자기동형

Automorphism
두 개의 케일리 그래프 간의 매핑, 주기 표기법에서의 순열 및 두 개의 케일리 테이블 간의 매핑으로 나타나는 클라인 4 그룹의 자기동형성입니다.

수학에서, 자기동형이란 수학적인 개체에서 그 개체로의 동형성을 말한다.이것은 어떤 의미에서는 물체의 대칭성이며, 모든 구조를 보존하면서 그 물체와 그 물체를 매핑하는 방법이다.객체의 모든 자기동형 집합은 자기동형 그룹이라고 불리는 그룹을 형성합니다.대략적으로 말하면 물체의 대칭군입니다.

정의.

추상대수의 맥락에서, 수학적 객체는 군, 링, 벡터 공간과 같은 대수 구조이다.자기동형성은 단순히 그 물체와 그 물체의 생물적 동형사상일 뿐이다.(동형사상의 정의는 대수 구조의 유형에 따라 다르다. 예를 들어, 군 동형사, 고리 동형사, 선형 연산자를 참조한다.)

아이덴티티 모르피즘(아이덴티티 맵핑)은 어떤 상황에서는 사소한 자기동형이라고 불립니다.각각 다른 (비동일성) 자기동형은 비자명한 자기동형이라고 불립니다.

자기동형의 정확한 정의는 문제의 "수학적인 물체"의 유형과 정확히 무엇이 그 물체의 "동형"을 구성하느냐에 따라 달라진다.이 단어들이 의미를 갖는 가장 일반적인 설정은 범주 이론이라고 불리는 수학의 추상적인 분야이다.범주 이론은 추상적인 대상과 그 대상들 사이의 형태론을 다룬다.

범주론에서, 자기동형(自動形)은 내형(內形)이며, 동형(同形)이기도 하다.

범주 이론에서 형태론은 반드시 함수가 아니며 개체는 반드시 집합이 아니기 때문에 이것은 매우 추상적인 정의이다.그러나 대부분의 구체적인 설정에서는 오브젝트는 몇 가지 추가 구조로 설정되며 모피즘은 해당 구조를 보존하는 함수가 됩니다.

자기동형군

주요 기사:자기동형군

객체의 자기동형이X집합(적절한 클래스의 집합)을 형성하고, 그리고 나서 그들은 형태론의 구성 아래 그룹을 형성한다.이 그룹을 자기동형성 그룹이라고 부릅니다.X.

클로즈
두 자기동형의 구성은 또 다른 자기동형이다.
연관성
형태론의 구성이 연관성이 있다는 것은 범주의 정의의 일부이다.
신원
정체성은 개체에서 개체로의 정체성 형태론입니다. 이것은 자기 형태론입니다.
반전
정의상 모든 동형사상은 동형사상인 역형을 가지고 있으며, 역형사상 역시 같은 물체의 내형사상이기 때문에 그것은 자기동형사상입니다.

카테고리 C에 있는 오브젝트 X의 자기동형 그룹은 Aut(X)로 표시되며C, 카테고리가 컨텍스트에서 클리어된 경우에는 단순히 Aut(X)로 표시됩니다.

