기르사노프 정리

확률론에서 기르사노프 정리는 측정의 변화에 따라 확률적 과정이 어떻게 변하는지 알려준다. 그 정리는 금융 수학 이론에서 특히 중요한데, 그 이유는 기초 금융상품(주식 가격이나 이자율 등)이 특정 가치나 가치를 취할 확률을 기술하는 물리적 측정에서 가치평가에 매우 유용한 도구인 위험 중립적 측정으로 전환하는 방법을 알려주기 때문이다.기초 파생상품의 e

역사

이러한 유형의 결과는 1940년대 카메론 마르틴과 1960년 기르사노프에 의해 처음 입증되었다. 그들은 그 후 렝글라트(1977년)의 일반적 형태로 절정에 이른 더 일반적인 프로세스 계층으로 확장되었다.

의의

Girsanov의 정리는 P에 관해서 Q가 절대적으로 연속적인 척도라면 모든 P-세미마틴게일은 Q-세미마틴게일이라는 핵심 결과를 가능하게 하기 때문에 확률과정의 일반 이론에서 중요하다.

정리명세서

우리는 기초가 되는 확률적 과정이 위너 과정일 때 특별한 경우를 위해 먼저 정리를 기술한다. 이 특별한 사례는 블랙-숄즈 모델에서 위험 중립적 가격에 충분하다.

Let ${\displaystyle \{W_{t}\}}$ be a Wiener process on the Wiener probability space ${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}}$. Let ${\displaystyle X_{t}}$ be a measurable process adapted to the natural filtration of the Wiener process ${\displaystyle \{{\mathcal {$$F}}_{t}^{{$$W$ 우리는 통상적인 조건이 충족되었다고 가정한다.

적응된 프로세스 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 정의$$

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}(X)_{t}\,}$

여기서 $E{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {E}(X)}$은 W에 관한 X의 확률적 지수다.

${\displaystyle {\mathcal {E}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{1}:{2}}[X]_{t}\오른쪽).}$

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이 마팅게일 경우 라돈-Nikodym 파생상품과 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 확률 측정 Q를 {${\displaystyle \sigma }$, F ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\sigma ,F\}$에 정의할 수 있다.

$왼쪽.{\frac {dQ}{dP}}\오른쪽 _{{\mathcal{F}_{t}}={\mathcal{E}(X)_{t}}}}}}$

그런 다음 각 t에 대해 증가되지 않은 시그마 필드 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 제한된 Q는 다음으로 제한된 P와 동일하다.

${\displaystyle {\mathcal{F}_{t}^{o}.\,}$

게다가 만약 Y가 P에 따른 지역 마팅게일이라면 그 과정은

${\displaystyle {\tilde{Y}_{t}=Y_{t}-\왼쪽[W,X\right]_{t}}}$

필터링된 확률 공간 {${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle ,{}_{}^{}}$ ,${\displaystyle Q}$ ,${\displaystyle }${ F ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle W_{}^{}\}\}}${\$displaystyle \{\Oomega ,F,Q,\{F_{t}^{$$W$

코롤라리

X가 연속 공정이고 W가 측정값 P에 따른 Brownian Motion인 경우

${\displaystyle {\tilde{W}_{t}=W_{t}-\왼쪽[W,X\right]_{t}}}$

브라운 운동은 Q에 의거한다.

$W{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 연속이라는$$ 사실은 사소한 것으로, Girsanov의 정리로는 Q 로컬 마팅게일이며, 계산으로는 그 의미가 있다.

${\displaystyle \left[{\tilde{W}\오른쪽]_{t}=\left[왼쪽]W\right]_{t}=t}$

이것이 Q 브라운 운동이라는 것은 레비의 브라운 모션 특성화에 따른 것이다.

평.

많은 공통 애플리케이션에서 프로세스 X는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.}$

이 형태의 X에게 있어 X가 마팅게일이 되기 위한 필요조건과 충분한 조건은 노비코프의 조건으로서 다음과 같은 것이 필요하다.

${\displaystyle E_{P}\왼쪽[\exp \left(\int _{0}^{T})Y_{s}^{2}\,ds\right]<\inful.}$

확률적 지수 ${\displaystyle E}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {E}(X)}$은 확률적 미분 방정식을 해결하는 프로세스 Z이다.

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dY_{s}\,}$

위에서 구성한 측정 Q는 $∞{\$의 P와 같지 않다. 이는 위에서 설명한 지수적인 마팅게일이 아닌 라돈-니코뎀 파생상품이 균일하게 통합 가능한 마팅게일일일일일 경우에만 해당하기 때문이다$$($for{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \lambda$\na \$na$ \$neq$ 0$}).$

재무에 적용

이 정리는 블랙-숄즈 모델에서 고유한 위험중립 측정치, 즉 파생상품의 공정가치가 할인된 기대가치 Q인 측정치를 나타내기 위해 사용될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dQ}{d.P}}={\mathcal{E}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {r_{t}-\mu _{t}}}{\sigma _{t}\,dW\right).}$

참조

• C. 델라체리와 P.A. 마이어, "Probabilités et probentiel -- Théory de Martingales" Chaptre 7세, 헤르만 1980년
• E. Lenglart "Transformation de martingales locales par change absolue resolue de probabilites", Zeitschrift Für Wahrscheinricht 39 (1977) pp 65-70.

외부 링크

• Girsanov의 정리에 대한 간단한 개요 증거를 포함하고 있는 Stochastic Miculus에 관한 참고 사항.