측정-보존형 동력계

수학에서 측정보존형 동적 체계는 동적 체계의 추상적 공식, 특히 에고다이컬 이론에서 연구 대상이다. 측정 보존 체계는 푸앵카레 재발 정리에 따르며, 보수 체계의 특수한 경우다. 그것들은 광범위한 물리적 시스템에 대한 형식적이고 수학적 기초를 제공하며, 특히 열역학적 평형 시스템뿐만 아니라 고전 역학(특히 대부분의 비분열적 시스템)으로부터 많은 시스템을 제공한다.

정의

측정값 보존 역동적 시스템은 확률 공간과 측정값 보존 변환으로 정의된다. 더 자세히 말하자면, 그것은 시스템이다.

${\displaystyle(X,{\mathcal {B},\mu,T)}$

다음과 같은 구조로:

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 집합이지만
• ${\displaystyle \mathcal{B}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal${$B$$}}$은$($는$)$ X $위$에 있는 σ-알지브라,,
• ${\displaystyle \mu \mathcal{}}$: ${\displaystyle \mathrm{B}}$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal{B}}\오른쪽$ 화살표 $[0,1]}$이(${\displaystyle 가}$) 확률 측정이므로 $\mu {\displaystyle (\mathrm{X}}$ )$$=${\displaystyle }$1 {\$displaystyle \mu(X)=1$${\displaystyle }\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ {\$displaystystyledown$\muyone \muyputymu(\$mu(\$muffector \$mu=$0},\mu)=0$\},$$$\muffice=mu
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ is a measurable transformation which preserves the measure ${\displaystyle \mu }$, i.e., ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))$$=\mu (A)}$.

토론

변환을 보존하는 측정치가 $역\mu {\displaystyle (T{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$A ) = ${\displaystyle \mu }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \mu$ ($T^{-1})(A)$의 관점에서 정의되는 이유를 물을 수 있다.$=\mu (A)}$전방$$ 변환 $\mu {\displaystyle (T}$( A${\displaystyle }$) =${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle \mu (T)=\mu (A)}.$ 이것은 상당히 쉬운 방법으로 이해할 수 있다$.$ 다음 전원 세트의 매핑$$ $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle {\mathcal{T}:P(X)\to P(X)}$

교차로, 조합 및 보완물을 보존하고(따라서 보렐 집합의 지도) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) X ${\displaystyle X}$에 보내는 지도$$ $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 특별한 경우를 지금 고려해 보십시오.$$ 그러한 모든 보수적인 보렐 보존 지도는${\displaystyle }T{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle A}$) =${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle${\$mathcal${\mathcal$}(A)=$라고 적음으로써$$ 어떤 절망적인 $지도{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to$ X$}$에 $의해$ 지정될 수 있다.$T^{-1}(A)}$. Of course, one could also define ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$, but this is not enough to specify all such possible maps ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. That is, conservative, Borel-preserving maps ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ cannot, in general, be written in the form ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$ one might consider, for example, the map of the unit interval ${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)}$ given by ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1;}$ this is the Bernoulli map.

$\mu {\displaystyle ({}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle \mu(T^{-1}(A)})$는 푸시포워드 형태를 가지고$$ 있는 반면, $\mu {\displaystyle (T)}$ ${\displaystyle (A}$ )$${\$displaystyle \mu(A)}$은 일반적으로 풀백(pullback)이라고 불린다$$. 거의 모든 동적 시스템의 특성과 동작은 푸시포워드로 정의된다. 예를 들어, 변환 지도 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 푸시포워드 관점에서 전송 연산자를 정의한다$.$ 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 이제 전송 연산자의 프로베니우스-페론 고유벡터일 뿐이다(recall, FP 고유벡터는 migenevector의 최대 고유 벡터).atrix; 이 경우 고유값이 1인 불변측정값을 갖는 고유 벡터가 된다.

