오일러법

오일러 방법에 대한 설명입니다.알 수 없는 곡선은 파란색이며 다각형 근사치는 빨간색입니다.

수학과 계산 과학에서, 오일러 방법(Forward Oiler method라고도 함)은 주어진 초기 값으로 상미분 방정식(ODE)을 풀기 위한 1차 수치 절차이다.이것은 상미분방정식의 수치적분을 위한 가장 기본적인 명시적 방법이며 가장 간단한 룽게-쿠타 방법이다.오일러 방법은 그의 책 Institutionum calculi integrialis (1768–1870)^[1]에서 그것을 다룬 레온하르트 오일러의 이름을 따서 명명되었다.

오일러 방법은 1차 방법이며, 이는 국소 오차(단계당 오차)가 단계 크기의 제곱에 비례하고, 전역 오차(특정 시간에서의 오차)가 단계 크기에 비례함을 의미합니다.오일러 방법은 더 복잡한 방법(예: 예측-수정자 방법)을 구성하는 기초가 되는 경우가 많다.

비공식 기하학적 설명

주어진 지점에서 시작하여 주어진 미분 방정식을 만족하는 알 수 없는 곡선의 모양을 계산하는 문제를 고려합니다.여기서 미분방정식은 곡선에 대한 접선의 기울기가 곡선상의 임의의 점에서 계산될 수 있는 식이라고 생각할 수 있다.

원근법은 처음에는 곡선을 알 수 없지만 시작점 $(A$ 0 , \ $displaystyle$ A_{ $0})$ 을 $A_{0},$ 알 수 있다는 것입니다(오른쪽 그림 참조).다음으로 미분방정식으로부터 $A_{0}$ 0 $(\$ 0 $A_{0}$ })에서의 곡선에 대한 기울기를 계산할 수 있으므로 접선이 됩니다.

접선을 따라 A $A_{1}.$ $A_{1}.$ 까지 작은 걸음 내딛습니다 $.$ {\ $displaystyle A_{1}.$ 이 작은 걸음으로 기울기가 크게 변하지 $A_{1}$ A $A_{1}$ {\ $displaystyle A_{1}}$ 은 $A_{1}.$ $A_{1}$ (는) 곡선에 가깝습니다. $A_{1}$ 1 $({$ 이 $A_{1}$ 아직 곡선상에 있다고 $가정$ 하면 위의 A 0 $({$ displaystyle $A_{0}$ $A_{0})$ $A_{0}$ 과 동일한 추론을 사용할 수 있습니다.여러 단계 후 다각형 $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ A $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ A $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ … $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ { $displaystyle A$ _ { $0$ } $A$ _ ${$ } $A_{2}A_{3}\dots}$ 가 $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ 계산된다.일반적으로 이 곡선은 원래 미지의 곡선에서 너무 멀리 떨어지지 않으며, 스텝 크기가 충분히 작고 계산 간격이 ^[2]유한하면 두 곡선 사이의 오차를 줄일 수 있습니다.

y'(t)=fbigl(}t,y(t){\bigr}),\qquad y(t_{0})=y_{0}.

각 스텝의 크기에 $대해$ 값 h $(\displaystyle$ h $)$ 를 $h$ 선택하고 t $t_{n}=t_{0}+nh$ $=$ $t_{n}=t_{0}+nh$ 0 + $t_{n}=t_{0}+nh$ h $(\display t_{n$ }= $t_{0}+nh$ 를 $t_{n}=t_{0}+nh$ 합니다. $t_{n}$ n $({$ 에서 $t_{n}$ t $t_{n+1}=t_{n}+h$ + $t_{n+1}=t_{n}+h$ $=$ $t_{n+1}=t_{n}+h$ + $t_{n+1}=t_{n}+h$ ({ $displaystyle t_{n+1$ }= $t_{n}+h)$ 까지의 $t_{n+1}=t_{n}+h$ 오일러 방법의 한 단계는 다음과 같습니다.^[3]

\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}

$(\$ $n$ })의 $y_{n}$ 값은 $t_{n}$ tn $(\$ n $t_{n}$ : $y_{n}\approx y(t_{n})$ $y_{n}\approx y(t_{n})$ ( $y_{n}\approx y(t_{n})$ n $){displaystyle y_{n}\approx$ y $(t_n$ 의 ODE에 대한 솔루션의 근사치입니다.Oiler 방법은 명시적입니다. $y_{n+1}$ , y $y_{n+1}$ n + $y_{n+1}$ (\ $displaystyle y_{n+$ 1 $y_{n+1}$ })은 i $(\displaystyle$ $i$ $\leq n$ 에 $i\leq n$ $y_{i}$ i $(\$ y_ ${i})$ 의 $y_{i}$ $y_{i}$ 함수입니다.

