도메인의 침입

도메인의 불변성은 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R}$^{$n}}}$의 동형상 하위 집합에 대한 위상의 정리다$.$ 다음과 같이 기술한다.

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ is an injective continuous map, then ${\displaystyle V:=f(U)}$ is open in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle f}$ is a homeomorphism between ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$.

그 정리와 그 증거는 1912년에 출판된 L. E. J. 브루어 덕분이다.^[1]그 증명에는 대수적 위상의 도구, 특히 브루워 고정점 정리가 사용된다.

메모들

정리의 결론은 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 열린 지도"로 동등하게 공식화될 수 있다.

일반적으로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 동형체인지 확인하려면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$와 그 $역함수{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 모두 연속적인지$$ 확인해야 할 것이다. 정리에는 도메인이 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 열린 부분 집합이고$$ 이미지도 안에 있다고 한다.${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n},$ 그러면$$ $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1$}의 연속성은 자동으로 된다$$.Furthermore, the theorem says that if two subsets ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ are homeomorphic, and ${\displaystyle U}$ is open, then ${\displaystyle V}$ must be open as well. (Note that ${\displaystyle V}$ is open as a subset of ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$${\displaystyle {}^n}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n},$ 서브스페이스 토폴로지에만 있는 것이 아니다$$.$하위{\displaystyle }$ 공간 토폴로지에서$$ V ${\displaystyle V}$의 개방성은 자동으로 수행됨)이 두 진술 모두 전혀 명백하지 않으며, 유클리드 공간을 떠나면 일반적으로 사실이 아니다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 영역과 이미지가 모두 같은 차원의 유클리드 공간에 포함된다는$$ 것은 대단히 중요하다.예를 들어 $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: (${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ ($0,1)\to \mathb {R}^{2}}:$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyf$ f$(t)=(t,0$)=(t,0)로 정의된$$ 것을 생각해 보십시오$.$$}$ This map is injective and continuous, the domain is an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} }$, but the image is not open in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ A more extreme example is the map ${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$ defined by ${\displaystyle g(t)=({}^{}}$$t$${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle t}$) ${\$$displaystyle$ $g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3$$}-$$t\right)}$ 여기서 $g$는 주입성 및 연속성이지만$$ 이미지로 동형상조차 생성하지 않기 때문이다$$.

그 정리 또한 무한히 많은 차원에 있어서 일반적으로 사실이 아니다.예를 들어 Banach lp 공간${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$space${\$을(를) 고려해 보십시오.Define ${\displaystyle f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }}$ as the shift ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).$$}}$$그러면{\displaystyle }$ f {\$displaystyle f}$이(가$$) 주입식이고$$ 연속적이며, 도메인은${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}\ell {\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \ell ^{\inflt$ $\}\}$에 열려 있지만 이미지는 그렇지 않다.

결과들

An important consequence of the domain invariance theorem is that ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ cannot be homeomorphic to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ if ${\displaystyle m\neq n.}$ Indeed, no non-empty open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ can be homeomorphic to a$ny{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 이 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$m {\$displaystyle \mathb$ {$R}$^{$m}$의 부분 집합을 여십시오.

일반화

영역 불변도 정리를 다지관에 일반화할 수 $있다{\displaystyle }$:$$M {\$displaystyle M}$과$$N {\$displaystyle$ N$$$}$이(가$$) 경계 없는 위상학적 n-manifold이고 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:$$M{\displaystyle }$$\to N}$은(는) 로컬 일대일($M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 지점이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주입식인 것과 같은 근방을 가지고$$ 있다는 의미), f ${\$$displaystyle$ $f}$은 오픈 맵($f{\displaystyle }$ (${\displaystyle F)}$이다($N{\displaystyle }$ ${\displaystylaystylastyline$ $f}).$$e$ $N$$}$ U {\$displaystyle$ U$$$}$이($)$ M {\$displaystyle$ M$\}$의 열린 부분 집합이고 로컬 동형상입니다$.$

바나흐 공간에서 그 자체로 특정 유형의 연속 지도에 대한 일반화도 있다.^[2]

참고 항목

• 주어진 연속 지도가 열려 있음을 보장하는 다른 조건에 대한 개방형 매핑 정리.

메모들

참조

• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 139. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675.
• Cao Labora, Daniel (2020). "When is a continuous bijection a homeomorphism?". Amer. Math. Monthly. 127 (6): 547–553. doi:10.1080/00029890.2020.1738826. MR 4101407.
• Cartan, Henri (1945). "Méthodes modernes en topologie algébrique". Comment. Math. Helv. (in French). 18: 1–15. MR 0013313.
• Deo, Satya (2018). Algebraic topology: A primer. Texts and Readings in Mathematics. Vol. 27 (Second ed.). New Delhi: Hindustan Book Agency. ISBN 978-93-86279-67-5. MR 3887626.
• Dieudonné, Jean (1982). "8. Les théorèmes de Brouwer". Éléments d'analyse. Cahiers Scientifiques (in French). Vol. IX. Paris: Gauthier-Villars. pp. 44–47. ISBN 2-04-011499-8. MR 0658305.
• Hirsch, Morris W. (1988). Differential Topology. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0. (서로 다른 수축의 존재하지 않는 것을 활용하는 Hirsch의 증거는 72–73 페이지 참조)
• Hilton, Peter J.; Wylie, Sean (1960). Homology theory: An introduction to algebraic topology. New York: Cambridge University Press. ISBN 0521094224. MR 0115161.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. MR 0006493.
• Kulpa, Władysław (1998). "Poincaré and domain invariance theorem" (PDF). Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1): 129–136. MR 1696596.
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58059-5. MR 1454127.
• Munkres, James R. (1966). Elementary differential topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 54 (Revised ed.). Princeton University Press. MR 0198479.
• Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic topology. New York-Toronto-London: McGraw-Hill.
• Tao, Terence (2011). "Brouwer's fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert's fifth problem". terrytao.wordpress.com. Retrieved 2 February 2022.

외부 링크

• Mill, J. van (2001) [1994], "Domain invariance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press