딘 보조정리

Dehn's lemma

수학에서, 딘의 보조정리자는 디스크의 내부에 지도의 특이성이 설정된 디스크의 조각-선형 지도가 3-manifold로, 디스크의 경계에서 원본과 동일한 디스크의 또 다른 조각-선형 지도의 존재를 암시한다고 주장한다.

이 정리는 막스 딘(1910)에 의해 증명된다고 생각되었지만 헬무스 크네서(1929, 260쪽)는 그 증거에서 빈틈을 발견했다.요한슨의 작품을 이용한 크리스토스 파파키리아코풀로스(1957, 1957b)가 자신의 '타워 건설'을 이용해 증명할 때까지 딘의 보조정리 상태는 의심에 머물렀다.그는 또한 루프 정리 및 구체 정리까지 정리를 일반화했다.

타워 건설

파파키리아코풀로스는 덮는 공간의 탑을 이용해 딘의 보조정리법을 증명했다.곧이어 아놀드 샤피로와 J.H.C. 화이트헤드(1958)는 훨씬 더 간단한 증거를 제시해 더 강력한 결과를 증명했다.그들의 증명서는 파파키리아코풀로스의 탑건설을 사용했지만 다음과 같이 이중 커버를 씌웠다.

  • 1단계: 디스크 이미지의 일반 근방의 연결된 이중 커버를 반복하여 공간 탑을 생성하며, 각각 그 아래 공간의 연결된 이중 커버를 생성한다.원반으로부터의 지도를 이 탑의 모든 단계로 올릴 수 있다.각 이중 커버는 디스크 내장 특이점을 단순화하여 한정된 숫자의 이중 커버만을 취할 수 있으며, 이 탑의 최상층에는 연결된 이중 커버가 없다.
  • 2단계. 3-manifold에 연결된 이중 커버가 없는 경우, 모든 경계 구성요소는 2-spare가 된다.특히 탑의 최상층에는 이런 속성이 있는데, 이 경우 디스크에서 지도를 수정하기 쉬워 임베딩이 된다.
  • 3단계. 이제 디스크 임베딩은 2-디스크를 자르고 붙임으로써 한 번에 한 단계씩 더블커버 탑 아래로 밀릴 수 있다.

참조

  • Bing, R.H. (1983), The Geometric Topology of 3-manifolds, American Mathematical Society, p. 183, ISBN 0-8218-1040-5
  • Dehn, Max (1910), "Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes", Mathematische Annalen, 69: 137–168, doi:10.1007/BF01455155, S2CID 121316558
  • Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), "PL Equivariant Surgery and Invariant Decompositions of 3-Manifolds", Advances in Mathematics, 73 (2): 149–191, doi:10.1016/0001-8708(89)90067-4
  • Johansson, Ingebrigt (1935), "Über singuläre Elementarflächen und das Dehnsche Lemma", Mathematische Annalen, 110: 312–330, doi:10.1007/BF01448029, S2CID 123540473
  • Johansson, Ingebrigt (1938), "Teil 2, Thematische Annalen", Mathematische Annalen, 115: 658–669, doi:10.1007/BF01448964, S2CID 121541094

외부 링크