오일러 방법은 1차 ODE를 통합하지만 $,$ $N차$ ODE(\ $displaystyle$ N $)$ 는 $N$ 1차 ODE의 시스템으로 표현될 수 있다: 방정식을 처리한다.

\displaystyle y^{(N)}(t)=f\left(t,y(t),y'(t),\ldots,y^{(N-1)}(t)\right,}

보조 $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ 1 $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) , $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ 2 $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ , $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ … , $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ N ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) $=$ ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ - $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) ( $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ ) { $displaystyle z_{1}(t$ )= $y(t), z_{2}(t),\ldots,z_{N}(Y)={$ N}(t)를 소개한다.

\displaystyle \mathbf {z} '(t)=syslog {pmatrix}z_{1}'(t)\vdots \\z_{N-1}'(t)\end {pmatrix}=sbegin {pmatrix}y'y'(t)\\\vots\y(n)^1(N)

이것은 $\mathbf {z} (t)$ z ( $\mathbf {z} (t)$ ) \ $displaystyle \mathbf {z}$ ( $t)}$ 의 $\mathbf {z} (t)$ 1차 시스템이며, 오일러의 방법 또는 사실상 1차 시스템에 ^[4]대한 다른 스킴으로 처리할 수 있습니다.

예

초기값 문제가 있는 경우

y'=y,\display y(0)=1,

오일러 방법을 사용하여 y $y(4)$ ( 4 $y(4)$ ) $y(4)$ \ $displaystyle$ y ( $4$ $y(4)$ ^[5]을 $y(4)$ 합니다.

1과 같은 단계 크기 사용( $h$ = $1$ )

y'=y,y(0)=1.

y'=y,y(0)=1.

y'=y,y(0)=1.

,

y'=y,y(0)=1.

( 0

y'=y,y(0)=1.

)

=

.

파란색

은 오일러 방법, 녹색은 중간점 방법, 빨간색은

y=e^{t}.

한 해,

y=e^{t}.

=

y=e^{t}.

.

y=e^{t}.

\

display

y'=

y,

y(

0)=

1

.

t

y'=y,y(0)=1.

.

} 스텝

y=e^{t}.

h=1.0.

는 h

h=1.0.

.

0

입니다

.{

displaystyle h

=

h=1.0.

1.0

h=1.0.

}

오일러 방법은

\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}

$f(t_{0},y_{0})$ 먼저 f $f(t_{0},y_{0})$ ( $f(t_{0},y_{0})$ , y $f(t_{0},y_{0})$ ) { $displaystyle f$ ( $t _$ { 0 , y _ { $f(t_{0},y_{0})$ 0 ) $f(t_{0},y_{0})$ 。 $이$ 간단한 미분 방정식에서f { $display$ $style$ f}는 $f$ $f(t,y)=y$ f ( $f(t,y)=y$ , $f(t,y)=y$ ) $=$ { $display$ f $(t$ , y )로 $f(t,y)=y$ 됩니다.

f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1

위의 단계를 수행하여 솔루션 곡선에 접하는 선의 기울기를 점 $(0,1)$ ( $0,$ ) {displaystyle $(0,1)}$ {\ $displaystyle$ (0,1)} ${\$ $displaystyle$ t $}$ $y$ $}$ Y ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}}$ t {\ $textstyle$ (\ $delta)$ {\t $}$ 의 $변화$ 로 $t$ 한다는 점에 유의하십시오. ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}}$

다음 단계에서는 위의 값에 $스텝사이즈$ h(\ $displaystyle$ h $h$ 를 곱합니다.이 값은 다음과 같습니다.

h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1

스텝 사이즈는 t $\displaystyle$ 의 변화이므로 스텝 사이즈와 접선의 기울기를 곱하면 y $\display$ y 값이 $y$ 합니다 $y$ .그런 다음 이 값은 계산에 사용할 다음 값을 얻기 위해 $초기$ y $\display$ y 값에 $y$ 추가됩니다.

\displaystyle y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.}

위의 절차를 반복하여 $(\$ $(\$ $y_{4}$ $(\$ 를 찾습니다.

