뉴턴의 만유인력 법칙

시리즈의 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}}(m{\textbf {v}})}$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교재
나뭇가지 응용의 천상 연속체 역학 운동학 동역학 통계학 통계역학
펀더멘털 가속도 각운동량 커플 달랑베르 원리 에너지 운동의 잠재적인 힘. 기준틀 관성 기준틀 충동 관성/관성 모멘트 덩어리 기계력 기계작업 순간. 운동량 공간 스피드 시간을 토크 속도 가상작업
제형 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 루시아 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠의 운동방정식 쿱만-본 노이만 역학
핵심주제 감쇠 변위 운동방정식 오일러 운동 법칙 가공의 힘 마찰 고조파 발진기 관성/비관성 기준틀 평면입자운동의 역학 움직임(선형) 뉴턴의 만유인력 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대속도 강체 동역학 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원운동 회전기준틀 구심력 원심력 반응성이 있는 코리올리스 힘 진자 접선 속도 회전주파수 각가속도/변위/주파수/속도
사이언티스트 케플러 갈릴레오 호이겐스 뉴턴 경이다. 호록스 핼리 모페르투이스 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라우로 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 코시 루스 리우빌 아펠 깁스 쿠프만 폰 노이만
물리 포털 카테고리
v t

뉴턴의 만유인력 법칙은 모든 입자가 질량의 곱에 비례하고 중심 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 힘으로 우주의 모든 다른 입자를 끌어당긴다고 말합니다. 분리된 물체는 마치 모든 질량이 중심에 집중된 것처럼 끌어당기고 끌립니다. 이 법칙의 출판은 알려진 천문학적 행동으로 이전에 설명된 지구의 중력 현상을 통일하는 것을 기념했기 때문에 "최초의 위대한 통일"로 알려지게 되었습니다.^[1][2][3]

이것은 아이작 뉴턴이 귀납적 추론이라고 부르는 경험적 관찰에서 파생된 일반적인 물리 법칙입니다.^[4] 그것은 고전역학의 한 부분이며 1687년 7월 5일에 최초로 출판된 뉴턴의 작품인 Philosophi æ Naturalis Principia Mathematica ("프린키피아")에서 공식화되었습니다.

따라서 만유인력에 대한 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

여기서 F는 두 물체 사이에 작용하는 중력, m과₁ m은₂ 물체의 질량, r은 질량 중심 사이의 거리, G는 중력 상수입니다.

뉴턴의 질량 사이의 중력 법칙을 실험실에서 처음으로 실험한 것은 1798년 영국 과학자 헨리 캐번디시가 실시한 캐번디시 실험입니다.^[5] 그것은 뉴턴의 원리가 출판된 지 111년 후, 그리고 그가 죽은 지 약 71년 후에 일어났습니다.

뉴턴의 중력 법칙은 대전된 두 물체 사이에서 발생하는 전기력의 크기를 계산하는 쿨롱의 전기력 법칙과 비슷합니다. 둘 다 역제곱 법칙으로 힘은 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다. 쿨롱의 법칙은 질량 대신 전하와 다른 상수를 가지고 있습니다.

뉴턴의 법칙은 후에 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론으로 대체되었지만, 중력 상수의 보편성은 그대로이고 법칙은 여전히 대부분의 응용에서 중력 효과의 훌륭한 근사치로 계속 사용되고 있습니다. 상대성 이론은 극단적인 정확성이 필요할 때나, 극도로 질량이 크고 밀도가 높은 물체 근처나 작은 거리(태양 주위를 도는 수성의 궤도와 같은)에서 발견되는 매우 강한 중력장을 다룰 때만 필요합니다.

역사

1600년경에 과학적 방법이 뿌리내리기 시작했습니다. 르네 데카르트는 신학과 독립적으로 물질과 행동에 대한 생각을 발전시키면서 좀 더 근본적인 관점에서 다시 시작했습니다. 갈릴레오 갈릴레이는 낙하와 구르는 물체의 실험적인 측정에 대해 썼습니다. 요하네스 케플러의 행성 운동 법칙은 타이코 브라헤의 천문학적 관측을 요약했습니다.^{[6]: 132}

