쌍곡성장

양이 유한변동('완료시 특이점')에서 특이점을 향해 증가하면 쌍곡성장을 한다고 한다.^[1] 더 정확히 말하면, ${\displaystyle 역}$ 함수 1${\displaystyle }$/ x ${\displaystyle 1/x}$은 그래프로 하이퍼볼라를 가지고$$ 있고, 특이점이 0으로, $x{\displaystyle }$→ $[\displaystyle$ x$\to$ 0$}$의 한계가 무한하다는$$ 뜻이며, 유사한 그래프는 모두 쌍곡성장을 나타낸다고 한다.

설명

함수의 출력이 입력에 반비례하거나 주어진 값 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과의 차이에 반비례하는 경우$,$ 함수는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 특이점을 갖는 쌍곡성 성장을 보일 것이다$.$

현실 세계에서 쌍곡성 성장은 특정한 비선형 양성 피드백 메커니즘에 의해 만들어진다.^[2]

다른 성장과의 비교

기하급수적인 성장과 물류성장과 마찬가지로 쌍곡성장은 매우 비선형적이지만 중요한 측면에서 차이가 있다. 기하급수적인 성장, 쌍곡성 성장, 로지스틱 성장의 전반은 볼록함수로서 이러한 기능들은 혼동될 수 있다. 그러나 그들의 점증적 행동(입력으로서의 행동)은 극적으로 다르다.

• 로지스틱 성장은 제약을 받는다(시간이 무한대로 흘러도 한계가 유한하다).
• 기하급수적인 성장은 시간이 무한대로 흐를수록 무한대로 증가한다(그러나 유한한 시간 동안 항상 유한함).
• 쌍곡성장은 유한한 시간에 특이점을 가진다.

적용들

인구

일부 수학 모델은 1970년대 초까지 세계 인구가 쌍곡성장을 겪었다고 제시한다(예: 안드레이 코로타예프 외 연구진에 의한 사회 거시역학 소개 참조). 또한 1970년대까지 세계 인구의 쌍곡성 증가는 세계 GDP의 2차-열곡성 성장을 동반했으며, 이러한 현상을 모두 기술하는 수학적 모델을 다수 개발했으며, 최근 수십년간 관측된 블로업 체제로부터의 세계 시스템 탈퇴도 나타났다. 세계 인구의 쌍곡성 증가와 1970년대까지 관측된 세계 GDP의 2차 확장성은 안드레이 코로타예프와 그의 동료들에 의해 인구통계학적 성장과 기술적 발전 사이의 비선형적 2차적 긍정적 피드백과 상관되어 왔으며, 인과관계의 연쇄: 기술 성장 리드.더 많은 사람들을 위한 토지의 운반 능력으로, 더 많은 사람들을 이끌고, 더 많은 발명가로 이어지며, 그것은 다시 더 많은 기술적 성장을 이끌고, 그리고 계속해서 이어진다.^[3] 또한 이러한 유형의 쌍곡선 모델이 기원전 40억년부터 현재까지 지구의 행성 복잡성의 전체적인 성장을 다소 정확한 방법으로 설명하는데 사용될 수 있다는 것이 입증되었다.^[4] 다른 모델은 지수 성장, 로지스틱 성장 또는 기타 기능을 제안한다.

큐 이론

쌍곡선 성장의 또 다른 예는 대기열 이론에서 찾을 수 있다: 임의로 도착하는 고객의 평균 대기 시간은 서버의 평균 부하 비율의 함수로써 하이퍼볼릭적으로 증가한다. 이 경우 특이점은 서버에 도착하는 평균 작업량이 서버의 처리 용량과 같을 때 발생한다. 프로세싱이 서버의 용량을 초과하면, 대기열이 제한 없이 커질 수 있기 때문에, 잘 정의된 평균 대기 시간이 없다. 이 특별한 예제의 실제적인 의미는 부하가 높은 대기열 시스템의 경우 평균 대기 시간이 처리 용량에 매우 민감할 수 있다는 것이다.

효소동력학

쌍곡선 성장의 보다 실질적인 예는 효소 운동학에서 찾을 수 있다. 효소와 기질 사이의 반응 속도(단말 속도)를 기질의 다양한 농도에 대해 플롯하면, 많은 간단한 시스템에 대해 쌍곡선 플롯을 얻는다. 이렇게 되면 효소는 미카엘리스-멘텐 키네틱스를 따른다고 한다.

수학적 예

함수

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{t_{c}-t}}}$

시간$$ c {\$displaystyle t_{c}$ :$$$t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle t_{}}$ → t$${\$displaystyle t\to$ t_${c}$로 한계에 있는 쌍곡성장을 나타내며$,$ 함수는 무한대로 간다.

더 일반적으로, 함수는

${\displaystyle x(t)={\frac {K}{t_{c}-t}}}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 척도 인자인 쌍곡성 성장을 보인다.

이 대수 함수는 함수 차이에 대한 분석 솔루션으로 간주될 수 있다는 점에 유의하십시오.^[5]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}={\frac {K}{{k}-t)^{2}}={\frac {x^{2}}}}}$

즉, 쌍곡선 성장의 경우 순간 t에서 변수 x의 절대 성장률은 순간 t에서 x 값의 제곱에 비례한다.

각각 2차-고혈압 함수는 다음과 같이 보인다.

${\displaystyle x(t)={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}.}$

참고 항목

• 지수성장
• 로지스틱 성장
• 수학적 특이점

메모들

참조

• 알렉산더 5세 마르코프, 그리고 안드레이 V. 코로타예프(2007). "phanerozoic 해양 생물 다양성은 쌍곡선 추세를 따른다." 팔래오월드. 제16권. 제4호. 311-318페이지.
• 크렘러, 마이클 1993. "인구 증가와 기술 변화: 기원전 100만~90년," 분기별 경제지 108(3): 681-716.
• Korotayev A, Malkov A, Khaltourina D. 2006. 소셜 매크로다이내믹스 소개: 세계 시스템 성장의 소형 마크로모델. 모스크바: URSS. ISBN5-484-00414-4.
• Taagepera(1979) 인력, 기술 및 리소스 조정: 세계 인구 증가에 대한 상호작용 모델. 기술 예측과 사회 변화 13, 13-30.