({displaystyle {aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\y_{3}&=y_{2}+h(y_{2}=4+1\cdot 4=8,\y_{3})\end { aligned}}

이 알고리즘은 반복적인 특성으로 인해 아래와 같이 계산을 차트 형태로 구성하면 오류를 방지할 수 있습니다.

$n$	$y_{n}$	$t_{n}$	$\displaystyle f(t_{n}, y_{n})$	$(\displaystyle h)$	$(\displaystyle\Delta y)$	$y_{n+1}$
0	1	0	1	1	1	2
1	2	1	2	1	2	4
2	4	2	4	1	4	8
3	8	3	8	1	8	16

이 계산의 결론은 y $y_{4}=16$ $=$ $({displaystyle y_{4$ }= $16$ 입니다.미분방정식의 정확한 해는 $y(t)=e^{t}$ ( $y(t)=e^{t}$ ) $y(t)=e^{t}$ $y(t)=e^{t}$ t $y(t)=e^{t}$ \ $displaystyle$ $y(t)=e^{t}$ y ( t ) $= e^$ { $t$ 이므로 $y(4)=e^{4}\approx 54.598$ y ( $4$ ) $=$ $y(4)=e^{4}\approx 54.598$ . $598$ 이다. $그러나$ 이 경우 특히큰 $h$ 으로 인해 오일러 $방법의 근사치$ 는 그다지 정확하지 않았다.그림에서 알 수 있듯이 그 행동은 질적으로 정확하다.

다른 스텝 사이즈 사용

h

h=0.25.

같은 그림입니다.

(\displaystyle h=0.25).

}

도입부에서 제시한 바와 같이, 오일러 방법은 스텝 $크기$ h $\displaystyle$ h가 $h$ 작을수록 정확합니다.다음 표는 단계 크기가 다른 결과를 보여 줍니다.맨 위 행은 이전 섹션의 예에 해당하며 두 번째 행은 그림에 나와 있습니다.

스텝 사이즈	오일러 방법의 결과	에러
1	16.00	38.60
0.25	35.53	19.07
0.1	45.26	09.34
0.05	49.56	05.04
0.025	51.98	02.62
0.0125	53.26	01.34

표의 마지막 열에 기록된 오류는 t $= 4$ 에서 $t=4$ $t=4$ 한 해와 $t=4$ 오일러 $근사치$ 사이의 차이입니다.표 하단의 스텝사이즈는 이전 행의 스텝사이즈의 절반이며 오류도 이전 행의 오류의 약 절반입니다.이는 오차가 스텝크기에 거의 비례한다는 것을 나타냅니다.최소한 스텝크기의 값이 매우 작을 경우에는요.이는 일반적으로 다른 방정식에 대해서도 마찬가지입니다.자세한 내용은 "Global truncation error" 섹션을 참조하십시오.

그림에 나와 있는 중간점 방법과 같은 다른 방법은 더 유리하게 동작합니다. 중간점 방법의 전역 오차는 스텝 크기의 제곱에 거의 비례합니다.따라서 오일러 방법은 1차 방법이고 중간점 방법은 2차 방법이라고 한다.

위의 표에서 소수점 이하 3자리까지의 정답을 얻기 위해 필요한 스텝 사이즈는 약 0.00001로 추정할 수 있습니다.즉, 400,000 스텝이 필요합니다.이렇게 많은 스텝은 높은 계산 비용을 수반합니다.이러한 이유로 특히 높은 정확도가 ^[6]필요한 경우 Runge-Kutta 방법이나 선형 다단계 방법 등 고차 방법을 사용한다.

파생

오일러 방법은 여러 가지 방법으로 도출될 수 있다.첫째, 위의 기하학적 설명이 있습니다.

또 다른 방법으로는 $t_{0}$ 0 $({$ $t_{0}$ 의 $함수$ y(\ $displaystyle$ y $)$ 의 $y$ Taylor 확장을 고려할 수 있습니다.

\displaystyle y(t_{0}+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}y'(t_{0})+O\left(h^{3}\right).}

미분방정식은 y $y'=f(t,y)$ $=$ ( $y'=f(t,y)$ , $y'=f(t,y)$ ) { $displaystyle$ y'= $f(t,y$ 라고 기술하고 있으며, 이것이 Taylor 확장으로 대체되고 2차 이상의 항이 무시되면 오일러 방법이 발생합니다.^[7]테일러 팽창은 오일러 방법에 의해 커밋된 오차를 분석하기 위해 아래에 사용되며, 룽게-쿠타 방법을 생성하기 위해 확장될 수 있다.