1666년경 아이작 뉴턴은 케플러의 법칙이 지구 주위의 달의 궤도에도 적용되어야 하며, 그 다음에는 지구의 모든 물체에도 적용되어야 한다는 생각을 발전시켰습니다. 당시 입증되지 않은 추측인 지구의 모든 질량이 중심에 집중된 것처럼 중력이 작용했다는 가정하에 분석이 필요했습니다. 달 궤도 시간에 대한 그의 계산은 알려진 값의 16% 이내였습니다. 1680년에 지구 지름에 대한 새로운 값들은 그의 궤도 시간을 1.6% 이내로 향상시켰지만, 더 중요한 것은 뉴턴이 그의 초기 추측의 증거를 발견했다는 것입니다.^{[7]: 201}

1687년 뉴턴은 케플러의 경험적 결과를 설명하기 위해 그의 운동 법칙과 새로운 수학적 분석을 결합한 자신의 원리를 출판했습니다.^{[6]: 134} 그의 설명은 만유인력의 법칙의 형태였습니다: 어떤 두 물체도 질량에 비례하고 분리 제곱에 반비례하는 힘에 의해 끌립니다.^{[8]: 28} 뉴턴의 원래 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propot {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}$

여기서 $기호$∝ ${\displaystyle$\propto}는 "비례"를 의미합니다. 이것을 등변 공식이나 방정식으로 만들기 위해서는 질량의 값이나 그 사이의 거리(중력 상수)에 관계없이 정확한 중력을 주는 곱셈 계수나 상수가 필요했습니다. 뉴턴은 자신의 역제곱 법칙을 증명하기 위해서는 이 상수의 정확한 측정이 필요했습니다. (1686년 4월 뉴턴이 왕립학회에 출판되지 않은 글의 1권을 발표했을 때, 로버트 훅은 뉴턴이 자신으로부터 역제곱 법칙을 얻었다고 주장했는데, 이는 결국 경박한^{[7]: 204} 비난이었습니다.)

뉴턴의 "지금까지 알려지지 않은 원인"

뉴턴은 그의 기념비적인 작품에서 중력 법칙을 공식화할 수 있었지만, 그는 그의 방정식이 암시하는 "멀리 있는 행동"이라는 개념에 매우 불편했습니다. 1692년, 벤틀리에게 보낸 세 번째 편지에서, 그는 이렇게 썼습니다: "한 몸이 다른 어떤 것의 중재 없이도 진공을 통해 멀리서 다른 몸에 작용할 수 있다는 것은, 그들의 작용과 힘이 서로에게서 전달될 수 있다는 것은, 저에게 너무나 큰 부조리입니다. 철학적인 문제에 있어서 유능한 사고력을 가진 사람은 결코 거기에 빠질 수 없습니다."

그는 자신의 말로 "이 권력의 원인을 부여"한 적이 없습니다. 다른 모든 경우에는 운동 현상을 이용하여 신체에 작용하는 다양한 힘의 기원을 설명했지만, 중력의 경우에는 중력의 힘을 만들어내는 운동을 실험적으로 규명할 수 없었습니다(1675년과 1717년에 두 가지 기계적 가설을 발명했지만). 게다가, 그는 이 힘의 원인에 대해, 그렇게 하는 것이 건전한 과학에 어긋난다는 이유로 가설을 제시하는 것조차 거부했습니다. 그는 중력의 근원에 대해 "철학자들은 지금까지 자연의 탐구를 헛되이 시도했다"고 개탄했는데, 그는 "많은 이유로" 모든 "자연의 현상"에 근본적인 "지금까지 알려지지 않은 원인"이 있다고 확신했기 때문입니다. 이러한 근본적인 현상들은 아직도 연구 중이며, 많은 가설들이 존재하지만, 아직 확실한 답을 찾지 못했습니다. 그리고 1713년 프린시페아 2판에 실린 뉴턴의 제너럴 스콜리움에서 "나는 아직 이러한 중력의 특성의 원인을 현상으로부터 발견하지 못했고, 어떠한 가설도 없는 것 같습니다. 중력이 실제로 존재하고 내가 설명한 법칙에 따라 행동한다는 것, 그리고 그것이 천체의 모든 운동을 풍부하게 설명하는 역할을 한다는 것만으로도 충분합니다."^[9]

모던폼

현대어로 된 이 법은 다음과 같습니다.

