칼 프리드리히 가우스

칼 프리드리히 가우스
크리스티안 알브레히트 젠슨의 초상화, 1840 (고틀립 비어만의 사본, 1887)[1]
태어난	요한 카를 프리드리히 가우스 (1777-04-30)1777년 4월 30일 신성 로마 제국 브런즈윅-볼펜뷔텔 공국
죽은	1855년 2월 23일 (1855-02-23) (77세) 하노버 왕국 괴팅겐
모교	콜레기움 카롤리눔 괴팅겐 대학교 헬름슈테트 대학교(PhD)
로 유명함	풀리스트
배우자	요한나 오스트호프 (m.1805년, 1809년 사망) 민나 월덱 (m.1810; 1831년 사망)
아이들.	6
시상식	랄랑드상 (1809) 코플리 메달 (1838)
과학경력
필드	수학, 천문학, 측지학, 자기학
기관	괴팅겐 대학교
논문	데모노바... (1799)
박사 자문위원	요한 프리드리히 파프
박사과정생	리처드 데데킨드 크리스티안 루드비히 겔링 빌헬름 클링커퓨즈 요한 베네딕트 목록 베른하르트 리만 어거스트 리터 카를 폰 슈타트
그 외 주목할 만한 학생들	고트홀드 아이젠슈타인 요한 프란츠 엥케 칼 볼프강 벤저민 골드슈미트 아돌프 테오도르 쿠퍼 아우구스트 페르디난트 뫼비우스 모리츠 스턴 게오르크 프레데리크 우르신 모리츠 루트비히 비히만
서명

요한 카를 프리드리히 가우스(, 1777년 4월 30일 ~ 1855년 2월 23일)는 독일의 수학자, 천문학자, 측지학자, 물리학자로 수학과 과학의 많은 분야에 중요한 공헌을 했습니다.^[2][3] 가우스는 역사상 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명으로 "수학자의 왕자"라고 불립니다. 그는 1807년부터 1855년 사망할 때까지 거의 반세기 동안 괴팅겐 천문대의 책임자이자 이 대학의 교수였습니다.

괴팅겐 대학교에 재학 중이던 그는 몇 가지 수학 정리를 제안했습니다. 가우스는 개인 학자로서 그의 명작 Disquiationses Armeticae와 Oria motus corporum coelestium을 완성했습니다. 그는 대수학의 기본 정리에 대한 두 번째와 세 번째 완전한 증명을 발표했고, 수론에 기여했으며, 이진 및 삼차 이차 형식의 이론을 개발했으며, 고속 푸리에 변환 알고리즘을 발명한 것으로 인정받고 있습니다. 그는 니콜라이 로바체프스키, 야노스 볼라이와 함께 비유클리드 기하학의 발견자 중 한 명으로 간주되며, 그 용어를 만들었습니다.

가우스는 새로 발견된 세레스를 왜행성으로 확인하는 데 중요한 역할을 했습니다. 큰 행성에 의해 교란되는 행성체의 운동에 대한 그의 연구는 가우시안 중력상수와 최소제곱법의 도입으로 이어졌고, 그는 이 방법을 발표하기 전에 발견했습니다.

가우스는 1820년부터 1844년까지 호 측정 프로젝트와 함께 하노버 왕국의 광범위한 측지 조사를 담당했으며 많은 현장 작업을 수행했으며 완전한 과학적 평가를 제공했습니다. 나아가 자기의 기본원리를 정립하면서 지구물리학의 창시자 중 한 명으로 이 분야의 기초적인 실천적 연구를 하였습니다. 그의 실용적인 작업의 결실은 1821년 헬리오트로프, 1833년 자력계, 1833년 최초의 전자기 전신인 빌헬름 에두아르트 베버와 함께 발명되었습니다.

가우스는 신중한 작가였고 불완전한 작품을 출판하는 것을 거부했습니다. 그는 생전에 광범위하게 출판했지만 사후에 출판될 여러 작품을 남겼습니다. 그는 지식의 소유가 아닌 배움의 행위가 가장 큰 즐거움을 제공한다고 믿었습니다. 가우스는 가르치는 것을 싫어하는 것으로 알려져 있었지만, 그의 학생들 중 일부는 영향력 있는 수학자가 되었습니다.

전기

청소년과 교육

요한 카를 프리드리히 가우스는 1777년 4월 30일 브런즈윅-볼펜뷔텔(현재 독일 니더작센의 일부) 공국의 브런즈윅(브런즈윅)에서 사회적 지위가 낮은 가정에서 태어났습니다.^[4] 그의 아버지 게브하르트 디트리히 가우스 (1744–1808)는 도살자, 벽돌공, 정원사, 그리고 사망 수당 기금의 회계원으로 여러 직업에서 일했습니다. 가우스(Gauss)는 아버지를 존경스럽고 존경스럽지만 거칠고 가정을 지배하는 사람으로 묘사했습니다. 칼 프리드리히의 어머니인 아내 도로테아(1743–1839)는 거의 문맹이었던 반면, 그는 글쓰기와 계산에 경험이 많았습니다. 칼 프리드리히는 어린 시절 다니던 학교 근처 교회에서^[a] 세례를 받고 확진 판정을 받았습니다.^[5] 그는 아버지의 초혼부터 형이 한 명 있었습니다.^[6]

가우스는 수학 분야의 신동이었습니다. 초등학교 선생님들이 그의 지적 능력을 알아차렸을 때, 그들은 브런즈윅 공작의 관심을 끌었고, 그는 그를 1792년부터 1795년까지 그의 선생님 중 한 명으로 에버하르트 아우구스트 빌헬름 폰 짐머만과 함께 다녔던 지역 콜레지움 카롤리눔에 보냈습니다.^[b] 그 후 공작은 1798년까지 하노버 괴팅겐 대학교에서 수학, 과학, 고전 언어를 공부할 수 있는 자원을 그에게 제공했습니다.^[7] 가우스가 고향인 브런즈윅 근처 헬름슈테트 대학교가 아닌 괴팅겐으로 진학한 이유는 알 수 없지만, 학생들이 책을 빌려 집으로 가져갈 수 있도록 허용한 괴팅겐의 큰 도서관이 결정적인 이유였을 것으로 추정됩니다.^[8] 그의 수학 교수 중 한 명은 아브라함 고텔프 케스트너(Abraham Gotthelf Kästner)였는데, 가우스는 그의 경구 때문에 "시인들 사이에서 선두적인 수학자, 수학자들 사이에서 선두적인 시인"이라고 불렀습니다.^[9] 가우스는 그가 간단한 계산에서 오류를 만들어내는 강의 장면을 보여주는 그림에서 그를 묘사했습니다. 천문학은 카를 펠릭스 폰 세이퍼 (1762–1822)에 의해 가르쳤고, 가우스는 졸업 후에도 서신을 주고받았으며,^[10] 올버스와 가우스는 서신에서 그를 조롱했습니다. 반면에 그는 물리학 선생님인 게오르크 크리스토프 리히텐베르크와 고전 가우스의 강의를 즐겁게 들은 크리스티안 고틀롭 하인을 높이 평가했습니다.^[10] 요한 프리드리히 벤젠베르크, 파르카스 볼라이, 하인리히 빌헬름 브란데스가 이 시대의 동료 학생들이었습니다.^[10]

여러 정리를 독자적으로 재발견한 것으로 보아 대학 재학생이지만 수학을 독학한 학생이었음이 분명합니다.^[11] 그는 1796년 나침반과 직선으로 어떤 정다각형을 구성할 수 있는지를 결정하면서 고대 그리스 시대부터 수학자들을 차지했던 기하학 문제에서 돌파구를 마련하는 데 성공했습니다. 이 발견은 그의 첫 번째 출판물의 주제였고, 궁극적으로 가우스는 문헌학 대신 수학을 직업으로 선택하게 되었습니다.^[12] 가우스의 수학 일기는 같은 해에 그가 정수론에서도 생산적이었다는 것을 보여줍니다. 그는 모듈러 산술에서 진보적인 발견을 했고, 2차 상호성 법칙의 첫 번째 증명을 발견했고, 소수 정리를 다루었습니다. 1801년에 출판된 그의 수학적 매그노푸스 디퀴지션스 산술에 대한 많은 아이디어는 이때부터 시작됩니다.^[13]

사학자

가우스는 1799년에 철학박사로 졸업했습니다. 그는 때때로 언급되는 것처럼 괴팅겐을 졸업한 것이 ^[c][14]아니라 브런즈윅 공작의 특별한 요청으로 공국의 유일한 주립 대학인 헬름슈테트 대학교에서 졸업했습니다. 그곳에서 요한 프리드리히 파프(Johann Friedrich Pafff)는 그의 박사 논문을 평가했고, 가우스(Gauss)는 보통 요청했던 더 이상의 구두 시험 없이 결석으로 학위를 받았습니다. 그 후 공작은 브런즈윅에서 개인 학자로서 생활하는 비용을 허락했습니다. 가우스는 상트페테르부르크에 있는 러시아 과학 아카데미의 몇 번의 전화를 거절했을 때 이 유산에 대한 감사와 충성심을 보여주었습니다. 피터버그와 랜드셔트 대학에서 왔습니다. 나중에, 공작은 1804년 브런즈윅에 천문대의 설립을 약속했습니다. 건축가 Peter Joseph Krahe는 예비 설계를 만들었지만 나폴레옹의 전쟁 중 하나는 그 계획들을 취소시켰습니다:^[15] 공작은 1806년 예나 전투에서 치명적인 부상을 입었습니다. 이듬해 공국은 폐지되었고, 가우스의 재정적 지원은 중단되었습니다. 그 후 그는 요롬 보나파르트가 새로 설립한 베스트팔렌 왕국의 기관인 괴팅겐 대학교에 정식 교수이자 천문대의 책임자로 초빙되었습니다.^[16]

소행성 궤도의 계산을 연구한 가우스는 천체 경찰이라고 알려진 비공식 천문학자 그룹의 일부로서 브레멘과 릴리엔탈의 천문학 공동체, 특히 빌헬름 올버스, 카를 루트비히 하딩, 프리드리히 빌헬름 베셀과 접촉했습니다.^[17] 그들의 목표 중 하나는 더 많은 행성을 발견하는 것이었고, 그들은 소행성과 혜성에 대한 데이터를 가우스의 연구의 기초로 모았습니다. 이로써 가우스는 궤도를 결정하는 새롭고 강력한 방법을 개발할 수 있었고, 나중에 그의 천문학적인 마그노푸스 오리아 모투스 코퍼스 코퍼스 코엘레스티움(1809)에 발표했습니다.^[18]

괴팅겐 교수

가우스는 1807년 11월 괴팅겐에 도착했고, 그 다음 해에 그는 전쟁 기여금으로 서팔리아 정부로부터 2천 프랑을 요구받는 데 직면했습니다. 아직 월급을 받지 못한 그는 이 엄청난 금액을 올릴 수 없었습니다. 올버스와 라플라스 둘 다 그의 지불을 돕고 싶었지만 가우스는 그들의 도움을 거절했습니다. 마침내, 프랑크푸르트 출신의 익명의 사람이 그 돈을 지불했습니다.^[19] 후에 왕자인 달베르그로 밝혀졌습니다.^[16]

가우스(Gauss)는 1748년 왕자 선출자 조지 2세(George II)가 설립하고 개조된 요새 탑 ^[20]위에 사용 가능하지만 부분적으로는 구식인 장비를 갖춘 60년 된 천문대의 책임자를 맡았습니다.^[21] 새로운 천문대 건설은 1802년부터 조지 3세 왕자 당선자에 의해 원칙적으로 승인되었으며, 웨스트팔리아 정부는 계획을 계속했지만,^[22] 가우스는 1816년 10월까지 새로운 근무지로 이동할 수 없었습니다. 그는 Repsold와^[23] Reichenbach로부터 두 개의 자오선 원과 ^[24]Fraunhofer로부터 태양계와 같은 새로운 최신 장비를 얻었습니다.^[25]

순수 수학 외에도 가우스의 과학 활동은 대략 세 시기로 나눌 수 있습니다. 19세기의 첫 20년 동안은 천문학이, 세 번째 10년 동안은 측지학이, 네 번째 10년 동안은 주로 자기 물리학에 몰두했습니다.^[26]

가우스는 통풍과 일반적인 불행에 시달리면서도 노년까지 정신적으로 왕성하게 활동했습니다. 그의 마지막 관찰은 1851년 7월 28일 일식이었습니다.^[27] 1855년 2월 23일, 가우스는 괴팅겐에서 심장마비로 사망했고,^[9] 그곳의 알바니 묘지에 안장되었습니다. 가우스의 사위 하인리히 에발트와 가우스의 절친한 친구이자 전기 작가인 볼프강 사르토리우스 폰 발터하우젠은 그의 장례식에서 추도사를 했습니다.^[28]