밀접하게 관련된 도함수는 미분을 정방향 유한 차분 공식으로 대체하는 것이다.

\displaystyle y'(t_{0})\약 {y(t_{0}+h)-y(t_{0})}{h}}

미분 $y'=f(t,y)$ y ′ $=$ ( $y'=f(t,y)$ , $y'=f(t,y)$ y $y'=f(t,y)$ ) { $displaystyle$ y'= $f(t,y$ 다시, 이것은 오일러 ^[8]방법을 산출합니다.유사한 연산은 중간점 방법과 역오일러 방법으로 이어진다.

마지막으로 t $({$ 부터 $t_{0}$ $t_{0}+h$ 0 $({displaystyle t_{0}+h})$ 까지의 $t_{0}+h$ 미분방정식을 통합하여 미적분의 기본정리를 적용하여 다음을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle y(t_{0}+h)-y(t_{0}=\int_{t_{0}+h}fgbigl(}t,y(t){\bigr}},\mathrm {d}t}t.

이제 왼쪽 직사각형 방법(사각형 하나만 있음)으로 적분을 근사합니다.

\displaystyle \int _{t_{0}+h}fbigl (}t,y(t){\bigr}),\mathrm {d}t\approx hfbigl (}t_{0}{\bigr}}}}.}

두 방정식을 조합하면 오일러 ^[9]방법을 다시 찾을 수 있다.이러한 사고방식은 다양한 선형 다단계 방법에 계속 도달할 수 있다.

로컬 잘라내기 오류

오일러 방법의 국소 잘라내기 오류는 한 단계에서 발생한 오류입니다.1단계 후의 $y_{1}$ 해 $({$ 과 $t_{1}=t_{0}+h$ $t_{1}=t_{0}+h$ $=$ $t_{1}=t_{0}+h$ + $t_{1}=t_{0}+h$ ({ $displaystyle t_{1$ }= $t_{0}+h$ 의 차이입니다.수치 해법은 다음과 같습니다.

\displaystyle y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).}

정확한 솔루션에는 위의 파생 섹션에서 언급된 Taylor 확장을 사용합니다.

\displaystyle y(t_{0}+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}y'(t_{0})+O\left(h^{3}\right).}

오일러 방법에 의해 도입된 국소 절단 오차(LTE)는 다음 방정식 간의 차이로 나타납니다.

\mathrm {LTE} = y(t_{0}+h)-y_{1}=sqtfrac {1}{2}y'(t_{0})+O\left(h^{3}\right).

이 결과는 y $\displaystyle$ y에 $y$ 유계된 세 번째 ^[10]도함수가 있는 $y$ 에 유효합니다.

$h$ 는 작은h(\ $displaystyle$ h $h$ 의 경우 로컬 잘라내기 오류가 $(\$ h $^{2$ 에 $h^{2}$ 비례함을 나타냅니다.이 $h$ 에 오일러 방법은 작은h(\ $displaystyle$ h $h$ 의 경우 로컬 t에 대한 Runge-Kutta 방법이나 선형 단계 방법 등 다른 고차 기술보다 정확도가 떨어집니다.런케이션 오차는 스텝 크기의 더 큰 검정력에 비례합니다.

국소 잘라내기 오차에 대한 약간 다른 공식은 테일러 정리의 나머지 항에 대해 라그랑주 형식을 사용하여 얻을 수 있다. $y에$ 연속적인 2차 도함수가있는 $경우$ 다음과 같은 $\xi \in [t_{0},t_{0}+h]$ $\xi \in [t_{0},t_{0}+h]$ 0 , $\xi \in [t_{0},t_{0}+h]$ + $]{$ $displaystyle \xi \in$ [ $t$ _ { $0$ , $t$ _ { $0$ } + $h$ }가 $\xi \in [t_{0},t_{0}+h]$ 존재합니다.

\mathrm {LTE} = y(t_{0}+h)-y_{1}=sqtfrac {1}{2}h^{2}y'(\xi)

^[11]

위의 오차 표현에서 $미지정확해 y의$ 2차 도함수는 미분방정식의 우측을 포함하는 표현으로 치환할 수 있다.실제로, $y'=f(t,y)$ ( $=$ ( t $y'=f(t,y)$ , $y'=f(t,y)$ ) { $displaystyle y'=f(t$ ,y $)}$ $y'=f(t,y)$ 에서 $y'=f(t,y)$ ^[12] 다음과 같은 결과가 나옵니다.

