고리동형성

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추상대수의 한 분야인 링 이론에서 링 동형성은 두 링 사이의 구조를 보존하는 기능이다.보다 분명히 R과 S가 링이라면 링 동형성은 f : R → S 함수로서 f는 다음과 같다.^{[1][2][3][4][5][6][7][a]}

추가 보존:

${\displaystyle }$f${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ 모든 a 및 b에 대한$$ R,

곱하기 보존:

${\displaystyle }$f${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) f${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b$)}(R$)$의 모든 a 및 b에 대해$$,

다음을 보존하는 단위(복제적 정체성):

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 1_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1_{}}$ S ${\$ f$(1_{R})=1_{S$

적층 인버스와 적층 아이덴티티도 구조물의 일부분이지만, 이 조건들이 위의 세 가지 조건의 결과이기 때문에 그들 역시 존중받는다고 명시적으로 요구할 필요는 없다.null

덧붙여 f가 편향이라면, 그것의 역 f 역시⁻¹ 고리 동형상이다.이 경우 f를 링 이형성이라고 하고, 링 R과 S를 이형성이라고 한다.링 이론의 관점에서 이형 고리는 구별할 수 없다.null

R과 S가 rng인 경우, 해당 개념은 세 번째 조건 f(1_R) = 1_S. rng 동형성이 아니라 위에서 정의한 rng 동형성의 개념이다.^[b] (유니탈) 고리 사이의 rng 동형성은 고리 동형성이 될 필요가 없다.null

두 개의 고리 동형성의 구성은 고리 동형성이다.이어 모든 링의 등급이 형태론(cf. 링의 범주)으로 링 동형성을 가진 범주를 형성한다.특히 고리 내형성, 고리 이형성, 고리 자동성 등의 개념을 얻는다.null

특성.

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon R\rightarrow S}$을(를) 고리 동형상이라고 합시다$$.그러면 이러한 정의에서 직접 다음과 같이 추론할 수 있다.

• f(0_R) = 0_S.
• f(-a) = 모든 a in R에 대해 -f(a)
• 모든 단위 요소 a in R에서 f(a)는 f(a⁻¹) = f(a)와 같은 단위 요소다.⁻¹특히 f는 R의 (복제) 단위 집단에서 s(또는 im(f)의 (복제) 단위 집단으로 집단 동형성을 유도한다.
• im(f)로 표시된 f의 이미지는 S의 서브링이다.
• ker(f) = R에서 {a : f(a) = 0_S}(으)로 정의되는 f의 커널은 R에서 이상적이다.반지 R의 모든 이상은 이런 식으로 어떤 고리 동형에서 생긴다.
• 동형성 f는 ker(f) = {0_R}인 경우에만 주입된다.
• 만약 고리 동형성 f : R → S가 존재한다면 S의 특성은 R의 특성을 나눈다.이것은 때때로 특정 고리 R과 S 사이에 어떤 고리 동형체 R → S도 존재할 수 없음을 보여주기 위해 사용될 수 있다.
• R이_p R에 포함된 가장 작은 서브링이고 S가_p S에 포함된 가장 작은 서브링이라면, 모든 링 동형성 f : R → S는 링 동형성_p f : R → S를_pp 유도한다.
• R이 필드(또는 더 일반적으로 스큐 필드)이고 S가 제로 링이 아닌 경우 f는 주입식이다.
• R과 S가 모두 필드인 경우, im(f)은 S의 하위 필드이므로 S는 R의 필드 확장자로 볼 수 있다.
• 만약 R과 S가 상통적이고 내가 S의 이상이라면 f⁻¹(I)는 R의 이상이다.
• 만약 R과 S가 상통적이고 P가 S의 최상 이상이라면, f⁻¹(P)는 R의 최상 이상이다.
• 만약 R과 S가 상통적이라면, M은 S의 최대 이상이고, f는 굴절적이라면, f⁻¹(M)는 R의 최대 이상이다.
• 만약 R과 S가 상호 교환적이고 S가 통합적인 영역이라면, ker(f)는 R의 주요한 이상이다.
• R과 S가 상통적이고 S가 장이며 f가 하염없는 것이라면 ker(f)는 R의 최대 이상이다.
• f가 굴절적이라면, R과 ker(f) ⊆ P에서 P는 prime(최대) 이상이고, f(P)는 s에서 prime(최대) 이상이다.