가우스 뇌

가우스가 죽은 다음 날, 그의 뇌는 루돌프 바그너에 의해 제거되고 보존되고 연구되었는데, 바그너는 그 질량이 평균보다 약간 높은 1,492 그램 (52.6 온즈)임을 발견했습니다.^[29][30] 바그너의 아들 헤르만은 박사 논문에서 뇌 면적을 219,588 평방 밀리미터(340.362 평방미터)로 결정했습니다.^[31] 고도로 발달된 컨볼루션도 발견되었는데, 이는 20세기 초에 그의 천재성에 대한 설명으로 제시되었습니다.^[32] 괴팅겐의 막스 플랑크 생물물리화학 연구소에서 실시한 1998년 자기 공명 연구는 이전의 다양한 조사 후에 그의 수학적 능력을 설명하는 데 사용될 수 있는 결과를 제공하지 않았습니다.^[33]

2013년, 같은 연구소의 한 신경생물학자는 가우스의 뇌가 잘못된 라벨링으로 인해 Gauss의 뇌와 몇 달 후 괴팅겐에서 사망한 의사 Conrad Heinrich Fuchs의 뇌와 뒤섞여 있다는 것을 발견했습니다.^[34] 추가 조사 결과, 두 사람의 뇌에서 눈에 띄는 이상은 발견되지 않았습니다. 따라서 루돌프와 헤르만 바그너의 첫 번째 조사를 제외하고 1998년까지 가우스의 뇌에 대한 모든 조사는 실제로 푹스의 뇌를 언급합니다.^[35]

가족

가우스는 1805년 10월 9일 요한나 오스트호프(Johanna Osthoff, 1780–1809)와 결혼했습니다.^[36] 그들은 두 아들과 딸을 낳았습니다: 요셉 (1806–1873), 빌헬미나 (1808–1840), 루이 (1809–1810). 요한나는 루이가 태어난 지 한 달 후인 1809년 10월 11일에 사망했고, 그 자신도 몇 달 후에 사망했습니다.^[37]

가우스는 1810년 8월 4일 첫 번째 부인의 친구인 빌헬미네 발데크(1788–1831)와 재혼했습니다. 그들은 3명의 아이들을 더 낳았습니다. 외젠 (후일 유진) (1811–1896), 빌헬름 (후일 윌리엄) (1813–1879), 테레즈 슈타우페나우 [de] (1816–1864). 민나 가우스는 10년 이상 중병을 앓다가 1831년 9월 12일에 사망했습니다.^[38] 테레즈는 이후 집안을 물려받아 가우스를 평생 돌보았고, 아버지가 사망한 후 배우 콘스탄틴 슈타우페나우와 결혼했습니다.^[39] 그녀의 여동생 빌헬미나는 동양학자 하인리히 에발트와 결혼했습니다.^[40] 가우스의 어머니 도로테아는 1817년부터 1839년 그녀가 사망할 때까지 그의 집에서 살았습니다.^[7]

1821년 여름, 장남 조지프는 여전히 남학생이었던 아버지의 설문조사 캠페인을 보조로 도왔습니다. 대학에서 잠시 후 1824년 요셉은 하노버 군대에 입대하여 1829년 다시 측량을 도왔습니다. 1830년대에 그는 왕국의 서쪽 지역으로 측량 네트워크를 확장하는 일을 담당했습니다. 지리학적 자격을 갖춘 그는 서비스를 떠나 왕립 하노버 주 철도국의 국장으로서 철도 네트워크 건설에 참여했습니다. 1836년에 그는 몇달동안 미국의 철도 시스템을 공부했습니다.^[41][d]

외젠은 1830년 9월 괴팅겐을 떠나 미국으로 이주하여 5년간 군에 입대했습니다. 그는 중서부에 있는 American Fur Company에서 일했고 그곳에서 수어를 배웠습니다. 나중에, 그는 미주리로 이사했고 성공한 사업가가 되었습니다.^[41] 빌헬름은 천문학자 베셀의 조카와 결혼하여 1837년 미주리주로 이주하여 ^[44]농부로 시작하여 나중에 세인트에서 신발 사업을 하며 부유해졌습니다. 루이.^[45] 유진과 윌리엄은 미국에 수많은 후손이 있지만, 독일에 남겨진 후손들은 모두 요셉에게서 파생된 것인데, 가우스의 딸들은 자식이 없었기 때문입니다.^[41]

성격

선비.

18세기 말 독일의 학문 수학은 프랑스를 비롯한 유럽 각국에서 활동하는 등 형편이 좋지 않았습니다.^[e] 수학적 주류는 주로 역학, 천문학, 측지학 등의 실제적인 문제를 해결하는 것을 다루었습니다.^[47] 이러한 과학적 환경에서 가우스는 펠릭스 클라인의 뒤를 이어 18세기와 19세기 수학자들의 전형으로 볼 수 있습니다. 예를 들어 측지학과 천문학과 같은 실용적인 응용 가능성에 대한 그의 관심은 가우스가 계몽주의 세기의 전형적인 응용 수학자로 간주될 수 있는 자격을 갖추었습니다. 반면에 그는 실용적인 목적에 대한 명확한 연결 없이 수학의 수많은 부분에서 연구를 시작했고, 따라서 나중에 "순수 수학"이라고 불리는 것의 선구자로서 자신을 보여주었습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Ouler)와 같은 초기 수학자들이 새로운 아이디어를 개발하고 올바른 경로에서 특정한 잘못된 편차를 포함하면서 독자들이 추론에 참여하도록 한 것과는 대조적으로, 가우스는 독자에게 작가의 사고 방식을 보여주려고 시도하지 않은 새로운 스타일의 직접적이고 완전한 설명을 개발했습니다.^[48][49]

"고우스는 우리가 고대에 존경하고 새로운 발전에 대한 이전 시대의 독점적인 관심에 의해 부당하게 배후로 강요되었던 시위의 엄격함을 회복한 최초의 사람이었습니다."^[50]

그러나 그 자신을 위해, 그는 파르카스 볼랴이에게 보낸 편지에서 다음과 같이 주어진 상당히 다른 이상을 전파했습니다.^[51]

그것은 지식이 아니라 배움의 행위, 소유가 아니라 그곳에 도달하는 행위이며, 이는 가장 큰 즐거움을 부여합니다. 내가 어떤 주제를 명확히 하고 지쳤을 때, 나는 그것을 외면하고, 다시 어둠 속으로 들어갑니다.

— Dunnington 2004, p. 416

가우스는 그가 완전하고 비판 이상이라고 생각하지 않는 작품을 출판하기를 거부했습니다. 이러한 완벽주의는 그의 개인 도장 파우세드 마투라(Paucaed Matura, "적지만 익은")의 모토와 일치했습니다. 그의 개인 일기는 동시대 사람들이 그것들을 출판하기 몇 년 또는 몇 십 년 전에 그가 여러 번 수학적 발견을 했다는 것을 나타냅니다. 그는 동료들에게 새로운 아이디어를 글로 내려보냈는데, 동료들은 그들에게 출판을 권했고, 때로는 그들이 생각하기에 너무 오래 망설이면 꾸짖기도 했습니다. 가우스(Gauss)는 아이디어의 초기 발견은 쉬웠지만 출판 가능한 정교함을 준비하는 것은 시간 부족이나 "마음의 평온" 때문에 그에게 까다로운 문제였다고 주장하며 자신을 옹호했습니다.^[52] 그럼에도 불구하고 그는 여러 저널에 긴급한 내용의 짧은 통신을 많이 실었지만, 그의 "집필 작품"에는 상당한 문학적 유산도 포함되어 있습니다.^[53][54] 에릭 템플 벨(Eric Temple Bell)은 가우스가 모든 발견을 적시에 발표했다면 수학을 50년이나 발전시켰을 것이라고 말했습니다.^[55] 가우스는 수학을 "과학의 여왕"이라고 부르고 산술을 "수학의 여왕"이라고 불렀으며,^[56] 한때 일류 수학자가 되기 위한 기준으로서 오일러의 정체성을 즉시 이해할 필요성에 대한 믿음을 지지한 것으로 추정됩니다.^[57]

가우스는 어떤 경우에는 다른 학자가 발표한 연구 결과가 이미 이전에 그의 소유였다고 주장했습니다. 따라서 "최초로 발견한 것이 아니라 최초로 발견한 것"이라는 그의 우선순위 개념은 그의 과학적 동시대의 것과 다릅니다.^[58] 수학적 발상을 제시하는 데 있어 완벽주의를 보이는 것과 달리, 그의 어록이 소홀하다는 비판을 받았습니다. 그는 올바른 인용에 대한 매우 특별한 견해로 자신을 정당화했습니다: 만약 그가 중요한 이전의 저자들에 대해 언급했다면, 그것은 그 누구도 무시해서는 안 되는 매우 완전한 방식으로만; 그러나 이러한 방식으로 인용하는 것은 과학의 역사에 대한 지식과 그가 쓰고 싶어했던 것보다 더 많은 시간이 필요했습니다.^[52]

가우스는 공리적 표현의 대가로 여겨지지만, 사후에 발표된 논문과 일기, 그리고 자신의 교과서에 있는 짧은 용어를 통해 그가 경험적인 방식으로 크게 작업했다는 것이 명백해졌습니다. 가우스는 평생 바쁘고 열정적인 계산기였는데, 그는 대부분 정밀한 통제 없이 비상한 속도로 계산을 했지만, 숙달된 추정으로 결과를 확인했습니다. 그럼에도 불구하고, 특히 측지학과 천문학에서 그의 계산에는 항상 실수가 없는 것은 아니었습니다.^[59] 그는 능숙한 도구를 사용하여 엄청난 업무량에 대처했습니다.^[60] 가우스는 수학표를 많이 사용했고, 그 정확성을 조사했으며, 개인적으로 사용할 수 있는 다양한 사항에 대한 새로운 표를 만들었습니다.^[61] 그는 가우스 제거와 같은 효과적인 계산을 위한 새로운 도구를 개발했습니다. 그가 요구되는 것보다 훨씬 더 높은 정밀도로 계산을 수행했다는 것이 그의 작업 스타일의 기이한 특징으로 받아들여졌습니다.^[62] 아마도 이 방법은 그에게 수론에서 정리를 찾는 데 사용한 많은 자료를 주었을 것입니다.^[60]

그의 가까운 동료들에게 가우스가 학술 강의를 하는 것을 싫어한다는 것은 잘 알려져 있었습니다. 그는 1802년에 올베르스에게 처음으로 이런 말을 했으므로, 이런 혐오감은 나쁜 경험의 결과가 아니었습니다. 그리하여 그는 사학자 시절에 교무와 관련된 어떤 학문적 입장도 받아들이지 않았습니다. 그러나 1807년 괴팅겐에서 학업을 시작한 이래 1854년까지 지속적으로 강의를 했습니다.^[63] 그는 가르치는 것이 시간 낭비라는 느낌을 받으며 부담감을 호소할 때가 많았습니다. 반면에 그는 때때로 한 학생이나 다른 학생을 재능이 있다고 묘사했습니다. 이 47년 동안 그는 순수 수학을 주제로 세 번의 강의를 했을 뿐인데 반해, 그의 강의는 대부분 천문학, 측지학, 응용 수학을 다루었습니다. Some of Gauss' students went on to become renowned mathematicians, physicists, and astronomers: Moritz Cantor, Dedekind, Dirksen, Encke, Gould,^[f] Heine, Klinkerfues, Kupffer, Listing, Möbius, Nicolai, Riemann, Ritter, Schering, Scherk, Schumacher, Seeber, von Staudt, Stern, Ursin; as geoscientists Sartorius von Waltershausen and Wappäus.^[65]

가우스는 어떤 교과서도 쓰지 않았고, (그의 친구 베셀, 훔볼트, 올버스와는 달리) 과학적인 문제들이 대중화되는 것을 싫어했습니다. 대중화를 위한 그의 유일한 시도는 부활절^[66] 날짜의 그의 작품들과 1836년 자력계에 관한 에세이인 에르드마그네티누스입니다.^[52] 가우스는 라틴어 또는 독일어로만 논문과 책을 출판했습니다.^[g] 그는 라틴어를 단지 고전적인 스타일로 썼지만, 현대 수학자들이 설정한 관습적인 수정을 사용했습니다.^[68]