\displaystyle y'(t_{0})=bigl(}t_{0},y(t_{0}){\bigr}+{\frac {\bigl(}t_{0},y(t_{0}){\bigr},frac {\frac f},y(t_0})}

전역 잘라내기 오류

글로벌 잘라내기 오류는 메서드가 초기 시간부터 해당 시간에 도달하기 위해 수행해야 하는 몇 단계 이후의 $고정$ 시간t\ $displaystyle$ t $t$ 오류입니다.글로벌 잘라내기 오류는 각 ^[13]단계에서 커밋된 로컬 잘라내기 오류의 누적 효과입니다.스텝의 수는 t ${\textstyle {\frac {t-t_{0}}{h}}}$ - ${\textstyle {\frac {t-t_{0}}{h}}}$ 로 쉽게 결정되며, 이는 $(\textstyle {1}{h$ 에 비례하며, 각 스텝에서 발생하는 오차는 $(\$ h $^2})$ 에 비례한다(앞 섹션 참조).따라서 글로벌 잘라내기 오류는 h $(\displaystyle$ h $h$ ^[14]에 비례할 것으로 예상됩니다.

이 직관적인 추론은 정확하게 만들어질 수 있다. $솔루션$ y {\ $displaystyle$ y $}$ 가 $y$ 경계된 두 번째 도함수를 $가지며$ f{\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 두 번째 인수에서 Lipschitz continuous인 경우 전역 잘라내기 오류(GTE)는 다음과 같이 경계됩니다.

디스플레이 스타일GTE} \leq { frac { hM } { 2L } \ left ( e ^ { L ( t - t _ { 0 } ) } - 1 \ right }

$M$ 서 M $(\displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 지정된 간격의y(\ $displaystyle$ y $)$ 의 $y$ 두 번째 도함수 상한이고 $L$ (\ $displaystyle$ L $)$ 은 $L$ f $(\displaystyle$ f $f$ ^[15]의 립시츠 상수입니다.

대부분의 경우 경계가 오일러 ^[16]방법에 의해 저질러진 실제 오류를 크게 과대평가하기 때문에 이 경계의 정확한 형태는 실질적으로 거의 중요하지 않습니다.중요한 것은 글로벌 잘라내기 오차가 ( $약) h$ 에 $h$ 비례한다는 것을 보여주는 것이다.이 때문에 오일러법은 ^[17]1차라고 한다.

수치 안정성

단계 크기

h=1

h=1

(

y'=-2.3y

정사각형

)

및

h=0.7

=

원)의 오일러 방법으로 계산한 y

y'=-2.3y

=

-

y'=-2.3y

.

y'=-2.3y

y

(

표시

스타일

y'=-2.3

y)

의

y'=-2.3y

해.검은색 곡선은 정확한 해결책을 보여줍니다.

오일러 방법은 특히 딱딱한 방정식의 경우 수치적으로 불안정할 수 있으며, 이는 정확한 해답이 아닌 방정식의 경우 수치 해답이 매우 크다는 것을 의미합니다.이것은 선형 방정식을 사용하여 설명할 수 있다.

\displaystyle y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.}

정확한 해는 $y(t)=e^{-2.3t}$ ( $y(t)=e^{-2.3t}$ ) $y(t)=e^{-2.3t}$ - $y(t)=e^{-2.3t}$ ( \ $displaystyle$ $y(t)=e^{-2.3t}$ y ( t ) $t\to \infty$ $e^{$ - $2$ . 3 t $t\to \infty$ ) 입니다. 단, $h=1$ 사이즈 h $h=1$ \ $displaystyle$ h $=$ 1 \ $infty$ $t\to \infty$ $h=1$ 인 이 방정식에 오일러 방법을 적용하면 수치 해는 질적으로 잘못됩니다.진동하고 커집니다(그림 참조).이게 불안정하다는 뜻이에요.예를 $h=0.7$ h $h=0.7$ $(\displaystyle$ h $=0.7$ 과 같이 작은 스텝 크기를 사용하면 수치 해는 0으로 감소합니다.

분홍색 원반은 오일러 방법의 안정성 영역을 나타냅니다.

