오일러 운동 법칙

고전역학에서 오일러의 운동 법칙은 점입자에 대한 뉴턴의 운동 법칙을 강체 운동으로 확장한 운동 방정식입니다.^[1] 그것들은 아이작 뉴턴이 그의 법칙을 공식화한 후 약 50년 후에 레온하르트 오일러에 의해 공식화되었습니다.

개요

오일러 제1법칙

오일러의 제1법칙은 강체의 선운동량 변화율은 강체에 작용하는 모든 외력 $F$ 의_ext 결과와 같다는 것입니다.^[2]

{\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} {dt}}.

물체를 구성하는 입자들 사이의 내부 힘은 동등하고 반대의 힘이 존재하기 때문에 물체의 운동량을 변화시키는 데 기여하지 않습니다.^[3]

강체의 선운동량은 물체의 질량과 질량 중심 $v$ 의_cm 속도의 곱입니다.^[1]^[4]^[5]

오일러 제2법칙

오일러의 제2법칙에 따르면 관성 기준틀에 고정된 점에 대한 $각운동량$ L의 변화율은 그 점에 대해 그 물체 $M$ 에 작용하는 외부 힘 모멘트의 합과 같습니다.^[1]^[4]^[5]

\mathbf {M} = {d\mathbf {L} \over dt}

위의 공식은 M과 L이 모두 고정된 관성 프레임 또는 관성 프레임과 평행하지만 질량 중심에 $고정$ 된 $프레임$ 에 대해 계산된 경우에만 성립합니다. 2차원으로만 변환 및 회전하는 강체의 경우 다음과 같이 표현할 수 있습니다.^[6]

\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}m+I{\bold 기호 {\alpha}},

위치:

$r$ 은_cm 순간이 합산되는 지점을 기준으로 한 물체의 질량 중심의 위치 벡터입니다.
$a$ 는_cm 물체의 질량 중심의 선형 가속도입니다.
$m$ 은 몸의 질량이고,
$α$ 는 물체의 각가속도이고,
$나$ 는 질량 중심에 대한 몸의 관성 모멘트입니다.

오일러 방정식(강체 동역학)도 참조하십시오.

설명 및 도출

변형 가능한 몸체에서 내부 힘의 분포가 반드시 전체적으로 동일한 것은 아닙니다. 즉, 응력은 한 지점마다 다릅니다. 이와 같이 몸 전체의 내부 힘의 변화는 뉴턴의 선운동량과 각운동량 보존 제2법칙에 의해 지배되는데, 이 법칙은 가장 간단한 용도로 질량 입자에 적용되지만 연속체 역학에서 연속적으로 분포된 질량체로 확장됩니다. 연속체의 경우 이 법칙들은 오일러 운동 법칙이라고 불립니다.^[7]

질량 $m$ , 질량 밀도 ρ 및 부피 V를 가진 연속체에 적용되는 총 체력은 체의 부피에 적분된 부피 적분입니다.

\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

여기서 $b$ 는 단위 질량당 신체에 작용하는 힘(가속도의 차원, 잘못하여 "체력"이라고 함)이며 $dm$ = ρ dV는 신체의 무한히 작은 질량 요소입니다.

신체에 작용하는 신체의 힘과 접촉력은 주어진 지점에 상대적으로 해당하는 힘의 순간(토크)으로 이어집니다. 따라서 원점에 대한 총 인가 토크 $M$ 은 다음과 같습니다.

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}

여기서 $M$ 과_B $M$ 은_C 각각 신체와 접촉력에 의한 모멘트를 나타냅니다.

따라서 신체에 작용하는 모든 가력과 토크의 합은 부피와 표면 적분의 합으로 나타낼 수 있습니다.

\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV

\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C} =\int _{S}\mathbf {r} \times \dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.

여기서 $t$ = $t$ ( $n)$ 은 표면 견인이라고 하며, 몸체의 표면 위에 통합되며, $n$ 은 단위 벡터를 정규적이고 표면 $S$ 의 바깥쪽을 향합니다.

좌표계 ( $x,$ $x,$ $x)$ 를 관성 기준 프레임, $r$ 을 좌표계 원점에 대한 연속체 내 점 입자의 위치 벡터, v = $dr$ /dt를 $해당$ 점의 속도 벡터라고 합니다.

오일러의 첫 번째 공리 또는 법칙(선운동량 또는 힘의 균형의 법칙)은 관성 프레임에서 연속체의 임의의 부분의 선운동량 $p$ 의 시간 변화율은 그 부분에 작용하는 총 $가력$ F와 같으며, 이는 다음과 같이 표현됩니다.

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p}{dt}}&=\mathbf {F}\{\frac {dt}}\int_{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int_{S}\mathbf {t} \,dS+\int_{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{align}}

오일러의 두 번째 공리 또는 법칙(각운동량 또는 토크의 균형의 법칙)은 관성 프레임에서 연속체의 임의의 부분의 각운동량 $L$ 의 시간 변화율은 그 부분에 작용하는 총 인가 토크 $M$ 과 같으며, 다음과 같이 표현됩니다.

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L}}{dt}}&=\mathbf {M}\{\frac {dt}}\int_{V}\mathbf {r} \rho \mathbf {v} \,dV&=\int_{S}\mathbf {r} \t \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \t \mathbf {b} \rho \,dV.\end{align}}

여기서 $\mathbf {v}$ ${\$ 는 $\mathbf {v}$ 속도, $V$ $V$ 는 $V$ 볼륨, $p$ 와 $L$ 의 도함수는 재료 도함수입니다.

참고 항목

레온하르트 오일러의 이름을 딴 주제 목록
강체회전에 관한 오일러의 법칙
6개의 성분을 가진 뉴턴-유러 운동 방정식, 오일러의 두 법칙을 하나의 방정식으로 결합.

참고문헌

^ ^a ^b ^c McGill and King (1995). Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics (3rd ed.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8.
^ 강체 운동방정식 검색 2021-06-06
^ Gray, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Engineering Mechanics: Dynamics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
^ ^a ^b Euler's Laws of Motion. Retrieved 2009-03-30.
^ ^a ^b Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. p. 355. ISBN 978-0-521-85811-3.
^ Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF). Oxford University Press. p. 771. Retrieved 2011-10-18.
^ Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised ed.). Dover Publications. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archived from the original (PDF) on 2010-03-31.

[McGillKing-1] McGill and King (1995). Engineering Mechanics, An Introduction to Dynamics (3rd ed.). PWS Publishing Company. ISBN 0-534-93399-8.

[2] 강체 운동방정식 검색 2021-06-06

[Gray-3] Gray, Gary L.; Costanzo, Plesha (2010). Engineering Mechanics: Dynamics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.

[BookRags-4] Euler's Laws of Motion. Retrieved 2009-03-30.

[Rao-5] Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. p. 355. ISBN 978-0-521-85811-3.

[6] Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF). Oxford University Press. p. 771. Retrieved 2011-10-18.

[Lubliner-7] Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised ed.). Dover Publications. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archived from the original (PDF) on 2010-03-31.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Search