예

  • 집합론에서 집합 X의 원소의 임의의 배열은 자기동형이다.X의 자기동형군은 X의 대칭군이라고도 불린다.
  • 기본 산술에서, 덧셈 대상 군으로 간주되는 정수 집합 Z는 고유한 비정형성 즉 부정(negration)을 가지고 있다.그러나 고리로 간주되는 것은 사소한 자기동형성만을 가지고 있다.일반적으로 부정은 어떤 아벨군의 자기동형이지만 고리나 필드의 자기동형성은 아니다.
  • 그룹 자기동형은 그룹에서 그 자신으로의 그룹 동형입니다.비공식적으로, 이것은 구조가 변경되지 않도록 그룹 요소를 치환한 것입니다.모든 그룹 G에 대해, 이미지가 내부 자기 동형의 그룹 Inn(G)이고 커널이 G의 중심인 자연 군 동형 G → Aut(G)가 있다.따라서, 만약 G가 사소한 중심을 가지고 있다면, 그것은 그 자신의 자기동형 [1]그룹에 포함될 수 있다.
  • 선형 대수학에서, 벡터 공간 V의 내형사상은 선형 연산자 V → V이다. 자기동형은 V 위의 가역 선형 연산자이다.벡터 공간이 유한 차원일 때, V의 자기동형군은 일반 선형군인 GL(V)과 같다. (V의 모든 내형상의 대수 구조는 그 자체로 V와 같은 기저장 위의 대수이며, 그 가역 원소는 정확하게 GL(V)로 구성된다.)
  • 자기장 자기동형성은 자기장으로부터 자기 자신으로의 비사환 동형성이다.유리수(Q)와 실수(R)의 경우 중요하지 않은 필드 자기동형이 존재하지 않는다.R의 일부 서브필드는 중요하지 않은 필드 자기동형을 가지지만 R의 모든 부분까지 확장되지는 않습니다(R에 제곱근을 가진 숫자의 속성을 유지할 수 없기 때문입니다).복소수 C의 경우, R을 R: 복소 활용으로 보내는 고유한 비자명적 자기동형이 존재하지만, 무한히 많은 "야생" 자기동형이 존재한다([2][3]선택의 공리 가정).필드 자기동형은 필드 확장 이론, 특히 갈로아 확장 이론에서 중요합니다.갈로아 확장 L/K의 경우, K를 점으로 고정하는 L의 모든 자기동형의 부분군을 갈로아 확장의 갈로아 군이라고 한다.
  • 고리로서의 4원소(H)의 자기동형군은 스콜렘-노에테르 정리에 의해 내부−1 자기동형이다.[4]이 그룹은 3차원 공간에서의 회전 그룹인 SO(3)와 동형이다.
  • Octonions(O)의 자기동형성 그룹은 예외적인 Lie 그룹2 G입니다.
  • 그래프 이론에서 그래프의 자기동형성은 모서리와 비엣지를 보존하는 노드의 순열이다.특히, 두 개의 노드가 가장자리에 의해 결합되는 경우, 치환된 이미지도 결합됩니다.
  • 기하학에서 자기동형은 공간의 운동이라고 할 수 있다.다음과 같은 전문 용어들도 사용됩니다.

역사

최초의 군 자기동형 중 하나(단순히 점의 자기동형 그룹이 아닌 그룹의 자기동형)는 아일랜드 수학자 윌리엄 로완 해밀턴이 1856년에 그의 아이코시안 미적분학에서 준 것으로, 그는 여기서 2차 자기동형을 [5]발견했다:

μ(\는 완전한 상호관계에 의해 이전의 5번째 인(\displaystyle와 연결되는 새로운 5번째 루트이다.

내부 및 외부 자기동형

주요 기사:내부자기모형과 외부자기모형군

그룹, 링, 리 대수 등 일부 범주에서는 자기동형을 "내부"와 "외부"라는 두 가지 유형으로 구분할 수 있습니다.

그룹의 경우 내부 자기동형은 그룹 자체의 요소에 의한 결합입니다.그룹 G의 각 원소 a에 대해 a에 의한 결합은 θa(g) = aga−1(또는 aga−1; 용도는 변화)로 주어지는 연산 θa : G → G이다.a에 의한 활용이 군 자기동형이라는 것을 쉽게 확인할 수 있다.내부 자기동형은 Inn(G)로 표시되는 Aut(G)의 정규 부분군을 형성하며, 이를 Goursat의 보조군이라고 합니다.

다른 자기동형은 외부자기동형이라고 불린다.몫 그룹 Aut(G) / Inn(G)은 보통 Out(G)로 표시됩니다.사소한 요소가 아닌 요소는 외부 자기 동형을 포함하는 코세트입니다.

단수 링 또는 대수에서도 동일한 정의가 유지되며, 여기서 a는 임의의 가역 요소입니다.리 대수의 경우 정의는 약간 다릅니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorphisms". Mathematical foundations of computational engineering (Felix Pahl translation ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2.
  2. ^ Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine. 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
  4. ^ Handbook of algebra, vol. 3, Elsevier, 2003, p. 453
  5. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

외부 링크