오일러 $y'=ky$ 을 선형 $y'=ky$ y $=$ y {\ $displaystyle$ y $'=$ ky $y'=ky$ 에 적용한 경우, $제품$ h $k$ {\ $displaystyle$ hk $}$ 가 $hk$ 영역 밖에 있으면 수치 해법이 불안정합니다.

{\displaystyle {\bigl \{}z\in \mathbf {C}, {\big}, z+1 \leq 1 {\bigr \}},

오른쪽 그림입니다.이 영역을 (선형) 안정성 ^[18]영역이라고 합니다. $k=-2.3$ 에서 k $=$ - 2 $({displaystyle$ k=-2 $.3)$ 이므로 $k=-2.3$ h $h=1$ $({displaystyle$ h $=$ $1$ })이면 $h=1$ h $hk=-2.3$ $hk=-2.3$ - $.$ 3({ $displaystyle$ hk=- $2)$ 입니다. $3$ 은 안정영역 밖에 있기 때문에 수치해는 불안정하다.

이러한 제한은 h $(\displaystyle$ h $)$ 와의 느린 오차 수렴과 함께 수치 적분의^{[citation needed]} 단순한 예를 제외하고 오일러 방법이 자주 사용되지 않음을 의미한다.

반올림 오류

오일러 방법의 $스텝$ n(\ $displaystyle$ n $)$ 에서 $n$ 반올림 오차는 대략 크기 $\varepsilon y_{n}$ y $\varepsilon y_{n}$ n $(\displaystyle\varepsilon y_{$ n $\varepsilon y_{n}$ })이며, 여기서 $\varepsilon$ \ $displaystyle\varepsilon$ 은 기계 $\varepsilon$ 엡실론이다.반올림 오차가 독립 랜덤 변수라고 가정하면 예상되는 총 반올림 오차는 ${\textstyle {\frac {\varepsilon }{\sqrt {h}}}}$ h {\ $frac {varepsilon }{\sqrt {$ h ${\textstyle {\frac {\varepsilon }{\sqrt {h}}}}$ ^[19]에 비례합니다.따라서 스텝 사이즈의 값이 매우 작을 경우 잘라내기 오차는 작지만 반올림 오차의 효과는 클 수 있습니다.오일러 ^[20]방법에 대한 공식에 보정 합계를 사용하면 반올림 오차의 효과의 대부분을 쉽게 피할 수 있다.

변경 및 확장

위에서 언급한 안정성 문제를 제거하는 오일러 방법의 간단한 수정은 역방향 오일러 방법입니다.

({displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}

이는 함수 $\displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 시작점이 아닌 스텝의 끝점에서 평가된다는 점에서 (표준 또는 순방향) 오일러 방법과 다릅니다.역방향 오일러 방법은 암묵적 방법이며, 역방향 오일러 방법의 공식은 양변에 $y_{n+1}$ n + $y_{n+1}$ ({ $displaystyle y_{n+1})$ 을 $y_{n+1}$ $y_{n+1}$ 역방향 오일러 방법을 적용할 때 방정식을 풀어야 합니다.그 때문에, 실장 코스트가 높아집니다.

안정성에 도움이 되는 오일러 방법의 다른 수정은 지수 오일러 방법 또는 반암묵적 오일러 방법을 산출합니다.

복잡한 방법은 높은 차수(및 정확도)를 달성할 수 있습니다.한 가지 방법은 기능 평가를 더 많이 사용하는 것입니다.이는 이 문서에서 이미 언급한 미드포인트 방식으로 설명되어 있습니다.

y

n +

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

+

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

f (

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

n +

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

h ,

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

+

1

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

h

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

(

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

n ,

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

n )

= y

_ { n

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)

} +

hf

\

left

(

t_

{ n } +

{\ tfrac

{1} {2

}}h

,

y_n}

{

tfrac

{

2

h } { t }

이를 통해 룽게-쿠타 메서드 패밀리로 이어집니다.

또 다른 방법은 2단계 애덤스-배쉬포스 방법에서 알 수 있듯이 더 많은 과거 값을 사용하는 것이다.

\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {3}{2}hf(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}hf(t_{n-1},y_{n-1}).}

이를 통해 선형 다단계 방법 모음이 생성됩니다.메모리 사용을^[21] 최소화하기 위해 압축 감지 기술을 사용하는 다른 수정 사항도 있습니다.