괴팅겐 대학에서 가우스는 자신의 분야에서 다른 강사들과 함께 교육 프로그램을 이수했습니다. 예를 들어 수학의 뛰어난 티보, 성공적인 교재로 잘 알려진 물리학의 베버와 메이어, 천문학 강의의 주요 부분을 맡은 하딩. 천문대가 완성되었을 때 가우스는 새로운 천문대의 서쪽 날개에, 하딩은 동쪽 날개에 거주하는 숙소를 잡았습니다. 한때 그들은 다른 사람과 우호적인 관계를 유지했지만, 시간이 지나면서 그들은 아마도 일부 전기 작가들이 추정하듯이 소외당하게 되었습니다. 왜냐하면 가우스는 동등한 순위의 하딩이 그의 조수나 관찰자에 지나지 않기를 원했기 때문입니다.^[h] 1820년 이후의 세월은 "천문 활동이 더 낮은 기간"으로 평가되었습니다.^[70] 시설이 잘 갖춰진 새로운 천문대는 다른 천문대들만큼 효과적으로 작동하지 않았습니다. 가우스의 천문학 연구는 1인 기업의 성격을 가지고 있었고, 대학은 1834년 하딩이 죽은 후에야 조수를 위한 자리를 마련했습니다. 그럼에도 불구하고 가우스는 1810년과 1825년에 베를린으로부터 프로이센 아카데미의 정식 회원이 되겠다는 제안을 강의 업무에 부담을 주지 않고, 1810년에 라이프치히 대학에서, 1842년에 빈 대학에서 두 차례나 수락함으로써 문제를 해결할 기회를 거부했습니다. 아마도 그의 가족의 어려운 상황이 원인이었을 것입니다.^[69] 말년에 가우스는 대학에서 가장 보수가 좋은 교수 중 한 명이었습니다.^[41]

1810년에 그의 동료이자 친구인 프리드리히 빌헬름 베셀이 도움을 요청했을 때,^[i] 그는 1811년 3월에 괴팅겐 철학과에서 베셀에게 박사 학위를 제공했습니다. 가우스(Gauss)는 소피 제르맹(Sophie Germain)을 위해 명예 학위를 한 번 더 추천했지만, 그녀가 사망하기 직전이었기 때문에 그녀는 그것을 받지 못했습니다.^[71] 그는 또한 베를린에서 재능 있는 수학자 고트홀트 아이젠슈타인을 성공적으로 지원했습니다.^[72]

가우스는 학문 행정에 참여했습니다: 그는 철학 교수회의 학장으로 세 번 선출되었습니다.^[73] 대학의 미망인 연금기금을 위탁받아 보험수리학을 다루며 급여 안정화 전략에 대한 보고서를 작성했습니다. 그는 인생의 마지막 해에도 9년 동안 괴팅겐 왕립과학원의 원장으로 임명되었습니다.^[73]

일병이.

가우스가 죽은 직후, 그의 친구 사르토리우스는 다소 열광적인 스타일로 쓰여진 최초의 전기(1856)를 출판했습니다. 사르토리우스는 가우스를 아이처럼 겸손하면서도 ^[74]흔들리지 않는 정신력을 가진 "철인적인 성격"^[75]의 침착하고 앞으로 나아가는 사람으로 보았습니다.^[76] 그는^[77] 정의감과 종교적 관용으로 유명했습니다.^[78] 그의 가까운 사람들을 제외하고, 다른 사람들은 그를 "과학의 정상에 왕좌에 앉은 올림픽 선수처럼" 유보적이고 접근할 수 없는 사람으로 여겼습니다.^[79] 그의 가까운 동시대 사람들은 가우스가 어려운 성격을 가진 사람이라는 것에 동의했습니다. 그는 종종 칭찬을 거절했습니다. 그의 방문객들은 때때로 심술궂은 행동으로 짜증을 냈지만, 얼마 지나지 않아 그의 기분은 바뀔 수 있었고, 그는 매력적이고 개방적인 진행자가 되었습니다.^[52]

가우스의 삶은 그의 가족의 심각한 문제들로 인해 가려졌습니다. 그의 첫 번째 부인 요한나가 셋째 아이의 죽음 직후 갑자기 죽자, 그는 완전히 회복되지 못한 우울증에 빠졌습니다. 그녀가 죽은 지 얼마 되지 않아 그는 그녀에게 가장 개인적으로 남아있는 가우스의 문서인 고대 3중주 양식으로 마지막 편지를 썼습니다.^[80][81] 결핵이 13년에 걸쳐 그의 두 번째 부인 민나의 건강을 악화시키고 궁극적으로 파괴하면서 상황은 악화되었습니다. 그의 두 딸은 나중에 같은 병을 앓았습니다.^[82] 두 어린 아들 모두 괴팅겐에서 멀리 떨어진 셀레에서 몇 년 동안 교육을 받았습니다. 가우스 자신은 1831년 12월 베셀에게 보낸 편지에서 자신을 "최악의 가정적 고통의 희생자"라고 묘사했습니다.^[52]

가우스는 그의 아이들을 지배하게 되었고 결국 그의 아들들과 갈등을 겪었습니다. 그는 그들 중 누구도 "성을 낮추는 것에 대한 두려움" 때문에 수학이나 과학에 들어가는 것을 원하지 않았기 때문에, 그들 중 누구도 그의 업적을 능가하지 못할 것이라고 믿었기 때문입니다. 그의 큰 아들 요셉의 군 생활은 비록 측지학에 대한 상당한 지식을 얻었지만, 보수가 낮은 소위의 계급으로 20년 이상 만에 끝났습니다. 그는 결혼한 후에도 아버지의 경제적 지원이 필요했습니다.^[41] 차남 유진(Eugen)은 가우스의 컴퓨터와 언어에 대한 재능을 잘 보여주었지만, 활기차고 때로는 반항적인 성격을 가졌습니다. 그는 문헌학을 공부하고 싶었지만 가우스는 그가 변호사가 되기를 원했습니다. 빚더미에 올라 세간에 파문을 일으킨 ^[83]그는 1830년 9월 극적인 상황에서 갑자기 괴팅겐을 떠나 브레멘을 거쳐 미국으로 이민을 갔습니다. 그는 창업을 위해 가져간 적은 돈을 낭비했고, 그 후 그의 아버지는 더 이상의 재정적 지원을 거부했습니다. 막내아들 빌헬름은 농업행정 자격을 원했지만, 적절한 교육을 받기 어려워 이민도 갔습니다. 그의 말년에는 가우스의 막내딸 테레즈만 동행했습니다.^[39]

유용하든 쓸모없든 매우 다른 것들에 대한 수치 데이터를 수집하는 것은 말년에 습관이 되었습니다. 예를 들어, 그의 집에서 괴팅겐의 특정한 장소로 가는 길의 수 또는 사람들의 살아있는 날의 수. 그는 1851년 12월 훔볼트가 죽을 때 아이작 뉴턴과 같은 나이에 도달했을 때 그를 축하했습니다. 일 ^[84]단위로 계산한

라틴어에 대한 그의 뛰어난 지식과 비슷하게 그는 현대 언어에도 익숙했습니다. 62세에 그는 러시아어를 독학하기 시작했는데, 그 중에서도 비유클리드 기하학에 관한 로바체프스키의 것을 이해할 가능성이 매우 높았습니다.^[85] 가우스는 고전 문학과 현대 문학, 영어와 프랑스어를 모두 원어로 읽었습니다.^[j] 그가 가장 좋아하는 영국 작가는 그가 가장 좋아하는 독일인 장 폴인 월터 스콧이었습니다.^[87] 가우스는 노래를 좋아했고 콘서트에 갔습니다.^[88] 그는 신문을 읽는 바쁜 사람이었고, 말년에는 매일 정오에 대학의 학술 언론 살롱을 방문하곤 했습니다.^[89] 가우스는 철학에 별로 관심이 없었고, 그가 의미하는 "소위 형이상학자들의 갈라진 머리"를 조롱했는데, 이는 그가 동시대의 나투르 철학 학파의 지지자들을 의미했습니다.^[90]

가우스는 "문두스 불트 데시피"라는 모토에 따라 사람들의 지성과 도덕을 거의 존중하지 않는 "귀족적이고 보수적인 성격"을 가지고 있었습니다. 그는 나폴레옹과 그의 체제를 싫어했고, 모든 종류의 폭력과 혁명은 그에게 공포를 주었습니다. 그래서 그는 1848년 혁명의 방법들을 비난했지만, 통일된 독일의 생각과 같은 그들의 목적들 중 일부에 동의했습니다.^[75][k] 정치제도에 관한 한, 그는 헌법제도에 대한 낮은 평가를 받았습니다; 그는 지식의 부족과 논리적 오류 때문에 그의 시대의 국회의원들을 비난했습니다.^[89]

가우스는 하노버 왕가에 충성했습니다. 1837년 윌리엄 4세가 사망한 후, 영국과 아일랜드 왕국과 하노버 왕국 사이의 개인적인 연합은 중단되었습니다. 같은 해, 새로운 하노버 왕 어니스트 아우구스투스는 1833년 그의 형에 의해 국가에 주어진 헌법을 무효화했습니다. 이에 대해 훗날 '괴팅겐 세븐'으로 알려진 저명한 교수 7명이 항의했는데, 그 중 가우스의 친구이자 협력자인 빌헬름 베버와 가우스의 사위 하인리히 에발트가 이에 반발했습니다. 그들은 모두 해고되었고, 그 중 세 명은 추방되었지만, 에발트와 베버는 괴팅겐에 머물 수 있었습니다. 에발트는 1838년 튀빙겐 대학교에 입학하여 1840년에 가우스의 딸 빌헬미나가 사망하고, 베버는 1843년 라이프치히 대학교에 입학하여 1849년에 괴팅겐 7인 중 유일하게 괴팅겐 자리에 복귀했습니다. 가우스는 이 다툼에 깊은 영향을 받았지만 그들을 도울 수 있는 가능성을 보지 못했습니다.^[91]

가우스의 종교적 신념은 몇몇 전기 작가들에 의해 추측의 대상이 되어 왔습니다. 그는 때때로 이렇게 말했습니다: "하나님은 계산을 하고 계십니다."^[92] 그리고 "저는 성공했습니다 - 저의 노력 때문이 아니라 주님의 은혜로."^[93] 가우스는 북부 독일의 대부분의 인구와 마찬가지로 루터 교회의 일원이었습니다. 모든 교의를 믿거나 성경을 문자 그대로 진실로 이해하지는 못한 것 같습니다.^[94] 사르토리우스는 가우스의 종교적 관용을 언급하며, 그의 "진실에 대한 만족할 수 없는 갈증"과 그의 정의감을 종교적 신념에 의한 동기로 추정했습니다.^[78]

가우스는 성공적인 투자자였고 주식과 증권으로 상당한 부를 축적했지만, 그는 지폐의 개념을 부정했습니다.^[95] 그가 죽은 후에 그의 방에서 많은 돈이 숨겨져 있는 것이 발견되었습니다.^[96]

과학적 작업

대수와 수론

대수의 기본 정리

가우스는 1799년 박사 논문에서 복소수 계수를 갖는 모든 일정하지 않은 단일 변수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다는 대수의 기본 정리를 증명했습니다. 장 르 론드 달랑베르를 비롯한 수학자들은 그보다 먼저 거짓 증명을 내놓았고, 가우스의 논문에는 달랑베르의 연구에 대한 비판이 담겨 있습니다. 그는 그 후 3개의 다른 증명들을 내놓았는데, 1849년의 마지막 증명은 대체로 엄격했습니다. 그의 시도는 그 과정에서 복소수의 개념을 상당히 명확하게 했습니다.^[97]

이산화산학

가우스의 수학 일기의 항목들은 그가 적어도 1796년 이래로 정수론이라는 주제로 바빴다는 것을 나타냅니다. 이전의 연구들에 대한 상세한 연구는 그가 발견한 것들 중 일부가 이미 다른 학자들에 의해 행해졌다는 것을 보여주었습니다. 1798년과 1799년에 가우스는 1801년에 출판된 유명한 디스퀴지션 산술에 이 모든 결과를 방대하게 정리한 책을 썼는데, 이 책은 수론을 학문으로 통합하는 데 기본이 되었고, 기본적이고 대수적인 수론을 모두 다루었습니다. 거기서 그는 무엇보다도 합동을 위한 삼중 막대 기호(≡)를 소개하고 모듈식 산술의 깨끗한 표현에 사용합니다. 독특한 인수분해 정리와 원시 근 모듈론을 다룹니다. 주요 장에서 가우스는 수학자들이 모듈식 산술에서 임의의 이차 방정식의 풀이 가능성을 결정할 수 있는 이차 상호성 법칙의 처음 두 가지 증명을 제시하고 이진 및 삼차 이차 형식 이론을 발전시킵니다.^{[citation needed]}

