이상(세트 이론)

세트 이론의 수학적 분야에서 이상은 "작다" 또는 "불가결하다"라고 간주되는 집합의 부분적인 순서 집합이다.이상적 요소의 모든 부분집합도 이상적(이것은 이상이 작은 것의 개념이라는 생각을 코드화함)에 있어야 하며, 이상적 요소 중 어떤 두 요소의 결합도 이상적이어야 한다.

좀 더 공식적으로 $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $X}$의 $이상적$인 I ${\displaystyle I}$은(는) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$}$의 파워셋 중 비어 있지 않은 하위 집합으로$$, 다음과 같다$$.

1. ${\displaystyle \varnothing \in I,}$
2. ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ A ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle A\in$ I$}$ 및 $B$ ${\displaystyle \subseteq }$ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ B$\subseteq A,}$이(가) 있다면 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle B\in$ I$,}$ 및$$
3. $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B\in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A,B\in I}$이면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle A\cup B\in I.}$

어떤 저자들은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 그$$ $자체$가 I ${\displaystyle I}$에 있지 않다는 네 번째 조건을 덧붙인다$;$ 이 추가적인 속성을 가진 이상을 적절한 이상이라고 부른다.

집합이론적 의미에서의 이상은 순서이론적 의미에서는 정확하게 이상이며, 여기서 관련 질서는 포함되도록 설정된다.또한, 그것들은 밑바탕의 집합의 파워셋에 의해 형성된 부울링의 고리-이론적 의미에서는 정확히 이상이다.

용어.

이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 요소는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ -null$$ $또는{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$ -null로 알려져 있으며, 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaysty$ I$}$이(가) 맥락에서 이해되는$$ 경우 단순히 null이거나 무시할 수 있는 것으로 간주된다$$.If ${\displaystyle I}$ is an ideal on ${\displaystyle X,}$ then a subset of ${\displaystyle X}$ is said to be ${\displaystyle I}$-positive (or just positive) if it is not an element of ${\displaystyle I.}$ The collection of all ${\displaystyle I}$-positive subsets of ${\displaystyle X}$ is는 $I{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ I$^{+}$로 표시됨.$}$

If ${\displaystyle I}$ is a proper ideal on ${\displaystyle X}$ and for every ${\displaystyle A\subseteq X}$ either ${\displaystyle A\in I}$ or ${\displaystyle X\setminus A\in I,}$ then ${\displaystyle I}$ is a prime ideal.

이상 예

일반적인 예

• $모든{\displaystyle }$ 세트 X ${\displaystyle$ ${\displaystyle X\}}$ 및$$ 임의로 선택한 서브셋 $B{\displaystyle }$subset X . ${\displaystyle$B$\subseteq$ X$}$에 대해 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B}의 하위$$ 집합이 X .${\displaystyle$X. 유한 $X{\displaystyle }$ ,${\displaystystyle X}$에 이상형을 형성한다$$.
• $모든{\displaystyle }$ 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 부분 집합은 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$에서 이상형을 형성한다$$.
• 모든 측정 공간에 대해 측정값 0 집합.
• 모든 측정 공간에 대해 유한 측정값 집합.여기에는 유한 부분 집합(계산 측정 사용)과 아래의 작은 집합이 포함된다.

자연수에 대한 이상

• 모든 유한한 자연수 집합의 이상은 Fin으로 표시된다.
• 자연수에 대한 종합적 이상(${\displaystyle I_{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {\mathcal{I}_{1/n}}})$은 합계가 ${\displaystyle \underset{}{finite}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$인 자연수에 대한$$ 모든 $집합이다.$작은 세트를 보아라.
• 자연수에서 점증적으로 제로 밀도 집합의 이상적인, $Z{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {Z}_{0}}}$은(는) 자연수 집합$$ $A$의$모든$ 집합 A의 집합으로, $A$ , ${\displaystyle$ A$,}$에 속하는 ${\$$displaystystystyle$ n}보다 작은 자연수 분율이 Ze의 경향이$$ 있다.$ro{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 무한대 경향이$$ 있기 때문에. ($즉{\displaystyle }$, A ${\displaystyle A}$의 점근 밀도는 0이다$$.)