관심 있는 분류 문제는 두 가지다. One, discussed below, fixes ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ and asks about the isomorphism classes of a transformation map ${\displaystyle T}$. The other, discussed in transfer operator, fixes ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ and ${\displaystyle T}$, and asks about maps $$$[\displaystyle \mu }$은(는) 측정과 같은 것이다. 측정과 마찬가지로 보렐 성질을 보존하지만 더 이상 불변하지 않다. 그것들은 일반적으로 소멸하고 있기 때문에 분산 시스템과 평형으로의 경로에 대한 통찰력을 준다.

물리학의 관점에서 측정보존형 동력계$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ T$){\디스플레이스타일(X,{\mathcal{B},\mu,T)$은 열역학적 평형 등 평형 상태에 있는 물리적 계통을 설명하는 경우가$$ 많다. 사람들은 어떻게 그것이 그렇게 되었냐고 물을지도 모른다. 종종, 그 대답은 교반, 혼합, 난류, 열화 또는 다른 그러한 과정들에 의해 이루어진다. 변환 맵 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 이 교반, 혼합 등을 설명하는$$ 경우, 모든 과도 모드가 소멸된 후 시스템$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal{B},\mu, T)$이 남은 것이다$$. 과도모드는 정확히 고유값이 1 미만인 전송사업자의 고유 벡터들이다. 불변측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 부패하지 않는 하나의 모드다. 과도 모드의 붕괴 속도는 고유값(로그리듬)에 의해 주어진다. 고유값 1은 무한 반감기에 해당한다.

비공식적 예

물리학의 마이크로캐논학 앙상블은 비공식적인 예를 제공한다. 예를 들어, 너비, 길이 및 $높이$가 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle l}$× ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle w\time h,}$인 상자에 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 원자로$$ 구성된$$ 유체, 가스 또는 플라즈마를 고려해 보십시오. 이 상자의 단일 원자는 임의의 속도를 가진 임의의 어느 곳에 있을 수 있다. $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ l ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \times }$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ . $displaystyle w\time l\time$ h$\time$ h$\mathb$ {$R} ^{3}}}}$ $주어진$ N ${\displaystyle N}$ 원자의$$ 집합은 공간 어딘가에 단일 점이 될 것이다(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ×${\displaystyle }$×${\displaystyle }$×${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle N^{}}$. ${\displaystyle (w\time l\time$ h$)^{N}\time \mathb {R}^{3N}}"$엔젤럼$$"은 그러한 모든 포인트, 즉 가능한 모든 박스의 모음입니다(이 중 셀 수 없이 무한 숫자가 있음). 이 모든 가능한 박스의 앙상블은 위의$$ $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이다.

이상적인 기체의 경우 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 맥스웰-볼츠만 분포에 의해 주어진다$$. It is a product measure, in that if ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ is the probability of atom ${\displaystyle i}$ having position and velocity ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}$$}$${\displaystyle N}$ 원자의$$ $경우{\displaystyle }$ $이$ 중 N ${\displaystyle N}$의 산물이다. 이 조치는 앙상블에 적용하는 것으로 이해된다. 그래서 예를 들어 앙상블에서 가능한 상자 중 하나는 상자의 한쪽에 모든 원자를 가지고 있다. Maxwell-Boltzmann 측정값에서 이러한 가능성을 계산할 수 있다. 순서가 $O{\displaystyle \mathcal{}({\mathrm{}}^{}}$- 3 ${\displaystyle N^{}}$)인 엄청나게 작을 것이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}\왼쪽(2^{-3N}\오른쪽).$$}}$ 앙상블에서 가능한 모든 상자 중, 이것은$$ 터무니없이 작은 분량이다.

이것이 '비공식적 예'인 유일한 이유는 전환함수 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 적는 것이 어렵고$$, 적는다고 해도 실제 계산을 하기 어렵기 때문이다. 교호작용이 이상적인 가스 당구공-볼 유형의 교호작용이 아니라 반 데르 발스 교호작용 또는 액체나 플라즈마에 적합한 다른 교호작용이 될 경우 어려움이 가중된다. 이 경우 불변측정치는 더 이상 맥스웰-볼츠만 분포가 아니다. 물리학은 합리적인 근사를 찾는 것이다.