이 이론의 하이라이트는 이진 이차 형식에 대한 가우스 구성 법칙과 정수의 표현 수를 세 제곱의 합으로 열거한 것입니다. 세 개의 정사각형에 대한 자신의 정리의 거의 즉각적인 결과로서, 그는 n = 3에 대한 페르마 다각형 수 정리의 삼각형 사례를 증명합니다. 5장이 끝날 무렵 가우스가 증명 없이 제시한 계급수에 대한 여러 분석 결과를 보면, 가우스는 1801년에 이미 계급수 공식을 알고 있었던 것으로 보입니다.^[98]

마지막 장에서 가우스는 이 기하학적 문제를 대수적 문제로 줄임으로써 직선과 나침반을 가진 정7각형(17면 다각형)의 구성 가능성에 대한 증거를 제시합니다. 그는 변의 수가 페르마 소수와 2의 거듭제곱의 곱이라면 정다각형은 구성 가능하다는 것을 보여줍니다. 같은 장에서 그는 유한장에서 계수를 갖는 특정 입방 다항식의 해의 수에 대한 결과를 제공하는데, 이는 타원 곡선의 적분점을 세는 것에 해당합니다. 약 150년 후, 안드레 바일(Andre Weil)은 이 특정 결과가 가우스(Gauss)의 다른 출판되지 않은 결과와 함께 그가 오늘날 바일 추측이라고 불리는 것을 공식화하게 했다고 말했습니다.^[99][l]

가우스(Gauss)는 모듈로(modulo)라는 상위 합집합에 대한 주제를 전체 일반성에서 소수로 다루는 8장을 포함하려고 했는데, 미완성된 장은 그가 죽은 후에야 그의 논문 중에서 발견되었으며, 이는 1797-1799년 동안 수행된 작업으로 구성되었습니다.^[101][102]

추가조사

1831년 루트비히 아우구스트 시버(Ludwig August Seeber)는 가우스의 디스퀴지션(Gauss's Disquisitions)에 요약된 프로그램에 따라 ^[103]양의 3차 이차 형식의 감소 이론에 대한 책을 출판했습니다. 그러나, 그는 그의 이론의 중심 정리를 증명하지 못했고, 그래서 그것은 단지 추측에 머물렀습니다. 가우스는 시버의 책에 대한 리뷰에서 시버의 긴 주장 중 많은 것을 단순화하고 이 중심 추측을 증명했으며 이 정리는 규칙적인 배열에 대한 케플러 추측과 동일하다고 말했습니다.^[104]

가우스는 출판되지 않은 글에서 n=3에 대한 페르마의 마지막 정리를 증명했고, n=5에 대해 스케치적으로 증명했습니다. n = 3의 특별한 경우는 레온하르트 오일러에 의해 훨씬 이전에 증명되었지만, 가우스는 아이젠슈타인 정수를 사용하는 더 단순한 증명을 개발했습니다. 비록 더 일반적이지만, 증명은 실제 정수의 경우보다 더 간단했습니다.

2차 잔사에 대한 두 가지 중요한 논문(1828년과 1832년 발표)에서 가우스는 가우스 정수 Z ${\displaystyle [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]$의 고리를 소개하고$,$ 이 고리가 고유한 인수분해 영역임을 보여줍니다. 그는 페르마의 작은 정리와 가우스의 보조정리와 같은 많은 주요 산술 개념을 이 고리에 일반화합니다. 이 고리를 도입한 주요 목적은 2차 상호성의 법칙을 공식화하는 것이었습니다. 가우스가 발견한 바와 같이 복소수의 고리는 더 높은 상호성의 법칙에 대한 자연스러운 설정입니다.^{[citation needed]}

두 번째 논문에서 그는 2차 상호성의 일반 법칙을 언급하고 그에 대한 몇 가지 특별한 경우를 증명하지만, 1814년경에 그러한 증명을 발견했다는 가우스의 진술에도 불구하고 일반 정리에 대한 증명은 부족합니다. 그는 단 한 번도 등장하지 않은 일반적인 증명이 있는 제3의 논문을 약속했습니다. 그의 다섯 번째와 여섯 번째 이차 상호성의 증명을 포함하는 1818년의 이전 출판물에서, 그는 이러한 증명의 기술(가우스 합)이 더 높은 상호성 법칙을 증명하는 데 적용될 수 있다고 주장합니다.^{[citation needed]}

2차 잔여물에 대한 가우스의 출판물은 수론의 무한한 확장을 위한 길을 열었고, 그들이 이끈 "고등 산술"의 풍부한 조사로 기억에 남습니다.^{[citation needed]}

분석.

가우스의 최초의 독립적인 발견 중 하나는 두 개의 양의 실수에 대한 산술-기하 평균(AGM)의 개념이었습니다. AGM에 대한 그의 체계적인 조사는 그가 비정상적으로 풍부한 수학적 풍경을 발견하게 하고 그것과 관련된 많은 새로운 결과를 얻도록 이끌었습니다.^[105] 그는 1798년에서 1799년 사이에 란덴의 변환을 통해 타원 적분과의 관계를 발견했으며, 일기 항목에서 가우스의 상수와 렘니스카틱 타원 함수의 연관성에 대한 그의 발견을 기록했으며, 그 결과 가우스는 "분명히 새로운 분석 영역을 열 것"이라고 말했습니다.^[106] 그는 또한 복소해석학의 기초에 관한 보다 공식적인 문제들에 일찍 뛰어들었고, 1811년 베셀에게 보낸 편지에서 그가 "복소해석학의 근본 정리" - 코시의 적분 정리 - 를 알고 있었고 극 주위에 적분할 때 복소잔류의 개념을 이해했다는 것은 분명합니다.^[m]

가우스의 초기 분석 작업에 영감을 준 또 다른 원천은 오일러의 오각수 정리를 잘 알고 있었기 때문입니다. 이 정리는 AGM과 렘니스카틱 함수에 대한 그의 다른 연구들과 함께 자코비 세타 함수에 대한 많은 결과로 이어졌는데, 이 연구는 1808년에 오일러의 정리를 특별한 경우로 포함하는 자코비 삼중곱 항등식을 발견하면서 절정에 달했습니다.^[107] 가우스는 1811년에 발표한 2차 가우스 합의 부호 결정에 관한 논문에서 가우스 이항 계수를 도입하고 나중에 수학자들이 보여주듯이 세타 함수 이론에서 어떻게든 그 기원을 "숨기는" 추론 라인을 사용하여 문제를 해결했습니다. 이 모든 작업은 1829년 자코비의 "Fundamenta nova"가 출판되기 수십 년 전에 이루어졌습니다. 그러나 가우스는 이런 종류의 모든 생각과 정리를 체계적으로 쓰고 정리할 시간을 찾지 못했고, 그의 동시대 사람들은 그의 작업 범위를 결코 알지 못했습니다.^{[citation needed]}

그의 Nachlass에 있는 여러 수학 조각들은 그가 Felix Klein과 Robert Fricke의 모듈 형태에 대한 현대 이론의 부분들을 꽤 잘 알고 있다는 것을 나타냅니다. 그는 두 복소수의 다중값 AGM에 대한 연구에서 AGM의 무한히 많은 값과 AGM의 두 "가장 단순한 값" 사이의 매우 깊은 연관성을 발견했습니다.^[108] 그의 출판되지 않은 글에는 이론의 기하학적 측면을 잘 알고 있었다는 것을 보여주는 여러 그림이 포함되어 있습니다. 복잡한 AGM에 대한 작업의 맥락에서 그는 모듈 그룹의 기본 영역에 대한 핵심 개념을 인식하고 스케치했습니다.^[n] 가우스의 스케치 중 하나는 모든 각도가$$π / 4${\displaystyle$\pi/4}와 동일한 "등변" 쌍곡 삼각형에 의한 단위 디스크의 테셀레이션을 그린 것입니다.

가우스는 일생 동안 타원함수에 대한 현대 이론에 대해 거의 아무것도 발표하지 않았지만, 초기하학 함수에 대한 관련 주제에 대해 대부분의 결과를 발표했습니다. 그의 작품 "Disquisitions generales arc a series infinitam..."(1812)에서, 그는 일반적인 초기하학 $함수$ F${\displaystyle (\alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$γ, x) ${\displaystyle$ F$(\alpha,\beta,\gamma$x)}에 대한 최초의 체계적인 처리를 제공했고, 당시 과학자들에게 알려진 많은 함수들이 기본 함수 및 일부 특수 함수와 같은 것은 초기하학 함수의 특수한 경우입니다.^[109] 이 연구는 수학사에서 무한급수의 수렴에 대한 정확한 탐구를 한 최초의 연구였습니다.^[110] 또한 초기하학 함수의 비율로 발생하는 무한 연속 분수(현재는 가우스 연속 분수라고 함)를 다룹니다.

1822년 가우스는 복잡한 분석 분야와 관련된 몇 가지 발전 사항을 포함하는 등각 매핑에 대한 수상 에세이를 출판했습니다. 이 논문에서 가우스는 복소평면에서의 각도 보존 매핑이 복소해석함수여야 한다는 통찰을 분명히 하였고, 해석면에서의 등온좌표의 존재를 증명하기 위해 후에 벨트라미 방정식이라고 불리는 것을 사용했습니다. 이 에세이는 구체와 혁명의 타원체에 대한 등각 매핑의 예로 마무리됩니다. 또한 1834-1839년의^[p] 미발표 단편에서 타원의 내부에서 단위 디스크로 컨포멀 매핑을 명시적으로 구성하는 더 어려운 작업을 조사하고 해결했습니다.^[111] 타원함수에 대한 그의 초기 연구와 퍼텐셜 이론에 대한 그의 후기 아이디어를 결합한 그의 해결책은 로그 퍼텐셜 이론에 대한 그의 숙달을 드러냈고, 그의 최종 결과는 1870년 헤르만 슈바르츠가 발견한 공식과 일치했습니다.^[112]

수치해석

가우스는 종종 경험적인 방법으로 수집한 수치 데이터에서 귀납적으로 정리를 추론했습니다. 따라서 계산을 용이하게 하기 위해 효율적인 알고리즘을 사용하는 것은 그의 연구에 필수적이었고, 그는 수치 분석에 많은 기여를 했습니다. 1815년에 그는 숫자 적분에 관한 논문을 발표했는데, 그는 가우스 직교법을 설명하여 기존의 방법을 개선하고 후대의 수학자들이 만든 연구의 많은 부분에 영감을 주었습니다.^{[citation needed]}

1823년부터 겔링에게 보낸 사적인 편지에서 ^[113]그는 가우스-사이델 방법을 사용하여 선형 시스템의 해에 대한 "간접적인" 반복 방법을 사용하여 선형 방정식의 특정 4X4 시스템의 해를 설명했는데, 어떤 경우에는 정확한 해로 매우 빠르게 수렴합니다. 가우스(Gauss)는 2개 이상의 방정식 시스템에 대해 일반적인 방법("직접 제거"라고 함)보다 이 방법을 권장하면서 "잠을 덜 자고 있을 때 또는 다른 것을 생각할 때" 할 수 있다고 말했습니다.^[114] 이와 같이 수치 선형 대수학에 대한 초기 공헌이었습니다.^{[citation needed]}

가우스는 1805년 팔라스와 주노의 궤도를 계산할 때, 때때로 "우리 생애에서 가장 중요한 수치 알고리즘"이라고 불리는 이산 푸리에 변환을 계산하는 알고리즘을 발명했습니다.터키 FFT 알고리즘.^[115] 그는 삼각 보간법으로 개발했지만, 그의 논문 오리아 보간법은 1866년에야 사후에 발표되었고,^[116] 1807년 조지프 푸리에가 이 주제에 대해 처음 발표했습니다.^[117]

연표

박사 논문 다음의 첫 번째 출판물은 수학의 매우 기초적인 문제인 부활절 날짜의 결정을 다루었습니다. 가우스는 기독교적이거나 심지어 천문학적 연대에 대한 지식이 전혀 없는 사람들을 위해 가장 편리한 알고리즘을 제시하는 것을 목표로 삼았고, 따라서 황금 숫자, 에팩트, 태양 주기, 가정적인 편지, 그리고 어떤 종교적인 의미와 같은 일반적으로 요구되는 용어들을 피했습니다.^[118] 전기 작가들은 가우스가 이 문제를 다룬 이유에 대해 추측했지만, 역사적 배경으로 이해할 수 있을 것 같습니다. 율리우스력이 그레고리안력으로 대체되면서 16세기 이후 신성 로마 제국의 수백 개 주에 혼란이 생겼고, 독일에서는 11일의 차이가 삭제된 1700년이 되어서야 완성되었습니다. 하지만 부활절 날짜를 계산하는 데 있어서의 차이는 개신교 영토와 가톨릭 영토 사이에 남아 있었습니다. 1776년의 추가 합의는 고백적인 셈법을 동등하게 만들었고, 따라서 1777년 브런즈윅 공국과 같은 개신교 국가에서는 가우스가 태어나기 5주 전인 1777년 부활절이 새로운 방식으로 계산된 첫 번째 방법이었습니다.^[119] 교체의 대중적 어려움이 가우스 가문에서 이 문제에 대한 혼란의 역사적 배경이 될 수 있습니다(장: 참조). 일화. 부활절 규정과 관련이 있기 때문에 1802년 페사흐의 날짜에 대한 에세이가 곧 이어졌습니다.^[120]

