불변측정법

수학에서 불변 측정은 어떤 기능에 의해 보존되는 측정이다. 에고다이컬 이론은 역동적인 시스템에서 불변 측정의 학문이다. 크릴로프-보골류보프 정리는 고려 중인 기능 및 공간에 대한 특정 조건 하에서 불변 조치의 존재를 증명한다.

정의

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$) ${\displaystyle (X,\Sigma )}$은(는) 측정 가능한 공간이고 f$$${\displaystyle }$: $X{\displaystyle }$ →${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ f:$X\to$ X$}$은(는) X ${\displaystyle X}$부터 그 $자체$까지 측정 가능한 함수가 되도록 한다. urable , ${\displaystyle$ $\mu$$}$ (X$$ , $\mu {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle }$)$${\$displaystyle (X,\\Sigma )}$에서 측정 가능한 모든 집합 $A$에 대해 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\Sigma }$에 대해 측정 $[\displaystystylee$ $f}$에 불변성이 있다고 한다$$.

푸시포워드 측정에 있어서는 $f{\displaystyle {}_{}}$μ(${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$라고 되어 있다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 따라 불변하는 $X$ ${\displaystyle X}$에 대한 측정(일반적으로 확률 측정)의 집합은 $때때로{\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle M_{f}(X$)로 표시된다$.$$}$ {\$displaystyle E_{f}(X)}$의 에고다이오드 측정$$ $집합$은 ${\displaystyle M_{}}$ f (${\displaystyle {}_{}X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle M_{f}(X$)의 하위 집합이다$.$$}$ Moreover, any convex combination of two invariant measures is also invariant, so ${\displaystyle M_{f}(X)}$ is a convex set; ${\displaystyle E_{f}(X)}$ consists precisely of the extreme points of ${\displaystyle M_{f}(X).$$}$

In the case of a dynamical system ${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$ where ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ is a measurable space as before, ${\displaystyle T}$ is a monoid and ${\displaystyle \varphi :$$T\time X\to X}$이(${\displaystyle 가}$) 흐름도인데$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{X}}$, , )${\displaystyle (X,\Sigma )}$에 있는 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}}이(가) 각 지도 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \varphi _{t:$$X\to X.}$ 명시적으로$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 다음과 같은 경우에만 불변임

다른 방법으로$,$ ${\displaystyle \mu }}$은(는) 초기 $조건{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ $0${\$displaystyle$ $\{t}\오른쪽$)이$$ 분포될 때마다 연속된 랜덤 변수$Z$t ) t$t$ 0$${\displaystyle$$$\{$t$}\$$geck$ 0$}}}}}}}}($아마도)에 대한 불변수치 않은 측정값이다. $\mu {\displaystyle }$, ${\displaystyle \mu ,}$에 따르면 Z ${\displaystyle t_{}}$ ${\$도 $마찬가지{\displaystyle }$ 입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle t.}$

동적 시스템이 전송 운영자에 의해 설명될 수 있는 경우, 불변 측정치는 $운영자$의 고유 벡터로서 1,${\displaystyle 1}$의 고유값에 해당하며, 이는$$ 프로베니우스-페론 정리에 의해 주어진 가장 큰 고유값이다.

예

• 통상적인 Borel σ-algebra의 실제$$ ${\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$을$($를) 고려하십시오. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$${\displaystyle in\mathbb{}}$ $\mathb {R}$을(를) 수정하고 변환$$ 맵 T ${\displaystyle a_{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\$}\mathb$\to }:$ {$R}$을(으)로 $고려$하십시오.
  $${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$

  
  그러면 1차원 Lebesgue 측정값 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 ${\displaystyle T_{}}$ a .${\displaystyle T_{a}$에 대한 불변 측정값이다.$}$
• More generally, on ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with its usual Borel σ-algebra, ${\displaystyle n}$-dimensional Lebesgue measure ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ is an invariant measure for any isometry of Euclidean space, that is, a map ${\displaystyle T:{\mathbb{R}}^n}$${\displaystyle {}^{}\to }$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ T$:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R} ^{n}}$로 기록할 수 있음$$
  $$[\displayplaystyle T(x)=Ax+b}$$

  
  일부 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$}$직교$$ 행렬 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$ 및$$ 벡터 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ .${\displaystyle b\in \mathb$ {$R} ^{n}.$$}$
• 첫 번째 예에서 불변 측정은 상수 인자를 갖는 사소한 리노마화까지 독특하다. 반드시 다음과 같은 경우가 있을 필요는 없다. 두 $점{\displaystyle \mathbf{}}$S${\displaystyle }$= { ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}$로 구성된 세트와 ID${\displaystyle }맵{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$= Id {\$displaysty$T=\$operatorname$ {$Id}$로 구성된 세트만$$ 고려하십시오$.$ 그러면 확률 측정 ${\displaystyle \mu s\mathbf{}}$= S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$는) 불변이다$$. $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 사소한$$ 경우 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ -invariant$$ ${\displaystyle \mathrm{구성}}$ 요소${\displaystyle }${ A${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{A\}$ 및$$${\displaystyle }${${\displaystyle B\}.}$ ${\displaystyle \{B\}}}$로 분해된다는 점에 유의하십시오.$}$
• 유클리드 평면의 면적 측정은 2${\displaystyle \times }$ 2 ${\displaystyle 2\times 2}$ 실제$$ 행렬 중 특수$$ 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SL}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle 2\mathbb{},}$ R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {SL}(2,\mathb${$R$$} )$에 따라 불변한다${\displaystyle \mathrm{.}}$ 1. ${\displaystysty1.}$
• 모든 로컬 컴팩트 그룹에는 그룹 액션에 따라 불변하는 하르 측정치가 있다.
• 각도는 유클리드 또는 아핀 운동 하에서 불변하는 측정이다. 유클리드 운동은 회전이고 측정은 원각이다. 아핀 동작은 전단 매핑 또는 압착 매핑일 수 있다. 피복 하의 불변 측정치는 경사도의 차이인 반면 압착 하의 불변 측정치는 쌍곡선 각이다.^[1]

참고 항목

• 준불변측정법

참조

• 존 폰 노이만(1999) 불변측정 미국수학협회 ISBN978-0-8218-0912-9