모든 점 질량은 두 점과 교차하는 선을 따라 작용하는 힘에 의해 다른 모든 점 질량을 끌어당깁니다. 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 두 질량 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다.[10]
${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$ 어디에 F는 질량 사이의 힘입니다. G는 뉴턴의 중력 상수(6.674 × 10 m ⋅kg ⋅)입니다. m은1 첫번째 질량입니다. m은2 두 번째 질량입니다. r은 질량 중심 사이의 거리입니다.

SI 단위를 가정할 때 F는 뉴톤(N), m 및 m은 킬로그램(kg), 린 미터(m)로 측정되며 상수 G는 6.67430(15)×10m ⋅kg ⋅입니다. 상수 G의 값은 1798년 영국 과학자 헨리 캐번디시가 수행한 캐번디시 실험 결과에서 처음으로 정확하게 결정되었지만 캐번디시 스스로 G에 대한 수치를 계산하지는 않았습니다.^[5] 이 실험은 뉴턴의 질량 간 중력 이론을 실험실에서 처음으로 실험한 것이기도 합니다. 뉴턴의 원리가 출판된 지 111년 후, 뉴턴이 죽은 지 71년 후에 일어났기 때문에 뉴턴의 어떤 계산도 G의 값을 사용할 수 없었고, 대신 다른 힘에 대한 힘만 계산할 수 있었습니다.

공간 범위가 있는 물체

문제의 물체가 (점질량이 아닌) 공간적 범위를 갖는 경우, 그들 사이의 중력은 물체를 구성하는 공준점질량의 기여도를 합하여 계산됩니다. 한계에서, 성분 점 질량이 "무한히 작음"에 따라, 이것은 두 물체의 범위에 걸쳐 힘(벡터 형태로, 아래를 참조)을 통합하는 것을 수반합니다.

이와 같이 구 대칭적인 질량 분포를 가진 물체는 마치 물체의 모든 질량이 중심에 있는 한 점에 집중된 것처럼 외부 물체에 동일한 중력 인력을 작용한다는 것을 알 수 있습니다.^[10] (일반적으로 구 대칭이 아닌 물체의 경우에는 그렇지 않습니다.)

물질의 구형 대칭 분포 안에 있는 점에 대해서는 뉴턴의 껍질 정리를 사용하여 중력을 구할 수 있습니다. 이 정리는 질량 분포의 서로 다른 부분이 질량 분포의 중심으로부터₀ r 떨어진 지점에서 측정된 중력에 어떤 영향을 미치는지 알려줍니다.^[12]

• 반지름 < r에₀ 위치한 질량 부분은 반지름 r의₀ 구 안에 둘러싸인 모든 질량이 질량 분포의 중심에 집중되어 있는 것과 같은 힘을₀ 반지름 r에 발생시킵니다(위에서 언급한 바와 같이).
• 반지름 > r에₀ 위치한 질량 부분은 중심에서 반지름 r에₀ 알짜 중력을 작용하지 않습니다. 즉, 반지름 r의₀ 한 점에 작용하는 개별 중력은 반지름 r₀ 밖에 있는 질량 요소들에 의해 서로 상쇄됩니다.

결과적으로, 예를 들어 균일한 두께와 밀도의 껍질 내에는 속이 빈 구 내 어디에도 순 중력 가속도가 없습니다.

벡터형태

뉴턴의 만유인력 법칙은 중력의 크기뿐만 아니라 중력의 방향을 설명하는 벡터 방정식으로 쓸 수 있습니다. 이 공식에서 굵은 글씨로 표시된 양은 벡터를 나타냅니다.

어디에

• F는₂₁ 물체 1이 작용하는 물체 2에 작용하는 힘이며,
• G는 중력 상수입니다.
• m과₁ m은₂ 각각 물체 1과 2의 질량입니다.
• r = r - r은 개체 1과 개체 2 사이의 거리이며,
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} _{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}}$ is the unit vector from object 1 to object 2.^[13]

F가 이제 벡터량이 되고, 우변에 적절한 단위 벡터를 곱한 것을 제외하고는 식의 벡터 형태는 앞서 주어진 스칼라 형태와 동일함을 알 수 있습니다. 또한, F = -F임을 알 수 있습니다.

중력장

중력장은 단위 질량당 주어진 공간의 물체에 가해질 중력을 설명하는 벡터장입니다. 그것은 사실 그 지점의 중력 가속도와 같습니다.

