급성장하는 계층

계산가능성 이론, 계산 복잡도 이론, 증명 이론에서, 빠르게 성장하는 계층(확장 Grzegorczyk 계층이라고도 함)은 빠르게 증가하는 함수_α f:N → N의 순서형 군이다. (여기서 N은 자연수 {0, 1, ...}의 집합이고 α는 어떤 큰 계산 가능한 순서형까지 확장된다.)주요 예로는 모든 α < >에₀ 대한 확장인 Wainer 계층 또는 Löb-Wainer 계층이 있습니다.이러한 계층은 성장률과 계산 복잡도에 따라 계산 가능한 함수를 분류하는 자연스러운 방법을 제공한다.

정의.

μ가 모든 한계 서수α < μ에 기본 배열이 할당되도록 큰 계수 서수라고 하자(우주가 α인 서수의 엄격히 증가하는 배열).다음으로 α < μ에 대해 함수_α f:N → N의 고속 성장 계층을 다음과 같이 정의한다.

$f_{0}(n)=n+1,$
$f_{\alpha +1}(n)=f_{\alpha }^{n}(n),$
$f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ α ( $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ ) $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ α [ $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ ( $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ ) $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ （ n ） { $displaystyle$ f_{\alpha }(n) = $f_{\alpha$ [ $n]}(n)$ α가 $f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ 한계 서수인 경우.

여기서_αⁿ f(n) = f_α(f_α(...(f_α(n)...))는 n에 적용되는 f의 n회_α 반복을 나타내고^th, α[n]는 한계 서수α에 할당된 기본 배열의^th n개 요소를 나타낸다. (대안 정의는 위의 두 번째 행에서 n이 아닌 n+1이 되도록 한다.)

기능 세트에 반하여 후자는 인덱싱 된 가족은 E. 이 계층의 초기 부분, 그 기능으로 구성된 한정된 인덱스(즉,α<>ω)과 fα는 자주 그 Grzegorczyk 계층을 위해 긴밀한 관계 때문에;그러나, 기능 2의 전 여기 있고 색인된 그 가족, Grzegorczyk 계층이라고 불린다 n ${\displaystyle$ {\ $mathcal {E}}^{n$ (아래 관심 지점 참조)

위의 정의를 더욱 일반화하면 f를 임의의 증가함수 g: N → N으로 하여₀ 고속 반복 계층을 얻을 수 있다.

한계 서수가 θ₀ 이하인 경우 기본 시퀀스에 대한 간단한 자연 정의가 있지만(아래의 Wainer 계층 참조), θ를₀ 넘어서면 그 정의는 훨씬 복잡하다.그러나 이는 페퍼만-슈테 서수를 훨씬₀ 넘어 적어도 바흐만-하워드 서수까지 가능하다.Buchholz psi 함수를 사용하면 이 정의를 $\Pi _{1}^{1}$ 1 $(\$ _ ${1}^1})$ - 이해의 $\Pi _{1}^{1}$ 서수까지 쉽게 확장할 수 있습니다(분석 계층 참조).

재귀 서수를 넘어 완전히 지정된 확장은 가능성이 낮은 것으로 생각된다. 예를 들어 Prӧmel et al.[1991](p.348)는 그러한 시도에서 "서수 표기법에도 문제가 발생할 수 있다"고 언급한다.

Wainer 계층

와이너 계층은 다음과 같이 기본 시퀀스를 정의하여 얻은 함수_α f(α δ δ₀)의 특정 급성장 계층이다 [갤리어 1991][Prmelmel, et al., 1991년]:

칸토어 정규 형식으로 작성된 한계₀ 서수 < < ,의 경우,

= = = ... + ...인 경우^α₁+ α^α_k−1 ... + for^α_k₁ 、 ...δα_k−1 δα_k α, δ[n] = δ^α₁+...+ + + [ [ n^α_k−1^α_k ],
λ = ω^α+1 、 [ [ n ] = ωn^α,
한계 서수α에 대해 θ= θ이면^α θ[n] = θ^α[n],

그리고.

