이산 모스 이론

이산 모스 이론은 로빈 포먼에 의해 개발된 모스 이론을 조합적으로 개작한 것이다. 이 이론은 구성 공간,^[1] 호몰로지 연산,^[2][3] 데노화,^[4] 메쉬 압축,^[5] 위상학적 데이터 분석 등 응용 수학 및 컴퓨터 과학의 다양한 분야에서 다양한 실용적 응용을 가지고 있다.^[6]

CW 복합체 관련 표기법

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) CW 콤플렉스로 $하고{\displaystyle \mathcal{}}$ X$${\$displaystyle${\$mathcal{X}}$의 셀 세트를 가리킨다. Define the incidence function ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z} }$ in the following way: given two cells ${\displaystyle \sigma }$ and ${\displaystyle \tau }$ in ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, let ${\displaystyle \kappa (\sigma$$,~~\tau )}}$은(는) $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$의 $경계$에서 {$${\$displaystyle$\$tau }$까지의 부착 맵의 정도$.$ 경계 $연산자$는 X$${\$displaystyle {\mathcal}$에 의해 생성된 자유 아벨리아 그룹의$$ 내형성 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\partmpartial}$이다.

${\displaystyle \partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal{X}}\appa(\sigma ,\tau )\tau .}$

${\displaystyle \partial }$ ∘ ${\displaystyle \equiv }$ 0 ${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle \partial \circle \partial$ \partial $\equiv0$ 보다 자명한 정의에서^[7] $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ \${\displaystyle }$\ \$\sigma ,\tau ^{\primatcal {X}}$에 있는 요구 ${\displaystyle \mathrm{사항}}$을 ${\displaystyle {}^{}}$ 수 ${\displaystyle 있다\mathcal{}}$.

${\displaystyle \sum _{\tau \in {\mathcal {X}}\cappa(\sigma ,\tau )\kappa(\tau,\tau ^{\premium }=0}$

이는 경계 연산자에 대한 위의 정의와 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \partial }$ 0 ${\displaystyle 0}$ 0 { { {$$\$displaystyle \partial \partial \equiv$ 0$}$의 요구 조건의 결과물이다$.$

이산 모스 함수

실질값 함수 ${\displaystyle \mu \mathcal{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(는) 다음 두 가지 속성을 만족하는 경우 이산형 Morse 함수다.

1. For any cell ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$, the number of cells ${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$ in the boundary of ${\displaystyle \sigma }$ which satisfy ${\displaystyle \mu (\sigma )\leq \mu (\tau )}$ is at most one.
2. For any cell ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$, the number of cells ${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$ containing ${\displaystyle \sigma }$ in their boundary which satisfy ${\displaystyle \mu (\sigma )\geq \mu (\tau )}$ is at most one.

$X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 일반 CW 콤플렉스인$$ 경우 고정 셀 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 대해 두 조건의 추기경 모두 동시에 하나가 될 수 없음을^[8] 알 수 있다$.$ In this case, each cell ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$ can be paired with at most one exceptional cell ${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$: either a boundary cell with larger ${\displaystyle \mu }$ value, or a co-boundary cell with smaller ${\displaystyle \mu }$ value. 쌍이 없는 세포, 즉 기능 값이 경계 세포보다 엄격히 높고 공동 경계 세포보다 엄격히 낮은 세포들을 임계 세포라고 한다. 따라서 이산 Morse 함수는 CW 콤플렉스를 세 개의 구별되는 셀 모음으로 분할한다. $X{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\displaystyle \bigsqcup }$ ${\displaystyle K\mathcal{}}$ ${\displaystyle \bigsqcup }$ ${\displaystyle Q\mathcal{}}$ ${\$ $여기$서:

1. ${\$은(는) 손상되지 않은 중요한 세포를 의미한다$$.
2. ${\displaystyle \mathcal{K}}$ ${\$은(는) 경계 셀과 쌍을 이루는 셀을 나타내며$$,
3. ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ ${\$은(는) 같은 경계 세포와 쌍을 이루는 세포를 가리킨다$$.

시공별로는 K ${\$$mathcal${$K}}$의 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -dension$$ $셀$과$$Q {\$displaystyle${Q$\}{\displaystyle }$의 ${\displaystyle (\mathrm{k}}$- 1) $-displaystyle(k-1)$-dension$$ 셀 사이에 세트가 편향되어 있는데$,$ 이는 p${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle K^{}}$→ ${\displaystyle Q^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ - ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ {$displayp^$로 나타낼 수 있다.${k}:{\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}}$ for each natural number ${\displaystyle k}$. It is an additional technical requirement that for each ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}^{k}}$, the degree of the attaching map from the boundary of ${\displaystyle K}$ to its paired cell ${\displaystyle p^k(K)\in \mathcal{Q}}$${\displaystyle p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}}$ is a unit in the underlying ring of ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. For instance, over the integers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, the only allowed values are ${\displaystyle \pm 1}$. This technical requirement is guaranteed, for instance, when one assumes that ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{X}}$ ${\$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 일반 CW 복합체$$ 입니다$.$

