오차범위

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오차범위는 조사 결과의 무작위 표본오차의 양을 나타내는 통계량이다.오차범위가 클수록 여론조사 결과가 전체 인구 조사 결과를 반영할 것이라는 자신감이 떨어져야 한다.모집단이 불완전하게 표본 추출되고 결과 측정에 양의 분산이 있을 때마다 오차 한계는 양수가 된다. 즉, 측정치가 변동한다.

오차 한계라는 용어는 측정된 수량을 보고할 때 관측 오류를 나타내기 위해 종종 비조사 맥락에서 사용된다.

개념

예/요 $의견조사{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$을(를) 모집단 N , $n$ $){\displaystyle N{\text{}, }}}}}$에서 $추출$한 n$$${\displaystyle$p$}$의 표본으로$$ $간주$한다.$우리$는 p ${\displaystyle p}$이(가) 전체 $모집단{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle N}$에 대한 조사의 실제 결과와 얼마나 가까운지$$ 알고 싶다$.$가정적으로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 응답자$$($N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에서 새로 추출)$$의 후속 샘플에 대해$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 실시한다면, 그러한 후속 $결과$는 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \stackrel{}{}}$p ${\displaystyle {}_{}}$,${\$$displaysty$ $p_{1}, p_{2},\dots}$에 대해 정상적으로 배포될 것으로$$ 예상할 수 있을 것이다$.$$aystyle {\overline{p$오차 한계는 이러한 결과의 특정 비율이 $p$의${\$과(와) 다를 것으로 예상되는 거리를 설명한다$.$

According to the 68-95-99.7 rule, we would expect that 95% of the results ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ will fall within about two standard deviations (${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$) either side of the true mean ${\displaystyle {\overline {p}}}$.이 구간을 신뢰 구간이라고 하며, 반지름(구간 절반)을 95% 신뢰 수준에 해당하는 오차 한계라고 한다.

일반적으로 신뢰 수준 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$gamma$$}$에서$$표준 편차가 예상되는 모집단의 표본 크기$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$에 오차 한계가$$ 있음

${\displaystyle MOE_{\gamma }=z_{\gamma }\time {\sqrt {\frac{\sigma ^{n}}}}}}}}}번.$

여기서 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 퀀텀마일(일반적으로 z-property)을 나타내며$$, $\sigma {\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle$ {\$sqrt{\fracma ^{2}}}{n}}}}}}}}$은 표준 오차이다.

표준 편차 및 표준 오차

우리는 정규 분포 값 p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과(와) 다소 다른 표준 편차를 가질$$ 것으로 예상한다$.$$n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$이(가) 작을수록 여백은 넓어진다$.$이를 표준 오차 ${\displaystyle {errorp\stackrel{}{}}_{}}$ p${\$라고 한다$.$

For the single result from our survey, we assume that ${\displaystyle p={\overline {p}}}$, and that all subsequent results ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ together would have a variance ${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$.

${\displaystyle{\text}}}=\sigma _{\overline {p}\p}\약 {\sqrt {\frac {\p}^{{p}}}}}약 {\sqrt {\frac(1-p)}{n}}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$p{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle p(1-p)}$은(는) 베르누이 분포의 분산에 해당한다는$$ 점에 유의하십시오.

서로 다른 신뢰 수준에서 최대 오차 한계

For a confidence level ${\displaystyle \gamma }$, there is a corresponding confidence interval about the mean ${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$, that is, the interval ${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$ within which values of ${\dis$$Playstyle P}$은(는) 확률$display$ {\displaystyle \$gamma }$과(와) 함께 떨어져야$$ 한다$.$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\$}}}의 정확한 값은 정규 분포의 정량적 함수(68-95-99.7 규칙 근사치)에 의해 주어진다$$.

참고로 ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ }}은$($는)${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ 1 ${\displaystyle \gema \geq 1$에 대해 정의되지${\displaystyle {\mathrm{않음}}_{}}$,$$즉 z 1.$00$ {\$displaystyle$ z_${1.10}}$과 같이 정의되지 않음$.$

$\displaystyle \reason }$	${\displaystyle z_{\message }}$		$\displaystyle \reason }$	${\displaystyle z_{\message }}$
0.68	0.994457883210		0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951		0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540		0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041		0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549		0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344		0.99999999	5.730728868236
0.997	2.967737925342		0.999999999	6.109410204869

Since ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$ at ${\displaystyle p=0.5}$, we can arbitrarily set ${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$, calculate ${\displaystyle \sigma _{P}}$, ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}$$}$및 z ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {\gamma \stackrel{}{}}_{}}$ ${\$$displaystyle P}$에 대한 최대 오차범위{\$displaystyle$ {$p}$을(를) 얻으려면$$ 실제 결과가 나오기도 전에 지정된 신뢰수준 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyleane$$n}$에서 $최대{\displaystyle }$ 오차범위를 얻으십시오$.$${\displaystyle \mathrm{p}}$=${\displaystyle 0}$.5${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 1013}$ ${\displaystyle p=0.5,n=1013}$의 경우

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle MOE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

또한, 보고된 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {95}_{}}$ ${\$에 대해 유용하게 사용.