이 시스템은 측정을 보존하는 역동적인 시스템의 분류에서 한 가지 핵심 아이디어를 보여준다. 즉, 온도가 다른 두 앙상블은 불평등하다는 것이다. 주어진 표준 앙상블의 엔트로피는 그것의 온도에 달려있다; 물리적 시스템으로서, 온도가 다를 때 시스템도 마찬가지라는 것은 "분명하다". 이것은 일반적으로 유지된다: 서로 다른 엔트로피를 가진 시스템은 이형성이 아니다.

예

위의 비공식적인 예와는 달리, 아래의 예는 충분히 잘 정의되어 있고 명시적이고 공식적인 계산을 수행할 수 있다.

• μ는 단위 원 위에서 표준화된 각도 측정 dθ/22일 수 있으며, T는 회전이 될 수 있다. 등분포 정리를 참조한다.
• 베르누이 계획
• 간격 교환 변환.
• 적절한 조치의 정의에 따라 유한 유형의 하위 변속
• 무작위 동적 시스템의 기본 흐름
• 밀폐된 연결 매끄러운 다지관의 접선다발에서 해밀턴 벡터장의 흐름은 리우빌의 정리(해밀턴어)에 의해 측정 보존된다.^[1]
• 특정 지도와 마르코프 프로세스에 대해, 크릴로프-보골류보프 정리는 측정을 보존하는 동적 시스템을 형성하기 위한 적절한 조치의 존재를 확립한다.

그룹 및 모노이드에 대한 일반화

한measure-preserving 동적 시스템의 정의에 있는 체제의 역학을 해 주기를 거듭해는 T는 단 하나의 변화지만, 변화를 대신은monoid(그 경우 우리는 지정된 확률 공간에 그룹의 작용을 일으키다나 심지어 한그룹,), 그 사건에:X→ Xs에 의해 parametrized이 개괄될 수 있는 ∈ Z(또는 R, 또는 N { {0} 또는 [0, +16]), 여기서 각 변환 T는_s 위의 T와 동일한 요구사항을 만족한다.^[1] 특히, 변환은 다음과 같은 규칙을 따른다.

• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X:X$:X$\오른쪽 화살표$ X$}$, X의 ID 함수;
• ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$= ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ s ${\$ 모든 용어가 잘 정의될 때마다,
• ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$= T${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle s_{}}$ ${\$ 모든 용어가 잘 정의될 때마다.

s ∈ N에 대해 T_s = T를^s 정의함으로써 더 빠르고 단순한 사례가 이 프레임워크에 들어맞는다.

동형성

동형식과 이형성의 개념은 정의될 수 있다.

두 가지 동적 시스템$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ T${\displaystyle }$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal {A},\mu,T)$ 및$$ $({\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle(Y,{\mathcal {B},\nu,S)}$을 고려하십시오$.$ 그런 다음 매핑을 참조하십시오.

$\displaystyle \varphi :X\to Y}$

다음과 같은 세 가지 특성을 만족하는 경우 동적 시스템의 동형성이다.

1. 지도 $\phi {\displaystyle }$ ${\$}을(를) 측정할 수 있다$$.
2. 각 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$에 대해$$$\mu {\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$B${\displaystyle }$) = μ(B${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \nu (B}$ ) ${\displaystyle \mu(\varphi ^{-1}B)=\nu(B$
3. $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ - 거의$$ 모든 x $x{\displaystyle x}$ X$${\$displaystyle$ x$\in$X$\}$의 경우, $\phi {\displaystyle }$ (T${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle S}$ ($$ x ) $displaysty \varphi$ ($Tx)=S(\varphi$ x)}이$$있다$.$

시스템$({\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \nu ,}$ S${\displaystyle }$) ${\displaystyle(Y,{\mathcal {B},\nu,$ ${\displaystyle S}$$)}$을(를) $({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ T${\displaystyle }$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal {A},\mu,$ T$)}$의 인수라고 한다$$$.$

지도 $\phi {\displaystyle }$ ${\$은(는) 또 다른 매핑이 존재하는 경우 동적 시스템의 이형성이다.