벡터 형태를 일반화한 것으로, 지구와 달 사이의 로켓과 같이 두 개 이상의 물체가 관련되어 있는 경우 특히 유용합니다. 두 물체(예: 물체 2는 로켓, 물체 1은 지구)의 경우, 우리는 단순히₂ m₁₂ 대신 r과 m 대신 r을 쓰고 중력장 g(r)을 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-G{m_{1} \over {\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}}$

다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {r}) = m\mathbf {g}(\mathbf {r}).}$

이 공식은 필드를 발생시키는 개체에 따라 달라집니다. 필드에는 가속도 단위가 있습니다. SI에서 이는 m/s입니다².

중력장 또한 보수적입니다. 즉, 중력이 한 위치에서 다른 위치로 수행하는 작업은 경로에 무관합니다. 이것은 다음과 같은 중력 퍼텐셜장 V(r)가 존재한다는 결과를 가져옵니다.

${\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-\nabla V(\mathbf {r}).}$

만약₁ m이 점질량이거나 균일한 질량 분포를 가진 구의 질량이라면, 구의 바깥쪽 힘장 g(r)은 등방성이며, 즉 구의 중심으로부터의 거리 r에만 의존합니다. 그 경우는

${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$

중력장은 대칭 질량의 내부와 외부에 있습니다.

가우스의 법칙에 따르면 대칭체의 장은 다음과 같은 수학 방정식으로 구할 수 있습니다.

${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}}$

$여기서$∂ V ${\displaystyle$ \$partial$V}는 닫힌 ${\displaystyle {\text{표면}}_{}}$이고$Menc$ {\$displaystyle M_${\text${$enc}}는 표면으로 둘러싸인 질량입니다.

따라서 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 속이$$ 빈 구와$$총 $질량$ M {\displaystyle M$}$에 대하여$,$

${\displaystyle \mathbf {g(r)} ={\begin{case}0,&{\text{if}}r<R\\\{\dfrac {GM}{r^{2}},&{\text{if}}r\geq R\end{case}}}$

$반지름{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$ R$}$의 균일한 $고체{\displaystyle }$구와 총 $질량$ M {\$displaystyle$ M}의 경우$,$

${\displaystyle \mathbf {g(r)} ={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

한계

뉴턴의 중력에 대한 설명은 많은 실용적인 목적으로 충분히 정확하기 때문에 널리 사용되고 있습니다. 무차원 양$$ϕ / c 2 ${\displaystyle \phi$/ c^{2$\}$ ${\displaystyle 및{}^{}}$(${\displaystyle v^{}}$ /$$c) 2${\displaystyle (v/$c)^{2}}가 둘 ${\displaystyle 다}$ 1보다 훨씬 적을 $때$ 편차가 작습니다$.$ 여기서 ϕ {\displaystyle \phi}는 $퍼텐셜$이고, v${\$displaystyle v}는 연구 대상 물체의 속도입니다. $그리고$ c ${\displaystyle$ c$}$는 진공에서의 빛의 속도입니다.^[14] 예를 들어, 뉴턴 중력은 지구/태양계에 대한 정확한 설명을 제공합니다.

${\displaystyle {\frac {\phi}{c^{2}}={\frac {GM_{\mathrm {sun}}}{r_{\mathrm {orbit}}c^{2}}\sim 10^{-8}\quad \frac {v_{\mathrm {Earth}}}\c}\right)^{2}=\left ({\frac {2\pir_{\mathrm {orbit}}{(1\mathrm {yr}c}\right)^{2}\sim 10^{-8}}$

$여기$서 ${\displaystyle {\text{r궤도}}_{}}$ ${\$는 태양 주위를 도는 지구 궤도의 반지름입니다.

무차원 매개변수가 큰 상황에서는 일반 상대성 이론을 사용하여 시스템을 설명해야 합니다. 일반상대성은 작은 퍼텐셜과 낮은 속도의 한계에서 뉴턴의 중력으로 감소하므로 뉴턴의 중력 법칙은 종종 일반상대성의 낮은 중력 한계라고 말합니다.