이산 모스 이론의 근본적인 결과는 CW $콤플렉스{\displaystyle \mathcal{}}$ X ${\${\$mathcal$$${$X}}}$이(가) 임계 세포로만 구성된$$ 새로운 $콤플렉스{\displaystyle \mathcal{}}$ A$${\$displaystyle${\$mathcal${A}에 대한 호몰로지 수준에서 이형체임을$$ 규명한다. $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과($)$ Q {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {Q$}$의 쌍체 셀은$$A {\$displaystyle$ {\$mathcal {A}$의 경계 연산자를 구하는 데 사용할 수 있는 인접 임계 셀 사이의 그라데이션 경로를 설명한다$.$ 이 구성에 대한 자세한 내용은 다음 절에 나와 있다.

모스 콤플렉스

그라데이션 경로는 쌍을 이룬 셀의 시퀀스입니다.

${\displaystyle \rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots,Q_{M},K_{M}}}}}}$

만족 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= p${\displaystyle }$( ${\displaystyle {Km}_{}}$) ${\displaystyle Q_{m}=p(K_{m$})=p(K_{m${\displaystyle {+1}_{}}$$})$ 및$$ $\kappa {\displaystyle ({Km}_{}}$ ${\displaystyle {Qm}_{}}$ + 1${\displaystyle {}_{}}$) $(\displaysty \capa(K_{m},~Q_{m+1})\neq$ 0$\}$ . 이 그라데이션 경로의 인덱스는 정수로 정의됨

${\displaystyle \nu (\rho )={\frac _{m=1}^{m-1}-\cappa (K_{m},Q_{m+1}}}}{\prod _{m=1}^{M}\capa(K_{m},Q_{m}}}}}}}}})}}}}}}}}}}.}$

쌍체 세포 사이의 발생률은${\displaystyle }$± $[\displaystyle \pm1}$이어야 하기 때문에 여기서의 분할은 타당하다$.$ 시공에 의해 이산 Morse 함수 $[\displaystyle \mu }$의 값이 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaysty \rho }$에 걸쳐 감소해야$$ 한다는 점에 유의한다$.$ 경로 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystylevelope \rho}$은 두 개의 중요한 셀을 연결한다고 한다$$.${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$ if ${\displaystyle \kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')}$. 이 관계는 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ A${\stackrel {\rho }{\\\}A'}$로 표현될 수 있다$.$ The multiplicity of this connection is defined to be the integer ${\displaystyle m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')}$. Finally, the Morse boundary operator on the critical cells ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is defined by

${\displaystyle \Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\\stackrel {\rho }{{\}A'}m(\rho )A'}}}}$

여기서 합계는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$까지의 모든 그라데이션 경로 연결을 대체한다$.$

기본 결과

연속 모스 이론의 많은 익숙한 결과는 이산형 환경에 적용된다.

모스 부등식

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) CW complex $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) 연관된 Morse 콤플렉스로 한다$$$.$ $숫자{\displaystyle \mathcal{}}$ $m{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle q_{}}$= ${\displaystyle A{\mathcal{}}_{}}$$$${\displaystyle q_{}}$ {\$displaystyle$ $m_{q}=$ ${\$$mathcal{A}}$ $-cells$의 q {\$displaystyle$$$q$$$}$ -th Morse 번호로 불린다$$. $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -th$$ Betti 번호로 표시한다$.$ 그러면 모든 > ${\displaystyle N>0$에 대해 다음과 같은 불평등이^[9] 유지된다.

${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$그리고

${\displaystyle m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta_{0}}}}}}$

게다가 $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 오일러 특성 $){\displaystyle \chi({\mathcal {X}})$이 충족된다$$.

${\displaystyle \chi({\mathcal{X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm_{\dim {\mathcal {X}}}}}}}}}$

이산모스 호몰로지 및 호모토피 유형

Let ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ be a regular CW complex with boundary operator ${\displaystyle \partial }$ and a discrete Morse function ${\displaystyle \mu :{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$. Let ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ be the associated Morse complex with Morse boundary operator $$${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta$ $\}.$ 그러면 호몰로지 집단의 이형성이^[10] 나타난다.

${\displaystyle H_{*}({\mathcal {X},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A},\Delta ),}$

유사하게 호모토피 그룹에도 해당된다.

참고 항목

• 디지털 모스 이론
• 성층화된 모스 이론
• 형상해석
• 위상 결합학
• 이산 미분 기하학

참조

• Forman, Robin (2002). "A user's guide to discrete Morse theory" (PDF). Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48: Art. B48c, 35 pp. MR 1939695.
• Kozlov, Dmitry (2007). Combinatorial algebraic topology. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 21. Berlin: Springer. ISBN 978-3540719618. MR 2361455.
• Jonsson, Jakob (2007). Simplicial complexes of graphs. Springer. ISBN 978-3540758587.
• Orlik, Peter; Welker, Volkmar (2007). Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. MR 2322081.
• "Discrete Morse theory". nLab.