$[\displaystyle \property :Y\to X}$

그것 또한 만족하는 동형상이다.

1. $[\displaystyle \mu$} - 거의$$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in X$의 경우, 1은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle x=\psi (\varphi$ x$)}$ $;;$
2. ▼ ${\displaystyle \nu}$ - 거의$$ 모든 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ Y ${\displaystyle$ y$\in$ Y$}$의 경우$,$ $1개$에는${\displaystyle }$y =${\displaystyle \phi }$ ( ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle y}$) {\$displaystyle$y=\$varphi$(\$psi$ y$)}$ 가 있다$.$

그러므로, 사람들은 역동적인 시스템과 그들의 동형성의 범주를 형성할 수 있다.

일반 포인트

점 x ∈ X는 점의 궤도가 측정에 따라 균일하게 분포되어 있으면 일반점이라고 한다.

기호 이름 및 생성기

동적 시스템$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle T}$ ,$){\displaystyle (X,{\mathcal {B},T,\mu$ $)\}$을(를) 고려하면서 Q = {Q₁, ..., Q_k}을(를) 측정 가능한 쌍으로 분할한다. 점 x ∈ X가 주어진다면, x는 Q_i 중 하나에 속할 것이 분명하다. 마찬가지로 반복 지점 Tx도ⁿ 부품 중 하나에 속할 수 있다. 파티션 Q와 관련하여 x의 기호 이름은 다음과 같은 정수 {a_n}의 시퀀스입니다.

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

칸막이에 관한 상징적인 이름들의 집합은 역동적인 시스템의 상징적인 역동성이라고 불린다. 파티션 Q는 μ-거의 모든 점 x가 고유한 기호 이름을 갖는 경우 생성기 또는 파티션 생성기라고 불린다.

파티션 작업

파티션 Q = {Q₁, ..., Q} 및 동적_k 시스템$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle T}$,${\displaystyle \mu }$) {\$displaystyle(X,$ {\$mathcal$ {$B},$ T$,\mu$)을 지정하면$$Q의 T-풀백을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{1}Q_{1}{1},\ldots, T^{-1}Q_{k}\}.}$

또한 두 개의 파티션 Q = {Q₁, ..., Q_k} 및 R = {R₁, ..., R}을_m(를) 지정하면 정교함이 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots,k,\j=1,\ldots,m,\\\\mu(Q_{i}\cap R_{j}}}}}}}}}.}$

이 두 구조에서 반복된 풀백의 정교화는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\bigvee _{n=0}^{{n}Q&=\{Q_{0}\cap T^{1}Q_{1}Q}\cap \codots \cap T^{-N}Q_{i_{n_{i_{i_{i_{i_}}}}}}{{{{{{{{{i_}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

동적 시스템의 측정-방사성 엔트로피 구축에 중요한 역할을 한다.

측정-이성 엔트로피

파티션 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 엔트로피는 다음과^[2][3] 같이 정의된다$$.

${\displaystyle H({\mathcal {Q})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}\mu(Q)\log \mu(Q).}$

파티션 Q = {Q₁, ..., Q_k}에 대한$$ 동적 시스템$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle(X,{\mathcal {B},T,\mu$)의 측정-이론 엔트로피는 다음으로 정의된다.