대중문화에서

영화 히든 피규어에서 캐서린 고블은 지구 ^[22]궤도에서 우주인 존 글렌의 재진입을 계산하기 위해 오일러 방법을 사용한다.

「」를 참조해 주세요.

크랭크-니콜슨법
구배 강하에서도 마찬가지로 유한 단계를 사용하여 기능의 최소값을 구한다.
룽게-쿠타 방식 목록
선형 다단계법
수치 적분(확정 적분 계산용)
상미분방정식의 수치방법

메모들

^ Butcher 2003, 페이지 45; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 35
^ 앳킨슨 1989, 342페이지; Butcher 2003, 60페이지
^ Butcher 2003, 페이지 45; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 36
^ Butcher 2003, 페이지 3; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 2
^ 앳킨슨 1989, 페이지 344 참조
^ Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 40
^ 앳킨슨 1989, 342페이지; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 36페이지
^ 앳킨슨 1989, 342페이지
^ 앳킨슨 1989, 343페이지
^ Butcher 2003, 페이지 60
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^ Stoer & Bulirsch 2002, 페이지 474
^ 앳킨슨 1989, 344페이지
^ Butcher 2003, 페이지 49
^ 앳킨슨 1989, 346페이지; 라코바 2012, 방정식 (1.16)
^ Iserles 1996, 7페이지
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^ Butcher 2003, 페이지 70; Iserles 1996, 페이지 57
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^ Butcher 2003, 75-78페이지
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^ Khan, Amina. "Meet the 'Hidden Figures' mathematician who helped send Americans into space". Los Angeles Times. Retrieved 12 February 2017.

레퍼런스

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Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-412-8.
Butcher, John C. (2003). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-96758-3.
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
Iserles, Arieh (1996). A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55655-2.
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3.
Lakoba, Taras I. (2012), Simple Euler method and its modifications (PDF) (Lecture notes for MATH334), University of Vermont, retrieved 29 February 2012
Unni, M P. (2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing". 2017 IEEE 13th International Colloquium on Signal Processing & its Applications (CSPA). IEEE CSPA. pp. 79–84. doi:10.1109/CSPA.2017.8064928. ISBN 978-1-5090-1184-1. S2CID 13082456.

외부 링크

위키미디어 커먼스의 오일러 방법 관련 매체
로제타 코드에 의한 다른 언어의 오일러 방법 구현
"Euler method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Butcher 2003, 페이지 45; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 35

[2] 앳킨슨 1989, 342페이지; Butcher 2003, 60페이지

[3] Butcher 2003, 페이지 45; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 36

[4] Butcher 2003, 페이지 3; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 2

[5] 앳킨슨 1989, 페이지 344 참조

[6] Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 페이지 40

[7] 앳킨슨 1989, 342페이지; Hairr, Nörsett & Wanner 1993, 36페이지

[8] 앳킨슨 1989, 342페이지

[9] 앳킨슨 1989, 343페이지

[10] Butcher 2003, 페이지 60

[11] 앳킨슨 1989, 342페이지

[12] Stoer & Bulirsch 2002, 페이지 474

[13] 앳킨슨 1989, 344페이지

[14] Butcher 2003, 페이지 49

[15] 앳킨슨 1989, 346페이지; 라코바 2012, 방정식 (1.16)

[16] Iserles 1996, 7페이지

[17] Butcher 2003, 페이지 63

[18] Butcher 2003, 페이지 70; Iserles 1996, 페이지 57

[19] Butcher 2003, 74-75페이지

[20] Butcher 2003, 75-78페이지

[21] Unni, M. P.; Chandra, M. G.; Kumar, A. A. (March 2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing". 2017 IEEE 13th International Colloquium on Signal Processing Its Applications (CSPA): 79–84. doi:10.1109/CSPA.2017.8064928. ISBN 978-1-5090-1184-1. S2CID 13082456.

[22] Khan, Amina. "Meet the 'Hidden Figures' mathematician who helped send Americans into space". Los Angeles Times. Retrieved 12 February 2017.

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[22]

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목차

비공식 기하학적 설명

예

1과 같은 단계 크기 사용( $h$ = $1$ )

다른 스텝 사이즈 사용

파생

로컬 잘라내기 오류

전역 잘라내기 오류

수치 안정성

반올림 오류

변경 및 확장

대중문화에서

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1과 같은 단계 크기 사용( $h$ = $1$ )

「」를 참조해 주세요.