천문학

1801년 1월 1일, 이탈리아 천문학자 주세페 피아치는 왜소행성 세레스를 발견했습니다.^[121] 피아치는 태양의 눈부신 빛 뒤에서 일시적으로 사라질 때까지 밤하늘을 가로질러 전체 궤도의 1% 미만인 3도 동안 세레스를 추적하는 데 불과 한 달 이상밖에 걸리지 않았습니다. 몇 달 후, 세레스가 다시 나타났어야 했을 때, 피아치는 그것을 찾을 수 없었습니다: 당시의 수학 도구들은 그렇게 적은 양의 데이터로부터 위치를 추정할 수 없었습니다. 가우스는 치열한 작업 끝에 3개월 만에 문제를 해결했고, 1801년 12월에 세레스의 자리를 점쳤습니다. 이것은 12월 7일에 프란츠 자베르 폰 자흐가 고타에서 재발견하고, 1월 1일에 브레멘에서 하인리히 올베르스가 독립적으로 재발견했을 때 반 도 내에서 정확한 것으로 밝혀졌습니다.^[122][q] 이 확인은 결국 세레스를 소행성 지정 1 세레스로 분류하는 계기가 되었는데, 이는 가장 추측이 많은 티티우스-보데 법칙에 의해 화성과 목성 사이의 예측 행성으로 받아들여졌습니다.^[14]

가우스의 방법은 하나의 초점(태양)과 세 개의 주어진 선(지구에서 오는 시선, 즉 타원 위에서 움직이는 것)과 원뿔의 교차점이 주어졌을 때, 우주에서 원뿔의 단면을 결정하는 것을 포함합니다. 행성으로) 그리고 행성이 이 선들에 의해 결정된 호들을 통과하는 데 걸리는 시간이 주어집니다 (이로부터 호들의 길이는 케플러 제2법칙에 의해 계산될 수 있습니다). 이 문제는 8도 방정식으로 이어지는데, 그 중 하나의 해결책인 지구의 궤도가 알려져 있습니다. 그런 다음 추구하는 해결책은 물리적 조건에 따라 나머지 6개와 분리됩니다. 이 작업에서 가우스는 그 목적을 위해 만든 포괄적인 근사 방법을 사용했습니다.^[123]

세레스의 발견으로 가우스는 큰 행성에 의해 교란된 행성체의 운동에 대한 이론을 연구하게 되었고, 결국 1809년에 sectionibus conicis solem antimbientum에서 Oryia motus corporum coelestium으로 출판되었습니다. 그 과정에서 그는 18세기 궤도 예측의 번거로운 수학을 너무 간소화해서 그의 연구는 천문학적 계산의 초석으로 남아 있습니다.^[124] 가우스 중력 상수를 도입했습니다.^{[citation needed]}

새로운 소행성들이 발견된 이후, 가우스는 그들의 궤도 요소들의 섭동에 몰두했습니다. 먼저 그는 라플라스와 비슷한 분석 방법으로 세레스를 조사했지만, 그가 가장 좋아하는 천체는 팔라스였는데, 이는 이심률과 궤도 경사가 커서 라플라스의 방법이 통하지 않았기 때문입니다. 가우스는 산술-기하학 평균, 초기하학 함수, 그리고 그의 보간 방법을 자신의 도구로 사용했습니다.^[125] 그는 1812년에 목성과의 궤도 공명을 18:7 비율로 발견했습니다. 가우스는 이 결과를 암호로 발표했고, 올버스와 베셀에게 보내는 편지에서만 명시적인 의미를 부여했습니다.^{[126][127][r]} 오랜 세월의 작업 끝에 그는 1816년에 충분해 보이는 결과 없이 그것을 마쳤습니다. 이것은 그의 이론 천문학 활동의 마지막을 장식하기도 했습니다.^[129]

팔라스 섭동에 대한 가우스의 연구 결과 중 하나는 그의 논문 Determinatio Attractionis... (1818) 이론 천문학의 방법에 관한 것으로, 후에 "ellip 고리 방법"으로 알려지게 되었습니다. 이 방법은 궤도에 있는 행성이 해당 궤도 호를 따라가는 데 걸리는 시간에 비례하는 질량 밀도를 가진 가상의 고리로 대체되는 유용한 평균 개념을 도입했습니다.^[130] 가우스는 몇 가지 복잡한 단계를 포함하는 그러한 타원 고리의 중력 인력을 평가하는 그의 방법을 제시합니다. 그러한 단계 중 하나는 타원 적분을 계산하기 위해 산술-기하 평균(AGM) 알고리즘을 직접 적용하는 것을 포함합니다.^[s] 19세기 후반 가우스의 방법은 미국 천문학자 조지 윌리엄 힐에 의해 채택되었으며, 그는 수성 궤도에서 금성에 의해 유도된 세속적 섭동 문제에 직접 적용했습니다.^[131]

이론 천문학에 대한 가우스의 공헌은 1818년에 현저하게 끝났지만, 관측 천문학에서 그의 보다 실용적인 활동은 그의 전체 경력 동안 계속되었고 그를 차지했습니다. 1799년 초에도 가우스는 달 시차를 사용하여 경도를 결정하는 문제를 다루었는데, 이를 위해 그는 일반적으로 사용되는 공식보다 더 편리한 공식을 개발했습니다.^[132] 천문대 소장으로 임명된 후 그는 베셀과 일치하는 기본적인 천문 상수를 중요하게 여겼습니다. 가우스 자신은 회전과 수차, 태양 좌표, 그리고 굴절을 위한 테이블을 제공했습니다.^[133]

오류이론

가우스는 측정 오차의 영향을 최소화하기 위해 세레스의 궤도를 계산하는 최소 제곱법을 사용했을 가능성이 높습니다.^[134] 이 방법은 1805년 아드리앙-마리 레전드르에 의해 처음 출판되었지만, 가우스는 오리아모투스(1809)에서 1794년 또는 1795년부터 사용하고 있다고 주장했습니다.^{[135][136][137]} 통계학의 역사에서 이러한 의견 불일치를 "최소 제곱의 방법 발견에 대한 우선 순위 논쟁"이라고 부릅니다.^[58] 가우스는 1821년 논문에서 정규분포 오차(Gauss-Markov 정리)^{[citation needed]} 가정 하에서 이 방법을 증명했습니다.

출간 후 1세기 동안 영어권에서는 상대적으로 거의 알려지지 않았던 이 논문에서 그는 단모달 분포에 대한 가우스의 부등식(체비셰프형 부등식)을 진술하고 증명했으며, 4차의 순간에 대해서는 또 다른 부등식(가우스-윈클러 부등식의 특별한 경우)을 증명 없이 진술했습니다.^[138] 표본 분산의 분산에 대한 하한과 상한을 도출했습니다.^[t] 이 논문의 부록에서 가우스는 다양한 신기술에 대한 빠른 추정에 대한 수요가 증가함에 따라 자신의 연구가 재발견된 1950년까지 눈에 띄지 않았던 재귀적 최소 제곱 방법에 대해 설명했습니다. 오류 이론에 대한 가우스의 연구는 측지학자 프리드리히 로버트 헬머트에 의해 여러 방향으로 확장되었으며, 오늘날 가우스-헬머트 이론은 오류의 "고전적" 이론으로 간주됩니다.^{[citation needed]}

가우스는 오류 이론과 직접 관련이 없는 확률 이론의 문제에 몇 가지 놀라운 기여를 했지만, 확률적 사고의 적용 가능성에 대한 그의 폭넓은 견해를 엿볼 수 있습니다. 한 예는 그의 일기에 메모로 나타나는데, (0,1)에 균일하게 분포된 난수의 연속 분수 확장에서 항목들의 점근적 분포를 설명하는 것과 같은 매우 특이한 문제와 관련이 있습니다. 그는 연속 분수에 대한 가우스 지도의 에르고딕성을 발견한 부산물로 현재 가우스-쿠즈민 분포로 알려진 이 분포를 도출했습니다. 가우스의 해는 연속 분수에 대한 계량 이론의 최초의 결과입니다.^[139]

아크계측 및 측지측량

가우스는 1799년 이래로 측지학 문제로 바빴는데, 그는 베스트팔렌에서 칼 루트비히 폰 레코크의 조사 기간 동안 계산을 도왔습니다.^[140] 1804년 이후, 그는 브런즈윅과 ^[141]괴팅겐에서 육종과 함께 지오데틱 실습을 독학했습니다.^[142]

1816년 이후, 그의 전 제자였던 당시 코펜하겐의 교수였던 하인리히 크리스티안 슈마허는 함부르크 근처의 알토나(홀슈타인)에 살고 있었고, 북쪽의 스카겐에서 남쪽의 라우엔부르크까지 유틀란드 반도를 삼각 측량했습니다.^[u] 목표는 지도 제작의 기초일 뿐만 아니라 그 거리의 측지호를 결정하는 것이었습니다. 슈마허는 가우스에게 이 작업을 남쪽으로 더 계속해 줄 것을 요청했고, 하노버 정부로부터 직접 이 프로젝트에 대한 지원을 찾을 수 있다고 말했습니다. 마침내 1820년 5월, 조지 4세는 가우스에게 명령을 내렸습니다.^[143]

1818년 10월, 가우스와 슈마허는 아직 뤼네부르크, 함부르크, 라우엔부르크 사이의 측지학적 연결을 위한 일부 각도를 결정하지 못했습니다.^[144] 1821년부터 1825년까지 여름 동안 가우스는 개인적으로 남쪽의 튀링겐에서 북쪽의 엘베 강에 이르는 삼각 측량을 지휘했습니다. 튀링겐 숲의 호허 하겐, 그로 ß어 인셀스버그, 하르츠 산맥의 브로켄 사이의 삼천사는 가우스가 측정한 최대 측면이 107km(66.5마일)인 것 중 가장 컸습니다. 인구가 희박한 뤼네부르크 히스(Lüneburg Heath)에서는 상당한 자연 정상이나 인공 건물이 없어 적절한 삼각 측량 지점을 찾는 데 어려움을 겪었고, 때로는 식생을 통한 차선 절단이 필요하거나 심지어 신호탑을 세우는 데도 어려움을 겪었습니다.^[145]

가우스(Gauss)는 신호를 가리키기 위해 이동식 거울과 태양 광선을 삼각측량점에 반사시키는 작은 망원경이 있는 새로운 기구를 발명하고 그것을 헬리오트로프(heliotrope)라고 이름 지었습니다.^[146] 같은 목적에 적합한 또 다른 구성은 그가 부 헬리오트로프라고 이름 붙인 거울이 추가된 육종이었습니다.^[147] 가우스는 하노버 군대의 병사들, 그들 중 장남 요셉의 도움을 받았습니다. 가우스(Gauss)는 1820년 함부르크 인근 Brake= 마을의 슈마허(Schumacher)의 기준선 측정(Braak Baseline)에 참여했으며, 그 결과를 자신의 삼각측량 평가에 사용했습니다.

아크 측정에는 네트워크 내 두 지점에 대한 정확한 천문학적 측정이 필요했습니다. 가우스와 슈마허는 괴팅겐에 있는 천문대와 슈마허의 집 정원에 있는 알토나에 있는 천문대가 거의 같은 경도에 놓여 있는 가장 좋아하는 경우를 이용했습니다. 위도는 자체 계측기와 두 관측소로 운송된 램스덴의 정점 섹터로 측정되었습니다.^[149][v]

추가적인 결과는 대략적인 지구 타원체의 평탄화에 대한 더 나은 값이었습니다.^[150][w] 가우스(Gauss)는 기하학적 데이터를 평면도로 표현하기 위해 타원체 모양의 지구의 보편적인 횡단 메르카토르 투영(conform projection)^[152]을 개발했습니다.

