시터 공간

수학물리학에서 n차원 de Sitter 공간(흔히_n dS로 약칭)은 일정한 양의 스칼라 곡률을 갖는 최대 대칭 로렌츠 다지관이다. 그것은 (정규적인 리만 메트릭스를 가진) n-sphere의 로렌츠어 아날로그다.

드 시터 공간의 주요 적용은 일반 상대성 이론에 사용되는데, 여기서 시터는 우주의 관찰된 가속 팽창과 일치하는 우주의 가장 간단한 수학 모델 중 하나로 기능한다. 좀 더 구체적으로 말하자면, 드 시터 공간은 양의 $\Lambda$ 상수 $\Lambda$ equations{\ $displaystyle$ \ $Lambda }($ 양성의 진공 에너지 밀도와 음의 압력에 대응)를 가진 아인슈타인의 장 방정식의 최대 대칭 진공 솔루션이다. 우주 자체가 무증상적으로 시터(Sitter)라는 우주론적 증거가 있다. 즉 암흑에너지가 지배하는 먼 미래의 시터 우주처럼 진화할 것이다.

드 시터 공간과 반데 시터 공간은 라이덴 대학의 천문학과 교수이자 라이덴 천문대 ^[1]^[2]소장인 윌렘 드 시터(1872~1934)의 이름을 딴 것이다. 윌렘 드 시터와 알버트 아인슈타인은 1920년대 레이든에서 우리 우주의 공간 구조에 대해 긴밀히 협력했다. 데 시터 공간 또한 툴리오 레비타에 의해 독자적으로 그리고 거의 동시에 발견되었다.^[3]

정의

드 시터 공간은 한 차원 높은 일반화된 민코프스키 공간의 하위 관리공간으로 정의할 수 있다. 표준 미터법으로 Minkowski 공간 R을^1,n 선택:

ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.

de Sitter 공간은 한 시트의 하이퍼볼로이드에 의해 설명되는 하위 관리 공간이다.

-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\filename ^{2}

여기서 $\alpha$ $\alpha$ 은 $\alpha$ (는) 길이의 치수가 있는 0이 아닌 상수다. 드 시터 공간에 대한 메트릭은 주변 민코스키 메트릭으로부터 유도된 메트릭이다. 유도 메트릭은 비감속적이며 로렌츠어 시그니처가 있다. (위의 정의에서 $-\alpha ^{2}$ $\alpha ^{2}$ 2 ${\$ 을 $-\alpha ^{2}$ $-\alpha ^{2}$ ${\$ 로 $\alpha ^{2}$ 대체하면 2장의 하이퍼볼로이드를 얻는다. 이 경우에 유도된 측정기준은 양수-확정적이며, 각 시트는 쌍곡선 n-공간을 복사한 것이다. 자세한 증거는 민코프스키 공간 § 지오메트리)를 참조하십시오.

시터 공간은 또한 두 개의 무한직교 집단의 지수 O(1, n) / O(1, n - 1)로 정의할 수 있는데, 이는 비리만 대칭 공간임을 보여준다.

지형학적으로 de Sitter 공간은 R × S이다ⁿ⁻¹(그러므로 n 3 3이면 de Sitter 공간은 간단히 연결된다).

특성.

데 시터 공간의 등거리 그룹은 로렌츠 그룹 O(1, n)이다. 따라서 메트릭은 n(n + 1)/2 독립 킬링 벡터 필드를 가지며 최대 대칭이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 가진다. De Sitter의 Riemann 곡률 텐서(tensor)는 다음과 같다.

R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha^{2}}\{\rho \nu }g_{\rho \nu }g_{\rho \sigma \ma }\}\rig_}

시터 공간은 리치 텐서가 미터법에 비례하기 때문에 아인슈타인의 다지관이다.

R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}g_{\mu \nu }}}}}}

이것은 드 시터 공간이 아인슈타인의 우주 상수 방정식의 진공 솔루션이라는 것을 의미한다.

\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}.

De Sitter 공간의 스칼라 곡률:

R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .

사례 n = 4의 경우 we = 3/α², R = 4 4 = 12/α가² 있다.

정적 좌표

de Sitter에 대해 $(t,r,\ldots )$ 다음과 같이 정적 좌표 $(t,r,\ldots )$ , $(t,r,\ldots )$ , $(t,r,\ldots )$ … $(t,r,\ldots )$ ) ${\displaystyle (t,r$ ,\ldots $)}$ 을(를) 도입할 수 있다.

{\pregated}x_{0}&={\sqrt {\number ^{2}-r^{2}}\sinh \left\frac {1}{\number }}{\t\오른쪽)\x_{1}&={\sqrt{\n1}-r^{2}}}\cosh \left\frac{1}{\not }오른쪽)\x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.\end{정렬}}

여기서 $z_{i}$ $z_{i}$ ${\$ 는 R에ⁿ⁻¹ (n - 2)-sphere를 포함하는 표준을 제공한다 $z_{i}$ . 이러한 좌표에서 de Sitter 메트릭은 다음과 같은 형태를 취한다.

ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.

$r=\alpha$ = $r=\alpha$ $r=\alpha$ 에는 우주적 지평선이 있다는 점에 유의하십시오 $r=\alpha$

플랫 슬라이싱

내버려두다

{\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)+{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)-{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\frac {1}{\alpha }}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}

여기서 ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ = ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\$ r $^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2$ 그러면 ( $\left(t,y_{i}\right)$ y $\left(t,y_{i}\right)$ )에서 $\$ }\right $)}$ 좌표계 $\left(t,y_{i}\right)$ 읽기:

{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\n1}{\t}dy^{2}}:

여기서 ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ = ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ i ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\$ }}는 ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ $y_{i}$ $y_{i}$ ${\$ s의 평탄한 메트릭이다.

