최적추정

적용된 통계에서 최적 추정은 베이즈의 정리에 기초한 정규화된 행렬 역법이다. 그것은 특히 대기 음향을 위해 지질학에서 매우 흔하게 사용된다. 행렬 역문제는 다음과 같이 보인다.

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {x}={\vec {y}}}$

본질적인 개념은 행렬 A를 조건부 확률과 변수, $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ $y$ → ${\$을(를) 확률 분포로$$ 변환하는 것이다.

파생

일반적으로 대부분의 측정값의 통계가 가우스일 것으로 예상한다. 예를 들어 $P{\displaystyle (y\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle P({\vec {y}}{\vec {x}})$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle P({\vec {y}} {\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2} {\boldsymbol {S_{y}}} }}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}^{1}({\boldsymbol {A}}{\vec}-{\vec{y}}\오른쪽]}}}}$

where m and n are the numbers of elements in ${\displaystyle {\vec {x}}}$ and ${\displaystyle {\vec {y}}}$ respectively ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is the matrix to be solved (the linear or linearised forward model) and ${\displaystyle {\boldsymbol {S_{y}}}}$ is the covariance matrix 벡터 $y{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 $.$ $이{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 작업은${\displaystyle \stackrel{}{}}$x → ${\$:

${\displaystyle P({\vec{x}})={\frac {1}{{1}{m/2}}: {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}}}}}}}}}}확대 \좌측[-{\frac{1}{1}{\vec-{x-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{{{{{{{{{nowdata}}^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}({\vec{x}-{\widehat{x_{a}}}\오른쪽]}}$

Here ${\displaystyle P({\vec {x}})}$ is taken to be the so-called "a-priori" distribution: ${\displaystyle {\widehat {x_{a}}}}$ denotes the a-priori values for ${\displaystyle {\vec {x}}}$ while ${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}$ is its covariance matrix.

가우스 분포의 좋은 점은 그것들을 묘사하는 데 단지 두 개의 매개변수만이 필요하며 따라서 전체 문제가 다시 행렬로 변환될 수 있다는 것이다. $P{\displaystyle (x\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle y\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle P({\vec{x}}}{\vec{y}}})$가 다음과 같은 형태를 취한다고 가정하면:

${\displaystyle P({\vec{x}}{\vec{y}}}={\frac {1}{mn/2}}: {\boldsymbol{S_{x}}}}}}}}}}}} exp \ef[-{\vec}-{x}-{widehat {x}}^{}}}^{x}}}}}}}}}^{}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}^{{{{T}{\boldsymbol {S_{x}}^{-1}({\vec{x}-{\widehat{x}}}\오른쪽]}}$

${\displaystyle }$$P{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle (y\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle P({\vec{y}})$는 주어진 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 값에$$대해 단순히 일정한 스케일링 용어이기 때문에 무시될 수 있다$$. Now it is possible to solve for both the expectation value of ${\displaystyle {\vec {x}}}$, ${\displaystyle {\widehat {x}}}$, and for its covariance matrix by equating ${\displaystyle P({\vec {x}} {\vec {y}})}$ and ${\displaystyl$$e P({\vec{y}}} {\vec {x})$$P({\vec{x}})}$. 이렇게 하면 다음과 같은 방정식이 생성된다.

${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x}}=({\boldsymbol {A}^{\boldsymbolT}{{\boldsymbol{S_{y}^{1}-1}:{-1}{\boldsymbol{A}+{\boldsymbol{S_{a_}^{-1}}}^{-1}}}}{-1}}}}}}:{-1}$

${\displaystyle {\widehat{x}={\widehat {x_{a}}+{\boldsymbol {S_{x}}{\boldsymbol {A}^{}}{\boldsymbol}{A}^{}}}}}T}{\boldsymbol {S_{y}}^{-1}({\vec {y}-{\boldsymbol{A}}{\widehat{x_{a}}}}})$

우리가 가우스인을 사용하고 있기 때문에 기대값은 최대 가능성 값과 같기 때문에 이 역시 최대우도 추정의 한 형태다.

일반적으로 최적의 추정을 통해 회수된 수량의 벡터 외에 공분산 행렬과 함께 1개의 추가 행렬이 반환된다. 이를 분해능 매트릭스 또는 평균 커널이라고 부르기도 하며 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle {\boldsymbol{R}}=({\boldsymbol{A}^{\boldsymbolT}{{\boldsymbol{S_{y}}^{1}:{-1}{\boldsymbol{A}+{\boldsymbol {S_{x_}}}^{-1}}^{1}{\boldsymbol{A}^{A}}}}^{{\boldsymbold}^{}}}}}}^{{}}}}}}}}}}}}}}}^{{{}}}}}}}}}}}^T}{\boldsymbol{S_{y}}^{-1}{\boldsymbol{A}}}$

이것은 우리에게, 검색된 벡터의 주어진 원소에 대해서, 벡터의 다른 원소들이 얼마나 많이 혼합되어 있는지 알려준다. 프로파일 정보의 검색의 경우, 그것은 일반적으로 주어진 고도에 대한 고도 해상도를 나타낸다. 예를 들어 모든 고도에 대한 분해능 벡터가 가장 가까운 네 개의 인접 지역에 0이 아닌 원소(숫자 공차까지)를 포함하는 경우, 고도 분해능은 실제 그리드 크기의 4분의 1에 불과하다.

참조

• Clive D. Rodgers (1976). "Retrieval of Atmospheric Temperature and Composition From Remote Measurements of Thermal Radiation". Reviews of Geophysics and Space Physics. 14 (4): 609. doi:10.1029/RG014i004p00609.

• Clive D. Rodgers (2000). Inverse Methods for Atmospheric Sounding: Theory and Practice. World Scientific.

• Clive D. Rodgers (2002). "Atmospheric Remote Sensing: The Inverse Problem". Proceedings of the Fourth Oxford/RAL Spring School in Quantitative Earth Observation. University of Oxford.