호 측정이 끝났을 때, 가우스는 하노버 왕국 전체를 조사하기 위해 삼각 측량을 서쪽으로 확대할 계획이었습니다. 실용적인 작업은 세 명의 육군 장교들이 지휘했고, 그들 중에는 조셉 가우스 중위가 있었습니다. 칼 프리드리히 가우스는 자신의 수학적 발명을 최소제곱법과 소거법으로 적용하여 완전한 데이터 평가를 실시했습니다. 이 프로젝트는 1844년에 끝났지만 가우스는 프로젝트와 그의 투영 방법에 대한 최종 보고서를 발표하지 않았습니다. 이 작업은 1866년까지 이루어지지 않았습니다.^[153][154]

1828년, 위도의 차이를 연구할 때, 가우스는 처음에 지구의 형상에 대한 물리적 근사치를 중력 방향에 수직인 모든 곳의 표면으로 정의했고,^[155] 나중에 그의 박사과정 제자인 요한 베네딕트 리스트는 이것을 지오이드라고 불렀습니다.^[156]

미분기하학

하노버에 대한 측지학적 조사는 미분 기하학과 위상수학, 곡선과 표면을 다루는 수학 분야에 대한 가우스의 관심을 부추겼습니다. 이로 인해 그는 표면을 두 변수의 함수에 대한 직교 그래프로 취급하는 전통적인 방식에서 벗어나 1828년 표면의 현대 미분 기하학의 탄생을 알리는 회고록을 출판하게 되었습니다. 그리고 대신 2차원이 그 위에서 움직이도록 제약을 받는 "inner" 관점에서 표면의 탐사를 시작하는 혁명적인 접근법을 개척했습니다. 그 최고의 결과인 Theorma Egregium(주목할 만한 정리)은 가우시안 곡률 개념의 속성을 확립했습니다. 비공식적으로, 그 정리는 표면의 곡률이 전적으로 표면의 각도와 거리를 측정함으로써 결정될 수 있다고 말합니다. 즉, 곡률은 표면이 3차원 공간이나 2차원 공간에 어떻게 내장될 수 있는지에 달려 있지 않습니다.^{[citation needed]}

Theorma Egregium은 표면을 이중으로 확장된 다양체로 추상화합니다. 이는 다양체의 고유한 특성(메트릭)과 주변 공간에서의 물리적 실현(매몰) 간의 구별을 명확하게 합니다. 결과적으로 서로 다른 가우시안 곡률의 표면 사이에 등각 변환이 불가능합니다. 이것은 실질적으로 구 또는 타원체를 왜곡 없이 평면으로 변환할 수 없다는 것을 의미하며, 이는 지리 지도에 대한 투영 설계에 근본적인 문제를 일으킵니다.^{[citation needed]}

그의 에세이의 추가적인 중요한 부분은 측지학에 대한 심오한 연구에 바쳐집니다. 특히 가우스는 측지 삼각형에서 국소 가우스-보넷 정리를 증명하고, 그리고 구면 삼각형에 대한 Legendre의 정리를 연속적인 곡률을 갖는 임의의 표면에 있는 측지 삼각형으로 일반화합니다. 그는 "충분히 작은" 측지 삼각형의 각도가 같은 변의 평면 삼각형의 각도에서 벗어난다는 것을 발견했습니다. 삼각형 - 삼각형 내부의 표면의 거동에 관계없이.^{[citation needed]}

한 가지 핵심적인 미분 기하학적 개념은 가우스의 회고록, 측지 곡률의 개념에서 결여되었습니다. 그러나 그의 사후 논문들은 이 개념이 그의 마음을 떠나지 않았음을 보여주고 있으며, 그는 또한 그의 회고록을 작곡하는 동안 그가 그것을 소개하고 "측면 곡률"(독일어로 "Seitenkrümmung")이라고 언급한 원고를 작성했습니다. 더 중요한 것은 그가 등각 변환에서 불변성을 증명했다는 것이며, 이는 나중에 페르디난드 민딩이 얻은 결과입니다. 이 증거와 곡률 적분에 대한 추가 조사에 대한 그의 회고록의 발표를 바탕으로, 그는 1848년 피에르 오시안 보닛이 증명한 더 일반적인 버전의 가우스-보네 정리를 알고 있었을 가능성이 매우 높으며, 이 정리의 세계적인 버전에 더 가깝습니다.^[157][x]

비유클리드 기하학

가우스의 생애에서 유클리드의 평행선 공리에 대한 생생한 논의가 진행되고 있었습니다. 그것을 증명하기 위해 수많은 수학자들이 노력했고, 그들 중 일부는 그것이 없는 기하학적 체계의 가능성을 논의했습니다.^[158] 가우스 자신은 물리적 공간의 기하학적 측면에만 관심이 있을 뿐 확대된 기하학의 철학적 측면에는 관심이 없었습니다. 1816년 그는 서평에서 이 문제에 대해 처음으로 짧은 공개 논평을 했고, 그 다음에는 가끔 통신원들에게 편지로 몇 가지 논평을 했습니다.^[159][160] 그는 "비유클리드 기하학"이라는 용어를 만든 사람입니다.^[161]

로바체프스키 (1829)와 야노스 볼랴이 (1832)가 비유클리드 기하학에 대한 아이디어를 수학 역사상 처음으로 발표하기 전까지는 ^[158]가우스 자신이 아이디어를 내려놓았지만, 그에 대한 발표를 하지 않았기 때문에 현대 과학적 논의에 영향을 미치지 않았습니다.^[159][162] 가우스는 그의 아버지에게 보낸 편지에서 ^[163]야노스 볼랴이의 생각들이 수십 년 이래로 그 자신의 생각과 일치한다고 주장하며 칭찬했습니다.^[159][164] 그러나 그가 편지에서 로바체프스키와 볼랴이에 대해 모호하고 모호한 발언만 했기 때문에 어느 정도까지 그보다 앞서 있었는지는 분명하지 않습니다.^[158]

사르토리우스는 1856년에 처음으로 그것을 언급했지만, 그의 수집된 저작들 중 8권 (1900)에 남아있는 논문들의 판본만이 비유클리드 기하학이 아직 논란의 여지가 없는 논의로부터 성장하고 있던 시기에 그 문제에 대한 가우스 자신의 발전을 보여주었습니다.^[159]

1854년 가우스는 세 가지 제안 중에서 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 첫 번째 강연인 위버 다이 가설(Uber die Hypothen)에 대한 주제를 선택했습니다.^[165][166] 리만의 강의를 마치고 집으로 돌아오는 길에 베버는 가우스가 칭찬과 흥분으로 가득 차 있다고 보고했습니다.^[167]

초기 토폴로지

가우스의 연구에서 덜 알려진 측면 중 하나는 그가 또한 위상수학의 초기 선구자였다는 것, 또는 그의 일생에 지오메트리리아 시투스라고 불렸다는 것입니다. 대수학의 기본 정리에 대한 그의 첫 번째 증명은 본질적으로 위상적인 주장을 포함했습니다. 50년 후, 그는 이 정리에 대한 네 번째 증명에서 위상적인 주장을 더욱 발전시켰습니다.^[168]

위상 개념에 대한 그의 최초의 "심각한" 만남은 천문학 작업 과정에서 그에게 일어났고, 1804년의 작은 기사에서 그는 혜성과 소행성이 나타날 수 있는 천체의 영역의 한계를 결정했고, 그 영역을 조디아쿠스라고 불렀습니다. 그는 이 지역을 결정했고, 만약 지구와 혜성의 궤도가 연결된다면, 위상학적인 이유로 황도대가 전체 구라는 것을 관찰했습니다. 1848년, 소행성 7 아이리스의 발견의 맥락에서, 그는 조디악스에 대한 질적인 논의를 더욱 자세히 설명하는 또 다른 짧은 기사를 발표했습니다.^[169]

1820~1830년 동안 가우스의 편지를 통해 기하학적으로 시투스와 밀접한 관련이 있는 주제를 집중적으로 생각하고 이 분야의 의미론적 어려움을 점차 의식하게 되었다는 사실을 알 수 있습니다. 이 시기의 파편들은 그가 "Tractfigurnes"를 유한한 수의 횡단 자기 교차점을 갖는 닫힌 평면 곡선으로 분류하려고 시도했음을 보여줍니다. 그렇게 하기 위해 그는 어떤 의미에서 트랙 피규어의 특징을 포착하는 상징적인 체계인 가우스 코드를 고안했습니다.^{[citation needed]}

가우스는 1833년의 단편에서 두 공간 곡선의 연결 수를 특정 이중 적분으로 정의했으며, 이를 통해 위상 현상에 대한 해석적 공식을 처음으로 제공했습니다. 같은 노트에서 그는 지오메트리리아 시투스의 작은 발전에 대해 개탄하고, 그것의 중심 문제 중 하나는 "닫혀 있거나 무한한 두 곡선의 교집합을 세는 것"이라고 말했습니다. 그 시기의 그의 수첩들을 보면, 그는 땋음이나 엉킴과 같은 다른 위상학적 대상들도 생각하고 있었음을 알 수 있습니다.^[169]

그의 말년에 가우스는 위상수학의 새로운 분야를 매우 높이 평가하고 그것에 대한 큰 발전을 기대했지만, 이 시기의 가우스에 의한 문헌 자료가 거의 없기 때문에, 그의 영향은 주로 때때로의 발언과 구두 커뮤니케이션을 통해 이루어졌습니다.^[y] 예를 들어, 뫼비우스의 간접적인 보고서는 가우스에 의해 만들어진 표면을 언급했는데, 가우스는 그것을 "이중 고리"라고 부르며 그것의 연결성 특성에 대해 말했습니다.^[170] 이 보고서는 표면의 연결성 순서 이론을 스케치한 1840년경에 작성된 가우스의 단편과 일치합니다.^[171] 리스팅은 그의 책 "Topologie"(1847)의 서론에서 가우스의 영향력에 대한 그의 빚을 표현했습니다.^[172][z]

사소한 수학적 성취

가우스의 연구는 수학, 특히 기초 기하학과 대수학에서 많은 작은 "젬"의 저자였기 때문에 중요한 수학 이론을 시작했을 뿐만 아니라. 그의 방식으로, 그는 작은 수학 문제들의 해결을 어떻게 조명하고 단축하는지를 보여줌으로써 그의 시대의 새로운 수학적 아이디어를 전파하는 데 도움을 주었습니다.^{[citation needed]}

예를 들어, 그는 다양한 문제에 복소수를 적용하는 데에 생생한 정신을 가지고 있었고, 원근법과 사영 기하학에 대한 그의 연구에 그것들을 사용했습니다: "입방체의 투영"에 대한 짧은 1836년 노트에서, 그는 복소수를 통해 2D 평면에서 3D 큐브를 완벽하게 정확하게 표현하는 방법을 알려주는 축음계의 기본 정리를 언급했습니다.^[173] 1819년 출판되지 않은 "구"라는 제목의 노트에서, 그는 무한대의 한 점만큼 확장된 복소평면을 구(리만 구)의 입체 사영으로 생각하고, 이 구의 회전을 확장된 복소평면에서 특정한 선형 분수 변환의 작용으로 설명했습니다.^[174]

가우스는 나중에 윌리엄 로완 해밀턴의 발견인 쿼터니언의 대수 체계를 예견한 것으로 보입니다. 1819년 가우스는 3D 회전을 설명하기 위해 실수의 4배를 사용하는 것에 대해 자세히 설명하는 "우주의 회전"에 대한 출판되지 않은 짧은 논문을 작성했습니다.^[175]

그는 초등기하학에서 주어진 4각형에 내접할 수 있는 가장 넓은 면적의 타원을 구성하는 문제에 대한 자신의 해결책을 기여했는데, 이는 1810년 슈마허가 라자레 카르노의 논문 지오메트리 드 포지션을 번역한 것에 추가된 것으로 출판되었습니다.^[176] 그는 오각형의 넓이 계산에 관한 놀라운 결과를 발견했습니다. 그는 구면기하학에 많은 공헌을 했고, 이러한 맥락에서 별에 의한 항해에 관한 몇 가지 실용적인 문제를 해결했습니다.^[aa]

그의 연구 중 하나는 존 네이피어(John Napier)의 "펜타그램마 미리쿰(Pentagramma mirificum)"에 관한 것이었는데, 이 오각형의 특성은 수십 년 동안 가우스의 마음을 자극하고 차지했습니다. 오각형에 대한 그의 연구에서 그는 오각형을 다양한 관점에서 접근했고, 점차 오각형의 기하학적, 대수적, 분석적 측면에 대한 완전한 이해를 얻었습니다. 특히 1843년에 그는 타원함수, 네이피어 구면오각형과 폰셀레 오각형을 평면으로 연결하는 몇 가지 정리를 진술하고 증명했습니다.^[177]