뉴턴의 공식과 상충되는 관측치

• 뉴턴의 이론으로는 행성들의 궤도들, 특히 수성의 궤도들의 근일점들의 세차운동을 완전히 설명하지는 못합니다. 이는 뉴턴이 살아난 지 한참 후에 발견된 것입니다.^[15] 다른 행성의 중력 인력으로만 발생하는 뉴턴의 계산과 19세기 동안 첨단 망원경으로 만들어진 관측된 세차 사이에는 세기당 43 아크초의 차이가 있습니다.
• 뉴턴의 이론을 사용하여 계산한 중력에 의한 광선의 예측 각도 편향(예상 속도로 이동하는 입자로 취급)은 천문학자들이 관측한 편향의 절반에 불과합니다.^{[citation needed]} 일반 상대성 이론을 이용한 계산은 천문 관측과 훨씬 더 밀접하게 일치합니다.
• 나선은하에서 중심을 중심으로 별들의 궤도를 도는 것은 뉴턴의 만유인력 법칙과 일반상대성이론을 모두 거역하는 것처럼 보입니다. 그러나 천체 물리학자들은 이 두드러진 현상을 대량의 암흑 물질의 존재를 가정함으로써 설명합니다.

아인슈타인의 해

시리즈의 일부
시공간
특수 상대성 이론 일반 상대성 이론
시공간 개념 시공간 다양체 등가원리 로런츠 변환 민코프스키 공간
일반 상대성 이론 일반상대성이론개론 일반상대성이론의 수학 아인슈타인 장방정식
고전중력 만유인력개론 뉴턴의 만유인력 법칙
관련수학 포벡터 상대성 이론의 유도 시공간 도표 미분기하학 곡선 시공간 일반상대성이론의 수학 시공간 위상
물리 포털 카테고리
v t

위의 관측과 처음의 두 충돌은 아인슈타인의 일반상대성이론에 의해 설명되었는데, 중력은 물체들 사이에서 전파되는 힘 때문이 아니라 휘어진 시공간의 표현입니다. 아인슈타인의 이론에서 에너지와 운동량은 그 주변의 시공간을 왜곡시키고, 다른 입자들은 시공간의 기하학에 의해 결정된 궤도로 이동합니다. 이를 통해 모든 관측 결과와 일치하는 빛과 질량의 움직임을 설명할 수 있었습니다. 일반 상대성 이론에서, 중력은 시공간의 곡률에서 비롯된 가공의 힘인데, 자유낙하에서 물체의 중력 가속도는 그 세계선이 시공간의 측지선이기 때문입니다.

확장

최근 몇 년 동안 중력 법칙에서 역제곱이 아닌 용어에 대한 탐구는 중성자 간섭법에 의해 수행되었습니다.^[16]

뉴턴 만유인력 법칙의 해법

n-바디 문제는 중력으로 서로 상호작용하는 천체들의 개별적인 움직임을 예측하는 고대의^[17] 고전적인 문제입니다. 이 문제를 해결하는 것은 - 그리스 시대부터 - 태양, 행성, 눈에 보이는 별들의 움직임을 이해하려는 열망에 의해 동기부여를 받았습니다. 20세기에는 구상성단 항성계의 역학을 이해하는 것도 중요한 n체 문제가 되었습니다.^[18] 일반 상대성 이론의 n-바디 문제는 풀기가 상당히 어렵습니다.

고전적인 물리적 문제는 다음과 같이 비공식적으로 말할 수 있습니다: 천체 그룹의 준안정 궤도 특성(순간 위치, 속도 및 시간)^[19]이 주어지면 상호 작용력을 예측하고 결과적으로 모든 미래 시간에 대한 실제 궤도 운동을 예측합니다.^[20]

제한된 3체 문제와 마찬가지로 2체 문제가 완전히 해결되었습니다.^[21]

참고 항목

• 벤틀리의 역설 – 중력을 수반하는 우주론적 역설
• 가우스의 중력 법칙 – 뉴턴의 만유인력 법칙의 재진술
• Jordan과 Einstein 프레임 – 중력과 결합된 딜라톤 이론에서 미터 텐서에 대한 다양한 규칙 위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 케플러 궤도 – 궤도면에서 원뿔 구간을 궤도로 하는 천체 궤도
• 뉴턴의 대포알 – 중력에 대한 사고 실험
• 뉴턴의 운동 법칙 – 물리학에서 힘과 운동에 관한 법칙
• 사회적 중력 – 사회이론
• 정력과 가상입자 교환 – 고전 이후 물리학에서의 물리적 상호작용

메모들

참고문헌

외부 링크

• Wikimedia Commons에서 뉴턴의 만유인력 법칙과 관련된 미디어
• 유투브에서 달에 떨어진 깃털과 망치
• 뉴턴 만유인력의 법칙 자바스크립트 계산기