게다가

• 고리 동형성의 구성은 고리 동형성이다.
• 각 링 R에 대해 ID 맵 R → R은 링 동형성이다.
• 그러므로 모든 고리의 등급은 고리 동형식과 함께 하나의 범주, 즉 반지의 범주를 형성한다.
• 영도 R → S가 모든 R의 원소를 0으로 보내는 것은 S가 영고리(원소가 0밖에 없는 고리)일 경우에만 링 동형성이다.
• 모든 링 R에 대해 고유한 링 동형성 Z → R이 있다.이것은 정수의 링이 링의 범주의 초기 물체라고 말한다.
• 모든 링 R에 대해 R에서 제로 링까지 독특한 링 동형성이 있다.이것은 제로 링이 링의 범주에 있는 단자 물체라고 말한다.

예

• f(a) = [a]_n = mod n으로 정의되는 f : Z → Z_n 함수는 커널 nZ를 가진 허탈적 링 동형성이다(모듈식 산술 참조).
• f(a)₆ = [4a]₆로 정의한 함수₆ f : Z₆ → Z는 rng 동형(및 rng 내형성)으로 커널 3Z와₆ 이미지₆ 2Z(Z에₃ 이형성)가 있다.
• n ≥ 1에 대해서는 링 동형성_n Z → Z가 없다.
• 복합적 결합 C → C는 고리 동형(Ring automorphism의 예)이다.
• R과 S가 고리인 경우, S가 제로 고리인 경우에만 R에서 S까지의 제로 함수는 고리 동형성이다. (그렇지 않으면 1에서_R 1까지의_S 지도에 실패한다.)반면에 영함수는 항상 rng 동형성이다.
• R[X]이 실제 수 R에 계수가 있는 변수 X의 모든 다항식의 링을 나타내고, C가 복합수를 나타낸다면 f(p) = p(i)로 정의된 함수 f : R[X] → C(다항식 p의 변수 X에 대한 가상 단위 i를 대체)는 굴절성 링 동형성이다.f의 커널은 X² + 1로 분할되는 R[X]의 모든 다항식으로 구성된다.
• f : R → S가 R과 S 사이의 고리 동형성인 경우 f는 매트릭스 링_n M(R) → M_n(S) 사이에 고리 동형성을 유도한다.
• 교감 고리 R 위에 있는 단이탈적 연관성 알헤브라스 사이의 단이탈 대수 동형성 역시 R-선형인 고리 동형성이다.

비예시

• Given a product of rings ${\displaystyle S=R_{1}\times R_{2}}$, the natural inclusion ${\displaystyle R_{1}\to S,x\mapsto (x,0)}$ is not a ring homomorphism (unless ${\displaystyle R_{2}}$ is the zero ring); this is because the map does not send the multiplicative identity$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S},$ 즉 (1$,$ $){\$displaystyle (1,$1)}$의 R${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$$R_{1$$\}.$

반지의 범주

내형성, 이형성, 자동성

• 고리 내형성(ling endomorphism)은 고리로부터 그 자체로 고리 동형성이다.
• 고리 이형성(ling isomorphism)은 고리 동형성(ling homorphism)이기도 한 2면 역성을 가진 고리 동형성이다.고리 동형성이 기초 집합의 함수로서 비주사적인 경우에만 이형성임을 증명할 수 있다.두 개의 고리 R과 S 사이에 고리 이형성이 존재한다면, R과 S를 이형성이라고 부른다.이소모픽 링은 원소의 재구성에 의해서만 다르다.예:이형성까지는 4개의 고리가 있다. (이것은 4개의 쌍으로 이루어진 비이형성 고리가 있다는 것을 의미하며, 그렇게 해서 4개의 다른 고리는 그 중 하나에 이형성적이다.)한편, 이형성까지, 순서 4의 11 rng이 있다.
• 고리 자동형은 고리로부터 그 자체로 고리 이형이다.

단성형 및 인식형

주입형 링 동형성은 링의 범주에서 단형성과 동일하다.f : R → S가 주입되지 않는 단모형이라면, 일부 r과₁ r을₂ S의 동일한 요소에 보낸다.각각 x와 r과₁ r에₂ 대한 맵 x와 r에 대한 맵 g와₁ g를 Z[x]에서 R까지의 두 맵 g와 g를₂ 고려하라; f ∘ g는₁₂ 동일하지만 f는 단형이기 때문에 이것은 불가능하다.null

그러나, 허탈적인 고리 동형성은 반지의 범주에 있는 인식과는 크게 다르다.예를 들어, 포함 Z ⊆ Q는 고리 인식론이지만 추론은 아니다.그러나 강한 경각심과 정확히 일치한다.null

참고 항목

• 반지 교환
• 링 익스텐션

인용구

메모들

참조