자기와 전신

지자기

자성에 대한 가우스의 관심은 19세기 첫 번째 데센니움 때부터 분명합니다. 1826년 알렉산더 폰 훔볼트가 괴팅겐에 있는 그를 방문했을 때, 두 과학자는 부분적으로 독립적이고 부분적으로 생산적인 협력에서 지자기에 대한 집중적인 연구를 시작했습니다.^[178] 1828년, 가우스는 베를린에서 열린 독일 자연 과학자 및 물리학자 협회 회의에서 훔볼트의 개인 손님으로 참석하여 물리학자 빌헬름 베버와 친분을 쌓았습니다.^[179]

1831년 베버가 가우스의 추천으로 요한 토비아스 메이어의 후임으로 괴팅겐의 물리학 석좌를 얻었을 때, 두 사람은 모두 효과적인 협력을 시작했고, 질량, 전하, 시간의 자기 단위를 나타내는 자기에 대한 새로운 지식을 이끌어냈습니다.^[180] 그들은 1836년부터 1841년까지 일정한 날짜에 동일한 방법으로 세계 여러 지역의 지구 자기장을 측정하는 것을 지원하는 여러 관측소의 국제 작업 그룹인 자기 협회(독일어: "Magnetischer Verein")를 설립했습니다. 1836년, 훔볼트는 당시 왕립학회 회장이었던 서식스 공작에게 보낸 편지에서 가우스의 방법에 기초한 세계적인 연구 프로그램에 대한 지원을 요청하면서 영국 영토를 포함한 세계적인 천문대의 확산을 조직하는 데 도움을 주었습니다.^[181] 다른 선동가들과 함께, 이것은 에드워드 사빈의 지도 아래 "마그네틱 십자군"이라고 알려진 세계적인 프로그램으로 이어졌습니다. 관측치의 날짜, 시간 및 간격은 사전에 결정되었으며, 괴팅겐 평균 시간이 표준으로 사용되었습니다.^[182] 마침내 61개 방송국이 이 글로벌 프로그램에 참여했습니다. 가우스와 베버는 결과를 출판하기 위해 시리즈를 세웠고, 1837년에서 1843년 사이에 6권이 편집되었습니다. 베버가 1843년 괴팅겐 7사건의 여파로 라이프치히로 떠난 것은 자기연상 활동의 종말을 의미했습니다.^[183]

훔볼트의 예를 따라 가우스는 자기 관측소의 정원에 자기 관측소를 만들라고 명령했지만, 두 과학자는 기기 장비에 대해 의견이 달랐고, 가우스는 더 정확한 결과를 제공하기 위해 고정식 기구를 선호한 반면, 훔볼트는 이동식 기구에 익숙했습니다. 가우스는 자기적 기울기, 기울기, 강도의 시간적, 공간적 변화에 관심을 가졌지만, 훔볼트의 자기적 강도 개념을 "수평적", "수직적" 강도라는 용어로 구별했습니다. 베버와 함께 그는 자기장의 세기 성분을 측정하는 방법을 개발했고, 장치에 의존하는 상대적인 것이 아니라 지구 자기장의 세기의 절대값을 측정할 수 있는 적절한 자력계를 만들었습니다.^[183][184] 자력계의 정밀도는 이전의 기기들보다 약 10배 높았습니다. 이 연구로 가우스는 최초로 기본적인 기계적 양에 의한 비기계적 양을 도출했습니다.^[182]

가우스는 자기력의 본질을 설명하는 것으로 믿는 "지상 자기의 일반 이론"(1839)을 수행했습니다. 펠릭스 클라인에 이어 이 연구는 실제로 물리 이론이 아닌 구면 고조파를 사용하여 관측한 것입니다.^[185] 이 이론은 지구에 정확히 두 개의 자극이 존재할 것이라고 예측했고, 따라서 네 개의 자극에 대한 한스틴의 아이디어는 더 이상 쓸모가 없게 되었고,^[186] 데이터는 그들의 위치를 꽤 정확하게 결정할 수 있게 해주었습니다.^[187] 그의 "2차 거리의 역비례적으로 작용하는 인력과 반발력에 관한 일반적인 정리"(1840)에서 가우스는 라그랑주, 라플라스, 푸아송에 기초한 자기 퍼텐셜 이론의 기초를 제시했습니다.^[185] 그가 이 주제에 대한 조지 그린의 이전 연구에 대해 알고 있었을 가능성은 거의 없어 보입니다.^[188] 그러나 가우스는 미래의 지자기 효과를 과학자들이 예측할 수 있게 해준 자력에 대한 어떤 이유도, 뉴턴의 중력 연구와 유사한 자력 이론도 결코 제시할 수 없었습니다.^[182]

가우스는 러시아에서 지구물리학의 시작에 영향을 미쳤는데, 그의 전 제자 중 한 명인 아돌프 테오도르 쿠퍼가 세인트루이스에 자기 관측소를 설립했을 때였습니다. 페테르부르크는 괴팅겐의 천문대와 카잔의 이반 시모노프와 유사한 천문대의 예를 따르고 있습니다.^[186]

전자기학

전자기학에 관한 한스 크리스티안 외르스테드와 전자기 유도에 관한 마이클 패러데이의 발견은 가우스의 관심을 끌었습니다.^[188] 가우스와 베버는 나중에 키르히호프의 회로 법칙으로 명명된 분지형 전기 회로의 규칙을 발견하고 전자기학에 대한 질문을 했습니다.^[189] 그들은 1833년에 최초의 전자기계 전신기를 만들었고 베버 자신도 천문대와 괴팅겐의 중심에 있는 물리학 연구소를 연결했지만 상업적 목적과 관련하여 이 발명의 더 이상의 발전은 신경 쓰지 않았습니다.^{[ab][190][191][192]}

전자기학에 대한 가우스의 주요 이론적 관심은 전자기 유도를 지배하는 정량적 법칙을 공식화하려는 시도에 반영되었습니다. 이 몇 년 동안 그의 공책에 그는 몇 가지 혁신적인 공식을 기록했습니다. 그는 벡터 퍼텐셜 함수의 아이디어를 발견했습니다(1845년 프란츠 에른스트 노이만이 독립적으로 재발견했습니다). 그리고 1835년 1월에는 패러데이의 법칙에 해당하는 "유도 법칙"을 썼습니다. 주어진 공간의 한 지점에서 기전력이 이 함수의 순간 변화율(시간에 대한)과 동일하다는 것을 명시한 것입니다.^[ac][193]

같은 해 가우스는 두 전하 사이의 전자기적 상호작용이 빛과 유사한 방식으로 공간에서 유한한 속도로 전파되며, 상호작용의 크기는 상대적인 속도에 따라 달라질 수 있다는 통찰력 있는 추측을 했습니다. 이런 식으로 그는 거리를 두고 즉각적인 행동을 취해야 한다는 개념을 반박했습니다. 출판되지 않은 파편과 베버에게 보낸 1845년 편지에서 가우스는 상대 운동에서 두 전하 사이의 상호 작용에 대한 단일 표현식을 형성하여 전기와 자기를 통합하려고 시도했으며, 이로부터 쿨롱의 법칙과 자기의 효과를 모두 얻을 수 있었습니다.^[ad]

이러한 방향에 대한 그의 출판되지 않은 통찰력은 결국 베버 전기역학으로 합쳐졌는데, 이 이론은 논쟁의 여지가 없는 맥스웰 이론과 조화를 이루기 위한 몇 가지 본질적인 어려움으로 인해 오늘날 더 이상 쓸모가 없게 되었습니다. 부정확함에도 불구하고, 가우스-베버 이론은 어떤 의미에서는 점원과 무관한 전자기장의 존재와 지연된 전위의 개념과 같은 후기 개념의 세균을 포함했습니다.^{[citation needed]}

광학

1807년 함부르크의 악기 제작자 요한 게오르그 레프솔드는 무채색 렌즈 시스템을 만드는 데 도움을 요청했습니다. 가우스의 계산에 기초하여, Repsold는 1810년에 새로운 목표로 성공했습니다. 다른 어려움들 중 주요 문제는 사용된 유리 유형의 굴절률과 분산에 대한 정확하지 않은 지식이었습니다. 1817년 가우스의 짧은 기사에서 이중 렌즈에서 색수차를 제거하는 문제를 다루었고, 이를 최소화하기 위해 필요한 모양과 굴절 계수의 조정에 대한 계산을 했습니다. 그의 연구는 1860년에 무채색의 슈타인힐 더블렛을 도입한 광학자 칼 아우구스트 폰 슈타인힐에 의해 주목되었습니다.^[194] 기하광학의 많은 결과는 가우스의 서신과 수기에 흩어져 있습니다.^[195]

가우스는 그의 영향력 있는 Dioptical Investigations (1840)에서 근축 근사법 (가우스 광학) 하에서 이미지 형성에 대한 최초의 체계적인 분석을 제공했습니다.^[196] 가우스는 근축 근사치에서 광학계가 기본 점으로 특징지어질 수 있음을 입증했으며,^[197] 렌즈의 두께에 대한 제한 없이 적용할 수 있는 가우스 렌즈 공식을 도출했습니다.^[198][199]

메카니즘

가우스의 역학 분야의 첫 번째이자 마지막 사업은 지구의 자전에 관한 것이었습니다. 그의 대학 친구 벤젠베르크가 1802년에 코리올리 힘의 영향으로 알려진 수직으로부터의 낙하 질량의 편차를 결정하기 위한 실험을 수행했을 때, 그는 가우스에게 실험값들과 비교하기 위한 이론 기반의 값 계산을 요청했습니다. 가우스는 운동에 대한 기본 방정식 체계를 정교화했으며, 그의 결과는 낙하 실험에 대한 그의 책의 부록으로 가우스의 고려 사항을 출판한 벤젠베르크의 데이터와 충분히 일치합니다.^[200]

1851년 푸코가 대중 앞에서 자신의 진자를 시연한 후, 겔링은 가우스에게 더 많은 설명을 요구했습니다. 이것은 가우스가 푸코의 진자보다 훨씬 짧은 진자 길이를 가진 새로운 실증 장치를 설계하도록 자극했습니다. 진동은 독서 망원경으로 관찰되었으며, 수직 눈금과 거울이 진자에 고정되어 있었고, 진동 시간은 3.1초였습니다. 그것은 가우스-겔링 서신에 설명되어 있으며, 베버는 1853년에 이 명백하게 작동하는 장치로 몇 가지 실험을 했지만 데이터는 발표되지 않았습니다.^[201][202]

가우스의 1829년 최소 구속의 원리는 역학이 정역학과 동역학으로 나뉘는 것을 극복하기 위한 일반적인 개념으로 확립되었으며, 달랑베르의 원리와 라그랑주의 가상 일의 원리를 결합하여 최소 제곱의 방법과 유사성을 보였습니다.^[203]

도량형

1828년, 가우스는 하노버 왕국의 도량형 위원회의 수장으로 임명되었습니다. 그는 길이와 척도의 표준을 만들었습니다. 시간이 많이 걸리는 조치들을 가우스 본인이 직접 챙기고 기계적인 준비를 위한 세부적인 지시를 내렸습니다.^[119] 이 문제를 연구하고 있던 슈마허와의 서신에서 그는 정밀도가 높은 척도에 대한 새로운 아이디어를 설명했습니다.^[204] 그는 1841년 정부에 하노버 강과 강에 대한 최종 보고서를 제출했습니다. 이 작업은 하노버 조치와 영국 조치를 연결한 1836년 법의 명령에 의해 지역적인 중요성 이상을 얻었습니다.^[119]

일화

그의 초기 천재성에 대한 몇 가지 이야기가 보도되었습니다. 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 어머니는 그가 부활절 39일 후에 열리는 승천절보다 8일 전인 수요일에 태어났다는 것만 기억하면서 출생일을 기록한 적이 없습니다.^[120] 가우스(Gauss)는 나중에 부활절 날짜를 찾는 맥락에서 자신의 생일에 대한 이 수수께끼를 풀었고, 과거와 미래의 날짜를 계산하는 방법을 도출했습니다.^[205] 가우스는 새로 태어난 딸 윌헬미네가 1808년 윤일에 태어났기 때문에 4년에 한 번만 그녀의 생일을 축하해 주었기 때문에 그녀를 가엾게 여겼습니다.^[206]

볼프강 사르토리우스 폰 발터하우젠(Wolfgang Sartorius von Waltershausen)은 가우스에 대한 추모에서 아버지가 저지른 수학 오류를 고친 세 살짜리 가우스에 대한 이야기를 들려줍니다. 사르토리우스에 의해서도 전해지는 가장 인기 있는 이야기는 학교 운동에 관한 것입니다: J.G. 뷔트너 선생님과 그의 조수인 마틴 바텔스 선생님은 학생들에게 산술 급수를 추가하라고 명령했습니다. 약 백 명의 학생들 중에서 가우스는 큰 차이로 문제를 정확하게 푼 첫 번째 학생이었습니다.^[207] 사르토리우스가 자세한 내용은 밝히지 않았지만, 시간이 흐르면서 이 이야기의 많은 버전이 만들어졌고, 시리즈의 본질에 관한 더 많은 세부 사항이 만들어졌는데, 가장 빈번한 것은 1부터 100까지의 모든 정수를 합하는 고전적인 문제입니다.^[208][ae]