λ = ,이면₀ [Gallier 1991]과 같이 [ [ 0 ] = 0 및 [ [ n + 1 ] = as를^λ[n] 취한다. 또는 [Prӧmel, et al., 1991]과 같이 [ [ 0 ] = 1로 시작하는 것을 제외하고 동일한 시퀀스를 취한다.
n > 0의 경우, 대체 버전은 결과적인 지수 타워에 1개의 추가 µ, 즉 n개의 오메가스를 가진 µ[n] = µ를^{ω^{⋰^ω}} 가집니다.

일부 저자는 약간 다른 정의(예를 들어, "n^α" 대신 "n^α+1" = "n^α+1)를 사용하며, 어떤 저자는 이 계층을 α < "에₀ 대해서만 정의한다(계층으로부터 f 제외_ε₀).

를₀ 넘어서는 경우는, Veblen 계층의 Fundamental 시퀀스를 참조해 주세요.

관심장소

다음으로 급성장하는 계층과 관련된 몇 가지 사항을 제시하겠습니다.

모든_α f는 전체 함수이다.기본 시퀀스가 계산 가능한 경우(예: Wainer 계층에서와 같이_α), 모든 f는 총 계산 가능한 함수이다.
와이너 계층에서 f는_α α < β이면 f에 의해_β 지배된다(어떤 두 함수 f, g: N → N, f는 충분히 큰 n에 대해 f(n) > g(n)이면 g를 지배한다고 한다).바흐만의 속성을 만족시키는 기본적인 순서를 가진 급성장하는 계층구조에서도 같은 속성이 유지됩니다.(이 속성은 대부분의 자연 우물 질서에 적용된다.^{[clarification needed]}
Grzegorczyk 계층 구조에서, 모든 원시 재귀 함수는 α < θ를 가진 f에_α 의해 지배된다.따라서 Wainer 계층에서 모든 원시 재귀 함수는 Ackermann 함수의 변형인 f에 의해_ω 지배됩니다.
n 3 3의 경우 Grzegorczyk 계층의 ${\mathcal {E}}^{n}$ 집합 ${\mathcal {E}}^{n}$ {E}^{ $n}$ 은 ${\mathcal {E}}^{n}$ 충분히 큰 인수에 대해 최대 인수로 평가된 고정 반복_n-1^k f에 의해 제한 시간 내에 계산 가능한 총 다중 인수 함수로 구성됩니다.
와이너 계층에서 α < δ의₀ 모든_α f는 계산 가능하며 Peano 산술에서는 증명 가능한 합계이다.
Peano 산술에서 증명 가능한 모든 계산 가능 함수는 Wainer 계층에서 α < θ를₀ 갖는 f에_α 의해 지배된다.따라서_ε₀ Wainer 계층에서 f는 Peano 산술에서 증명 가능한 전체는 아니다.
굿스타인 함수는 웨이너 계층에서 f와 거의_ε₀ 동일한 성장률(즉, 각 함수는 다른 함수의 고정 반복에 의해 지배됨)을 가지며, α < δ인₀ 모든_α f를 지배하므로, Peano 산술에서 입증할 수 있는 총계는 아니다.
웨이너 계층에서, 만약 α < β < δ이면₀, f는_β 일정한 반복 f에_α^k 의해 제한된 시공간 내의 모든 계산 가능한 함수를 지배한다.
프리드먼의 TREE 함수는 Gallier(1991)가 설명한 급성장 계층에서 f를 지배한다_Γ₀.
함수_α f의 웨이너 계층과 함수_α h의 하디 계층은 모든 α < δ에 대해₀ f = h로 관련된다_α_ω^α.하디 계층은 모든 n = 1에 대해 f(n-1) h_ε₀ h(n) f_ε₀ f(n+1) f f(n+1)라는 의미에서_ε₀ f와_ε₀ h가 동일한 성장률을 갖도록_ε₀ α = ε₀ Wainer 계층에 "연결"된다. (갤리어 1991년)
Girard(1981)와 Cichon & Wainer(1983)는 α가_α 바흐만-하워드 서수일 때 함수 g의 느리게 성장하는 위계가 Wainer 위계의 함수_ε₀ f와 동일한 성장률을 달성한다는 것을 보여주었다.Girard(1981)는 또한 α가 유도 정의의 임의의 유한 반복 이론 ID의_<ω 서수일 때 느리게 성장하는 계층_α g가 f와 같은_α 성장률을 달성한다는 것을 보여주었다. (Wainer 1989년)