$\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ = $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ - $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ e $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ - $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ t ${\$ 1}{\ $alpha }}}}}}}$ 을 $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$ 를) 설정하면 다음과 같은 평탄한 지표를 얻는다.

ds^{2}={\frac {\fract ^{2}}:(\zeta _{\infit }-\zeta )^{2}}:}\왼쪽(dy^{2}-d\zeta ^{2}\}\오른쪽)}

오픈 슬라이싱

내버려두다

{\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}

where ${\textstyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ forming a $S^{n-2}$ with the standard metric ${\textstyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$ . Then the metric of the de Sitter space reads

ds^{2}=-dt^{2}+\cH^{2}\sinh ^{2}\left_frac{1}{\propert\오른쪽)d.H_{n-1}^{2},

어디에

dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\오메가 _{n-2}^{2}

표준 쌍곡선 측정 기준이다.

클로즈드 슬라이싱

내버려두다

{\compression}x_{0}&=\sinh \left\frac {1}{\n1}\\\x_{i}&=\cosh \cosh \lefrac {1}{1}{\precip }z},\qd\leq ileq nend\{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $z_{i}$ $z_{i}$ ${\$ 는 $z_{i}$ $S^{n-1}$ $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ ${\$ S $^{n-1}$ 를 설명한다 $S^{n-1}$ 그런 다음 메트릭을 다음과 같이 읽는다.

ds^{2}=-dt^{2}+\cosh^{2}\cosh ^{2}\좌측값\frac {1}{\propert\오른쪽)d.\오메가 _{n-1}^{2}.

${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ 변수를 황갈색 ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ ( ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ 2 ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ ) = ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ 1 ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ α ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ ){\ $textstyle$ 를 통해 아인슈타인 정적 우주와 일치하는 메트릭을 얻는다 ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ .

ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}:{\cos ^{2}\eta }}}}\좌측(-d\eta ^{2}+d\Oomega _{n-1}^{n-1}^{2}\우측).

"지구 좌표"라고도 알려진 이 좌표는 드 시터 공간의 최대 확장을 포괄하므로 펜로즈 다이어그램을 찾는 데 사용할 수 있다.^[4]

dS 슬라이싱

내버려두다

{\displaystyle{\begin{정렬}x_{0}&, =\alpha\sin \left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right)\sinh \left({\frac{1}{\alpha}}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&, =\alpha \cos \left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right),\\x_{2}&, =\alpha\sin \left({\frac{1}{\alpha}}\chi\right)\cosh \left({\frac{1}{\alpha}}t\right),\\x_{나는}&, =\alpha z_{나는}\sin \left({\f.rac{1}{\alpha}}\chi \right)\sinh \left\frac {1}{{\\ret\오른쪽)\sinh \xi,\qquad 3\leq i\leq n\ended}}}}

여기서 $z_{i}$ $z_{i}$ ${\$ $S^{n-3}$ 는 $z_{i}$ $S^{n-3}$ $S^{n-3}$ - 3 ${\$ 를 설명하고 나면 메트릭은 다음과 같이 기록된다.

ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}\{2}\왼쪽({\frac {1}{\alpha }}}}}}}\frac {1}{\alpha }}}}}\alpha \n-1}^{2

어디에

ds_{dS,\alpha,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha^{2}\sinh^{2}\왼쪽({\frac {1}{\alpha }}}}오른쪽)d.H_{n-2}^{2}

개방 슬라이싱 좌표에서 $\alpha$ 곡률 반경이 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha$ }인 $n-1$ - $n-1$ $n-1$ 차원 $n-1$ de Sitter 공간의 메트릭이다. 쌍곡선 메트릭은 다음을 통해 제공된다.

dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\오메가 _{n-3}^{2}.

This is the analytic continuation of the open slicing coordinates under $\left(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-4}\right)$ and also 전환 $x_{0}$ ${\$ 및 $x_{2}$ $x_{2}$ ${\$ }}: 시간/공간적 특성을 변경하기 때문에 $x_{2}$

참고 항목

참조

^ de Sitter, W. (1917), "On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis" (PDF), Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., 19: 1217–1225
^ de Sitter, W. (1917), "On the curvature of space" (PDF), Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., 20: 229–243
^ Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia dei Lincei, 26: 519–31
^ Hawking & Ellis. The large scale structure of space–time. Cambridge Univ. Press.

추가 읽기

Qingming Cheng (2001) [1994], "De Sitter space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Nomizu, Katsumi (1982), "The Lorentz–Poincaré metric on the upper half-space and its extension", Hokkaido Mathematical Journal, 11 (3): 253–261, doi:10.14492/hokmj/1381757803
Coxeter, H. S. M. (1943), "A geometrical background for de Sitter's world", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 50 (4): 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR 2303924
Susskind, L.; Lindesay, J. (2005), An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution:The Holographic Universe, p. 119(11.5.25)

외부 링크

시터 및 시터 방지 공간에 대한 단순 안내서 드 시터 및 시터 방지 공간에 대한 교육학적 소개. 본문은 수학이 거의 없는 단순화되었다. 부록은 기술적이며 물리학 또는 수학 배경을 가진 독자를 위한 것이다.

[1] Sitter, W. (1917), "On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis" (PDF), Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., 19: 1217–1225

[2] Sitter, W. (1917), "On the curvature of space" (PDF), Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., 20: 229–243

[3] Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia dei Lincei, 26: 519–31

[4] Hawking & Ellis. The large scale structure of space–time. Cambridge Univ. Press.

[1]

[2]

[3]

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