콜모고로프 연속성 정리

수학에서 콜모고로프 연속성 정리는 그 증분 순간의 일정한 제약조건을 만족시키는 확률적 과정이 연속(혹은 더 정확히 말하면, "연속적 버전"을 갖는다는 것을 보장하는 정리다. 소련의 수학자 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프에게 공로를 인정받고 있다.

성명서

$(S,d)$ , $(S,d)$ ) ${\디스플레이스타일$ ( $S,d)}$ 을(를) 완전한 메트릭스페이스로 하고 $(S,d)$ , $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ : $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ [ 0 $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ , + $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ ) $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ × $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ → $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ $[\디스플레이스타일$ X\ $colon [0,+\infit$ )\ $time \Oomega \to$ S $}$ 을(를)는 $X\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ 확률적인 프로세스로 한다. $T>0$ T > $T>0$ ${\displaystyle T>0$ 에 대해 다음과 같은 $\alpha ,\beta ,K$ 양의 상수 $\alpha ,\beta ,K$ , $\alpha ,\beta ,K$ , $\alpha ,\beta ,K$ $\alpha ,\beta ,K$ 이(가) 존재한다고 가정합시다.

\mathb{E} [d(X_{t},X_{s}})^{\alpha }]\leq K t-s ^{1+\beta }}}}}}

for all $0\leq s,t\leq T$ . Then there exists a modification ${\tilde {X}}$ of $X$ that is a continuous process, i.e. a process ${\tilde {X}}\colon [0,+\infty )\times \Omega \to S$ such that

${\tilde {X}}$ ~ ${\$ 은 ${\tilde {X}}$ (는) 샘플-연속임;
$t\geq 0$ $t\geq 0$ $t\geq 0$ 0 ${\displaystyle t\geq$ 0 $t\geq 0$ $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$ $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$ = $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$ ~ $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$ ) $\mathbb {P} (X_{t}={\tilde {X}}_{t})=1.$ = 1 ${\displaystyle \mathb {P}(X_{t}={\tilde{$ . $}$

더욱이 $~{\$ 의 경로는 매 0 $0<\gamma <{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ $0<\gamma <{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ ${\$ $0<\gamma <{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ 에 대해 로컬로 ${\tilde {X}}$ $\gamma$ {\ $displaystystyle \$ gma-연속적이다 $\gamma$ $.$

예

$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 대한 브라운 모션의 경우 $\mathbb {R} ^{n}$ 상수 $\alpha =4$ = 4 ${\displaystyle \alpha=4$ $\beta =1$ = 1 ${\$ $displaystyle$ $\beta=1$ $K=n(n+2)$ = $n(n+2)$ 의 선택이 Kolmogorov 연속성 정리에서 작동한다 $K=n(n+2)$ . 또한 모든 양의 $정수$ m ${\$ $displaystyle$ $m}$ 에 대해 $m$ 상수 $\alpha =2m$ = $\alpha =2m$ ${\displaystyle \alpha =2m$ $\beta =m-1$ $\beta =m-1$ - $\beta =m-1$ {\ $displaystyle \beta =m-1$ }이 $($ 가) n ${\$ $displaystystyle$ $n$ $}$ 및 $n$ $m$ 에 의존하는 $K$ $일부$ 양의 값에 대해 작동한다 $\beta =m-1$ $m$