${\displaystyle h_{\mathcal{Q}}}=\lim _{N\frac {1}{{N}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}\오른쪽)={{N}}\mathcal}\}\}\rig}\rig}\ript.}$

마지막으로, 동적 시스템의 Kolmogorov-Sinai 미터법 또는 측정-이론 엔트로피$({\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle T}$ ,$){\displaystyle(X,$ {\$mathcal {B},$ T$,\mu )$은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\supp_{Q}h_{\mu }}(T,Q).}$

모든 유한한 측정 가능한 칸막이를 지배하는 곳이지 1959년 야코프 시나이 정리는 그 우월성이 실제로 발전기인 칸막이에 획득된다는 것을 보여준다. 따라서, 예를 들어, 베르누이 공정의 엔트로피는 로그 2인데, 거의 모든 실수는 고유한 이진 확장을 가지고 있기 때문이다. 즉, 단위 간격을 [0, 1/2)과 [1/2, 1] 간격으로 분할할 수 있다. 모든 실제 숫자 x는 1/2 이하일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다; 마찬가지로 2x의ⁿ 부분적 부분도 그렇다.

공간 X가 좁고 토폴로지를 포함하거나 미터법 공간인 경우 위상 엔트로피도 정의할 수 있다.

분류 및 분류 방지 정리

측정 보존 시스템 연구의 주요 활동 중 하나는 특성에 따른 분류다. That is, let ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ be a measure space, and let ${\displaystyle U}$ be the set of all measure preserving systems ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$. An isomorphism ${\displaystyle S\sim T}$ of two transformations ${\disp$$레이스타일 S,T}$은 동등성 관계 $R{\displaystyle \mathcal{}\mathrm{defines}}$ U ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle${\$mathcal {R}\subset U\time U}$을 정의한다$$. 그 다음 $목표$는 R$${\$displaystyle${\$mathcal {R}$ 관계를 기술하는 것이다$.$ 여러 가지 분류 이론들을 얻었지만 꽤 흥미롭게도 여러 가지 반 분류 이론들이 발견되었다. 음. 반분류 이론은 셀 수 있는 이소모르피즘 등급이 수두룩하고, 셀 수 있는 양의 정보가 이소모르피즘을 분류하기에 충분하지 않다고 말한다.^[4][5]

Hjorts로 인한 첫 번째 반분류 정리에서는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 약한 위상이 부여되면$$ 세트 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 보렐 집합이 아니라고$$ 명시한다.^[6] 그 밖에 다양한 반분류 결과가 있다. 예를 들어, 이형성을 카쿠타니 등가성으로 대체하면, 각 엔트로피 유형의 비 카쿠타니 등가 측정-보존형 변환이 셀 수 없이 많다는 것을 알 수 있다.^[7]

이것들은 분류의 이론과 대조적이다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 순수 포인트 스펙트럼을 가진 인체모형 측정 보존 변환이 분류되었다.^[8]
• 베르누이 교대조는 미터 엔트로피로 분류된다.^[9][10][11] 자세한 내용은 Ornstein 이론을 참조하십시오.

참고 항목

• 크릴로프-보골류보프 불변 조치의 존재에 대한 정리
• 푸앵카레 재발 정리

참조

추가 읽기

• 마이클 S. 킨 "Eergodic 이론과 유한 유형의 하위 변화", (1991) 에르고딕 이론, 심볼라 다이내믹스 및 쌍곡 공간, 팀 베드포드, 마이클 킨과 캐롤라인 시리즈, 에드스의 2장으로 등장한다. 옥스퍼드 대학 출판부, 옥스퍼드 대학 출판부 (1991년). ISBN 0-19-853390-X(설명서 소개, 연습 및 광범위한 참조 자료 제공)
• 라이상 영 "동력계통에서의 엔트로피"(pdf; ps)는 엔트로피, 안드레아스 그레벤, 게르하르트 켈러, 제럴드 와르네크에서 16장으로 등장한다. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, NJ(2003) ISBN 0-691-11338-6
• T. 슈르만과 나. 호프만, n단백스 안에 있는 이상한 당구의 엔트로피. J. 체육 A 28(17), 페이지 5033, 1995. PDF-문서(측정 보존 다이내믹 시스템의 보다 관련된 예시)