실제 숫자에 대한 이상

• 측정 이상값은 $A$의 Lebesgue 측정값 ${\displaystyle A}$이(가) 0이 되도록$$ 실수의 $모든{\displaystyle }$ 집합 A ${\displaystyle A}$을(를) 수집하는 것이다.
• 미미한 이상은 모든 미미한 실수의 집합이다.

다른 세트의 이상

• $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 마운트 불가능한 공동 마침표의 순서 번호인 경우, $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대한 비스테이션적 이상은 고정 세트가 아닌$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaysty \lambda }$의 모든 하위 집합의 모음입니다$$.이 이상은 W에 의해 광범위하게 연구되어 왔다. 휴 우딘.

이상에 관한 작전

기본 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle Y}$에서 각각$$ 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$$}$ 및 $J$ ${\displaystyle J}$을(를) 형성하는 데$$, 이 중 $하나$는 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과${\displaystyle }$같다$.$모든 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle A\subseteq X\time Y,}$에 대해

$즉{\displaystyle }$, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ - 좌표를$$ 무시할 수 있는 집합만$y$ {\displaystyle $y}$ -방향에$$$$ $있는{\displaystyle }$ A {\$displaystyle A}$의 비글라이블 조각에 해당하는 경우 제품 이상에서 세트는 무시해도 된다(아마도 더 명확함: $x{\displaystyle }${\$displaystyle$x} -coi가$$ 확실히 많으면 제품 이상에서 양수치가 된다).네이트는 양의 조각에 해당한다.)

An ideal ${\displaystyle I}$ on a set ${\displaystyle X}$ induces an equivalence relation on ${\displaystyle \wp (X),}$ the powerset of ${\displaystyle X,}$ considering ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ to be equivalent (for ${\displaystyle A,B}$ subsets of ${\di$$splaystyle X}$) if and only if the symmetric difference of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ is an element of ${\displaystyle I.}$ The quotient of ${\displaystyle \wp (X)}$ by this equivalence relation is a Boolean algebra, denoted ${\displaystyle \wp (X)/I}$ (read "P of ${\displaystyle X}$${\displaystyle$ X$}$$모드$ I ${\displaystyle I}$ ").$$

모든 이상에는 그것의 이중 필터라고 불리는 해당 필터가 있다.If ${\displaystyle I}$ is an ideal on ${\displaystyle X,}$ then the dual filter of ${\displaystyle I}$ is the collection of all sets ${\displaystyle X\setminus A,}$ where ${\displaystyle A}$ is an element of ${\displaystyle I.}$ (Here ${\displaystyle X\setminus A}$ denotes the r$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$\}$의 엘러티브 보완, $즉{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 없는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 요소의 모음입니다.$$

이상간의 관계

If ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle J}$ are ideals on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ respectively, ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle J}$ are Rudin–Keisler isomorphic if they are the same ideal except for renaming of the elements of their underlying sets (ignoring negligible sets). More formally, the requirement is that there be sets ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B,}$ elements of ${\displaystyle I}$ and ${\displaystyle J}$ respectively, and a bijection ${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$ such that for any subset ${\di$$splaystyle C\setminus X,}$ $C$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle C}$의 이미지가${\displaystyle \phi }$ J${\displaystyle }$. ${\displaystyle \varphi \in$ $J$$.}$에 있는 $경우$에만 ${\displaystyle \mathrm{해당}}$된다.

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ $및{\displaystyle }$ J$$ ${\displaystyle J}$이(${\displaystyle 가}$) Rudin-Keisler 이형성인 경우,${\displaystyle }\wp {\displaystyle \mathrm{}}$($X$ ) / $I {\$$displaystyle \wp (X)/I$$}$ 및$$ $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ $)$는 부울헤지브라와 같은 이형성이다$$.루딘-케이슬러 이소모르프리즘(Rudin-Keisler 이소모르프리즘)이 유도한 지수를 나타내는 부울알헤브라의 이소모르프(Isomorphism)를 사소한 이소모르프리즘이라고 한다.

참고 항목

• 필터(수학) – 수학에서 부분 순서 집합의 특수 부분 집합
• π-시스템 – 교차점에서 닫힌 세트 패밀리
• σ-ideal

참조

• Farah, Ilijas (November 2000). Analytic quotients: Theory of liftings for quotients over analytic ideals on the integers. Memoirs of the AMS. American Mathematical Society. ISBN 9780821821176.