가우스가 가장 좋아하는 영어 작가는 월터 스콧(Walter Scott)이었습니다. 그가 가끔 "북서쪽에 달이 넓게 뜬다"라는 단어를 읽을 때, 그는 매우 재미있었습니다.^[210]

영예와 상

1802년 러시아 과학 아카데미에 의해 과학 학회의 첫 회원이 가우스에게 주어졌습니다. 괴팅겐 과학 아카데미(1802/1807),^[211] 프랑스 과학 아카데미(1804/1820),^[212] 런던 왕립 학회(1804/1820),^[213] 베를린 왕립 프로이센 아카데미(1810),^[214] 베로나 국립 과학 아카데미(1810),^[215] 에든버러 왕립 학회(1820),^[216] 바이에른 뮌헨 과학 아카데미(1820),^[217] 덴마크 코펜하겐 왕립 아카데미(1821), 런던 왕립 천문학회(1821),^[218] 스웨덴 왕립 과학 아카데미(1821), 보스턴 미국 예술 과학 아카데미(1822),^[219] 프라하 왕립 보헤미안 과학 학회(1833), 왕립 과학 아카데미(1833), 벨기에의 문자와 미술(1841/1845),^[220] 웁살라 왕립과학원(1843), 더블린 왕립 아일랜드 아카데미(1843), 네덜란드 왕립과학원(1845/1851),^[221] 마드리드 스페인 왕립과학원(1850),^[222] 러시아 지리학회(1851), 빈 제국과학원(1848), 미국 철학회(1853),^[223] 케임브리지 철학회, 하를렘 왕립 홀랜드 과학회.^[224]

가우스는 1849년부터 카잔 대학교와 프라하 대학교 철학부의 명예 회원이었습니다.^[225]

가우스는 1809년 단 세 번의 관측을 통해 행성의 이론과 궤도를 결정하는 수단으로 프랑스 과학 아카데미에서 라랑드 상을 받았고,^[226] 1823년 덴마크 과학 아카데미에서 "각도 보존 지도에 대한 그의 연구"로 상을 받았습니다. 1838년 영국 왕립학회로부터 "그의 발명과 자기에 대한 수학적 연구"로 코플리 메달을 받았습니다.^[224]

가우스는 1837년에 프랑스 명예의^[227] 군단 기사로 임명되었고, 1842년에 프로이센 기사단이 설립되었을 때, 프로이센 기사단의 첫 번째 구성원 중 한 명이었습니다.^[228] 그는 베스트팔렌 왕관 훈장 (1810), 덴마크 단네브로그 훈장 (1817), 하노버 왕립 구엘프 훈장 (1815), 스웨덴 북극성 훈장 (1844), 사자 헨리 훈장 (1849), 바이에른 막시밀리안 과학 예술 훈장 (1853)을 받았습니다.^[224]

하노버의 왕들은 그를 "호프라스" (1816)^[73]와 "게하이머 호프라스"^[af] (1845)라는 명예 칭호로 임명했습니다. 1849년, 그는 브런즈윅과 괴팅겐의 명예 시민권을 받았습니다.^[224] 그가 사망한 직후 하노버 왕 조지 5세의 명령에 의해 뒷면이 새겨진 메달이 수여되었습니다: Georgivs V REX HANNOVERAE MATTATHICORVM Principi 및 설명: Academiae Svae Georgiae AVGVSTAE DECORI AETERNO.^[229]

″ 가우스-제셀샤프트 괴팅겐 ″(Gauss Society)는 1964년 칼 프리드리히 가우스와 관련 인물들의 삶과 일에 대한 연구를 위해 설립되었으며, ″ 가우스-제셀샤프트 ″(Communications of the Gauss Society)를 편집합니다.

글

수학과 천문학

• 1799: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse [New proof of the theorem that every integral algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. (헬름슈테트 대학교 대수학의 기본정리에 관한 박사논문) 원서
• 1816: "Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 107–134.
• 1816: "Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 135–142.
• 1850: "Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 4: 34–35.
  • Die vier Gauss'schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten und zweiten Grades. (1799–1849) [The four Gaussian proofs of the fundamental theorem of algebra]. Translated by Netto. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1890. (독일어)
• 1800: (부활절 날짜 계산)
• 1801: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun.
  • Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory. Translated by Clarke, Arthur A. (2nd, corrected ed.). New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4939-7560-0. ISBN 978-0-387-96254-2.
• 1802년: (Pesach 일자 산정)
• 1808: (가우스의 보조정리를 소개하고, 2차 상호성의 세 번째 증명에 사용)
• 1809: } 원본
  • Theory of the Motion of Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections. Translated by Davis, Charles Henry. Little, Brown & Co. 1857.
• 1811: (팔라스의 궤도)
• 1811: (2차 가우스 합의 부호 결정, 이를 이용하여 4차 상호성 증명)
• 1812: "Disquisitiones generales circa seriem infinitam ${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}}$". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 2: 1–42.
• 1815: "Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 39–76.
• 1818: (5차 및 6차 2차 상호성 증명)
• 1818: "Demonstratio attractionis, quam in punctum positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totamorbitam, ratione temporis, quo singulae partes describuntur, uniformiter esset dispertita". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 4: 21–48.
• 1821: "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 5: 33–62.
• 1823: "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 5: 63–90.
• 1825: (1822년부터 등각 지도에 관한 상 위니그 에세이)
• 1828: (오류 전파의 가우시안 법칙의 기초로서의 확률 계산에 관한 세 가지 에세이)
  • Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. (1995). Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One, Part Two, Supplement (Classics in Applied Mathematics). Translated by G. W. Stewart. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:10.1137/1.9781611971248. ISBN 978-0-89871-347-3.
• 1828: "Disquisitiones generales circa superficies curvas". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 6: 99–146.
  • General Investigations of Curved Surfaces (PDF). Translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel. The Princeton University Library. 1902.
• 1828: "Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 6: 27–56.
• 1832: (가우스 정수를 소개하고, (증명 없이) 2차 상호성의 법칙을 진술하며, 1 + i에 대한 보충 법칙을 증명합니다.)
• 1845: "Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Zweiter Band: 3–46.
• 1847: "Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Dritter Band: 3–44.
• Klein, Felix, ed. (1903). "Gauß' wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814". Mathematische Annalen (in Latin and German). 57: 1–34. doi:10.1007/BF01449013. S2CID 119641638. 원서
  • Jeremy Gray (1984). "A commentary on Gauss's mathematical diary, 1796–1814". Expositiones Mathematicae. 2: 97–130.

물리학

• 1804: Gauss, Carl Friedrich. "Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde". In Benzenberg, Johann Friedrich (ed.). Versuche über das Gesetz des Falls, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde [Experiments on the Law of falling Bodies, on the Resistance of Air, and of the Rotation of the Earth]. Dortmund: Gebrüder Mallinckrodt. pp. 363–371.
• 1813: "Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 2: 1–24.
• 1817: "Ueber die achromatischen Doppelobjective besonders in Rücksicht der vollkommnern Aufhebung der Farbenzerstreuung" [On achromatic double lenses with special regard to a more complete dispersion of colours]. Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften (in German). IV: 345–351.
• 1829: "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik" [On a new General Fundamental Law of Mechanics]. Journal für die reine und angewandte Methematik (Crelle's Journal). 1829 (4): 232–235. 1829. doi:10.1515/crll.1829.4.232. S2CID 199545985.
• 1832: "Principia generalia theoriae figurae fluidorum fluidorum in statu aequilibrii". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 7: 39–88.
• 1841: "Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 8: 3–44.
  • 지구 자기력의 세기 절대 측정으로 감소 수잔 P. 존슨 옮김.
• 1836: H.C. Schumacher (ed.). "Erdmagnetismus und Magnetometer". Jahrbuch für 1836 (in German). Tübingen: J.G.Cotta'sche Buchhandlung. 1836: 1–47.
• 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte [General Theorems concerning the attractive and repulsive Forces acting in reciprocal Proportions of quadratic Distances] (in German). Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung. 1840.
• 1843: "Dioptrische Untersuchungen" [Dioptrical Investigations]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen (in German). Erster Band: 1–34.

빌헬름 베버와 함께

• 1837–1839: Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1836–1838 (in German). Göttingen: Dieterichsche Buchhandlung.
• 1840–1843: Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839–1841 (in German). Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.
• 1840: Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Supplement zu den Resultaten aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins (in German). Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.

수집된 작품

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, ed. (1863–1933). Carl Friedrich Gauss. Werke (in Latin and German). Vol. 1–12. Göttingen: (diverse publishers).

서신

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, ed. (1880). Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel (in German). Leipzig: Wilhelm Engelmann. (1804년 12월부터 1844년 8월까지의 편지)
• Schoenberg, Erich; Perlick, Alfons (1955). Unbekannte Briefe von C. F. Gauß und Fr. W. Bessel. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-nat. Klasse, Neue Folge, No. 71 (in German). Munich: Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. pp. 5–21. (1835년 2월부터 1848년 1월까지 보구슬라프스키에게 보낸 편지)
• Schwemin, Friedhelm, ed. (2014). Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Elert Bode. Acta Historica Astronomica (in German). Vol. 53. Leipzig: Akademische Verlaganstalt. ISBN 978-3-944913-43-8. (1802년 2월~1826년 10월 편지)
• Franz Schmidt, Paul Stäckel, ed. (1899). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai (in German). Leipzig: B. G. Teubner. (1797년 9월부터 1853년 2월까지의 편지; 다른 통신원들의 편지 추가)
• Axel Wittmann, ed. (2018). Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Johann Franz Encke (in German). Remagen: Verlag Kessel. ISBN 978-3945941379. (1810년 6월~1854년 6월 편지)
• Clemens Schaefer, ed. (1927). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian Ludwig Gerling (in German). Berlin: Otto Elsner. (1810년 6월~1854년 6월 편지)
• Karl Christian Bruhns, ed. (1877). Briefe zwischen A. v. Humboldt und Gauss (in German). Leipzig: Wilhelm Engelmann. (1807년 7월부터 1854년 12월까지의 편지, 다른 통신원의 편지 추가)
• (1835년부터 1843년까지 letters)
• Gerardy, Theo, ed. (1959). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Carl Ludwig von Lecoq. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, No. 4 (in German). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. pp. 37–63. (1799년 2월~1800년 9월 편지)
• Forbes, Eric G. (1971). "The Correspondence between Carl Friedrich Gauss and the Rev. Nevil Maskelyne (1802-05)". Annals of Science. 27 (3): 213–237. doi:10.1080/00033797100203767.
• Carl Schilling, ed. (1900). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Erste Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band (in German). Berlin: Julius Springer. (1802년 1월부터 1819년 10월까지의 편지)
• Carl Schilling, ed. (1909). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Zweite Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band (in German). Berlin: Julius Springer. (1820년 1월부터 1839년 5월까지의 편지, 다른 통신원의 편지 추가)
• Christian August Friedrich Peters, ed. (1860–1865). Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher (in German). Altona: Gustav Esch.
  • 1+2권 (1808년 4월부터 1836년 3월까지의 편지)
  • 3+4권 (1836년 3월~1845년 4월 편지)
  • 5+6권 (1845년 4월부터 1850년 11월까지 편지)
• (1795년부터 1815년까지 letters)

• 
  가우스 마그노푸스의 제목 페이지, 산술을 발견하다 (1801)
• 
  산술 이론의 제목 (1808)
• 
  섹션버스 코니시스 솔렘 앰비언티움의 Oriia Motus Corpum Coelestium 제목 페이지 (1809)
• 
  찰스 헨리 데이비스(Charles Henry Davis, 1857)의 오리아 모투스 영문판 제목 페이지
• 
  Intensitas vis Magneticae Terrestris ad Mensuram Absolutam Revocata (1833) 제목 페이지
• 
  1876년 《칼 프리드리히 가우스 베르케》 제2권

괴팅겐 과학 및 인문학 아카데미는 아직 알려진 칼 프리드리히 가우스의 편지를 온라인으로 볼 수 있는 완전한 모음을 제공합니다.^[64] 문학 유산은 괴팅겐 주립 및 대학 도서관에서 보관 및 제공합니다.^[231] Carl Friedrich Gauss와 가족들의 서면 유산은 Brunzwick 시의 기록 보관소에서도 찾을 수 있습니다.^[232]

이름 및 기념식

• 칼 프리드리히 가우스의 이름을 딴 목록

참고문헌

메모들

인용문

원천

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