96671-4

추가 읽기

Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Field". MathWorld.
"Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
진짜 사이클로토믹 필드의 정수의 반지 위에서. 야마가타 고지, 야마가시 마사카즈: 프로크, 일본 학원 92. 세르 a (2016)

[FOOTNOTEWashington1997Proposition_2.7-1] 워싱턴 1997년 발의안 2.7.

[FOOTNOTEWashington1997Theorem_11.1-2] 워싱턴 1997, 정리 11.1.

[1]

[2]

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