${\displaystyle MOE_{99}={\frac {z_{0.99}{z_{0.95}}MOE_{95}\약 1.3\time MOE_{95}}}}}}}{95}}}}}}}}}}$

특정 오차 한계

여론조사 결과(예: 단일 객관식 선호도를 측정하는 여론조사)가 여러 퍼센트일 경우, 50%에 가까운 결과가 가장 높은 오차 한계를 갖게 된다.일반적으로 전체 여론조사의 오차범위로 보고되는 것은 이 숫자다.여론조사 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) ${\displaystyle p_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}${\$displaystyle p_{a},$${\displaystyle \mathrm{p\_}}$${b},p_{c}$ ${\displaystyle 71\%,}$ ${\displaystyle \mathrm{27}\%,}$ 2${\displaystyle \%,}$ n = ${\displaystyle 1013}$ ${\displaystystyle 71\%,27\%\%,n=1013}$을(으$$)로 보고한다고 상상해 보십시오.

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$ (as in the figure above)

${\displaystyle MOE_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\\overline{p_{b}}\1.96{p_{b}}}}{n}}}}}=0.87/{nqrt=\pm 2.7$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\\overline {p_{c}}\1.96{p_{c}}}{n}}}}}}=0.27/{nqrt=\pm 0.8$

주어진 백분율이 0% 또는 100%의 극단에 근접함에 따라 오차 한계는 ±0%에 근접한다.

백분율 비교

Imagine multiple-choice poll ${\displaystyle P}$ reports ${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$ as ${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$. As described above, the margin of error reported for the poll would typically be ${\displaystyle MOE_{95}$$(P_{a}})$ ,$$${\displaystyle p_{}}$로서 ${\$이(가) 50%에 가장 가깝다$$.그러나 통계적 연계나 통계적 사열이라는 통념은 그 자체로 개별 결과의 정확성이 아니라 결과의 순위와 관련이 있다.어느 것이 먼저인가?

예를 들어, $n{\displaystyle }${\$displaystyle$ $N$$}$ 응답자$$($N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$N}$$에서 새로 추출)의 후속 샘플에 대해$$ $폴링{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle P}$을(를) 실시하고, $결과{\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ = ${\displaystyle a_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ - p ${\$을 보고해야 한다면, 표준 오차를 사용하여 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {ww{}_{}}_{}}$}을 이해할 수 있다$.$${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$ is expected to fall about ${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$. For this, we need to apply the sum of variances to obtain a new variance, ${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$,

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P_{}}_{}}$ a${\displaystyle {{}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {P_{}}_{}}$ b${\displaystyle {{}_{}}_{}}$=${\displaystyle }$- P ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\sigma _{P_{a}}}P_{b$}}는$$P a {\$displaystyle$$P_{$$a_$${$$b$}}의 공분산이다$.$

따라서 (간소화 후)

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}\약 \pm {3}.1\%}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline{w}\약 {5시.8\%}}$

이는 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$가 상수에 가깝다고$$ 가정하며, 즉, A 또는 B 중 하나를 선택하는 응답자는 거의 C를 선택하지 않을 것이라고 가정한다$($를 완전히 부정적으로 상관된 $P_{a}$와 ${\displaystyle P_{}}$ b ${\$세 개 이상의 선택권이 더 밀접하게 경합될 $경우{\displaystyle {}_{}^{}}$ , P ${\displaystyle {w_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}}에 대한 올바른 공식을 선택하는 것이 더욱 복잡해진다$$.

유한인구규모의 영향

오차범위에 대한 위의 공식은 무한히 큰 모집단이 있으므로 모집단 $N{\displaystyle }$ {\$displaystyle N$의 크기에 의존하지 않고 표본 크기 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$에만 의존하지 않는다고 가정한다$.$ 표본추출 이론에 따르면 표본분율이 작을 때 이 가정은 타당하다.특정 표본추출방법의 오차범위는 표본추출분율이 작은 한 관심인구가 학교, 도시, 주 또는 국가의 크기인지에 관계없이 기본적으로 동일하다.

표본 추출 분율이 더 큰 경우(실제로 5% 이상), 분석가는 모집단의 훨씬 더 큰 비율을 표본 추출하여 얻은 추가 정밀도를 설명하기 위해 유한 모집단 보정을 사용하여 오차 한계를 조정할 수 있다.FPC는 공식으로^[1] 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac{N-n}{N-1}}}}}$

여론조사 $결과{\displaystyle }$ 30만 명의 유권자가 24$\%$ 이상 $투표했다면$

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline{p}\p}\p}\약 {\frac {0.98}{\sqrt{72,000}}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle MOE_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

직관적으로 적절한 크기의 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대해$,$

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}\약 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}=0}$

$이전$의 경우 n ${\displaystyle$ n$}$은(는) 너무 작아서$$ 보정이 필요하지 않다.후자의 경우, 여론조사는 효과적으로 인구조사가 되고 표본오차는 무트가 된다.

참고 항목

• 공학적 공차
• 키 관련성
• 측정불확도
• 랜덤 오차

참조

원천

• 수드만, 세이모어와 브래드번, 노먼(1982)이다.질문: 설문지 설계에 대한 실제 가이드.샌프란시스코:조시 배스ISBN 0-87589-546-8
• Wonnacott, T.H.; R.J. Wonnacott (1990). Introductory Statistics (5th ed.). Wiley. ISBN 0-471-61518-8.

외부 링크

Wikibooks는 다음과 같은 주제에 대해 더 많은 것을 가지고 있다: 오류의 여백

• "Errors, theory of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Margin of Error". MathWorld.