병렬운송

구의 폐쇄 루프(A에서 N으로, B로, 다시 A로)를 중심으로 벡터를 병렬로 이동시킨다.

\alpha

\alpha

이

\alpha

가) 꼬이는 각도는 루프 내부의 영역에 비례한다.

기하학에서 병렬 전송(또는 병렬 변환^[a])은 다지관의 부드러운 곡선을 따라 기하학적 데이터를 전송하는 방법이다. 다지관이 아핀 연결부(공변량 파생상품 또는 접선다발 연결부)를 장착한 경우, 이 연결부는 다지관의 벡터를 곡선을 따라 이동시켜 연결부에 대해 평행하게 유지하도록 한다.

따라서 연결에 대한 병렬 이송은 어떤 의미에서 곡선을 따라 다지관의 국부 기하학을 이동하는 방법, 즉 인근 지점의 기하학적 구조를 연결하는 방법을 제공한다. 이용할 수 있는 병렬 운송 개념은 여러 가지가 있을 수 있지만, 한 가지 방법, 즉 곡선의 점의 기하학적 구조를 연결하는 한 가지 방법의 사양은 연결을 제공하는 것과 같다. 사실, 일반적인 연결 개념은 평행 운송의 극소수 아날로그다. 또는, 반대로 병렬 전송은 연결의 국소적 실현이다.

병렬 운송은 연결의 국소적 실현을 제공하므로, 홀로노미라고 알려진 곡률의 국소적 실현도 제공한다. 암브로즈-싱어 정리는 곡률과 홀로노미 사이의 관계를 명시적으로 만든다.

다른 연결 개념도 자체적인 병렬 운송 시스템을 갖추고 있다. 예를 들어 벡터 번들의 Koszul 연결은 공변량 파생상품과 거의 동일한 방식으로 벡터의 병렬 이동을 허용한다. Ehresmann 또는 Cartan 연결부는 다지관에서 주 다발의 전체 공간으로 곡선을 들어 올린다. 그러한 곡선 리프팅은 때때로 기준 프레임의 병렬 이동으로 생각할 수 있다.

벡터 번들의 병렬 전송

M을 매끄러운 다지관이 되게 하라. E→M을 공변량 파생상품 ∇과 γ을 가진 벡터 번들로 하자: I→M 개방간격 I에 의해 매개변수로 표시되는 매끄러운 곡선. ▼를 따라 $E$ $E$ $E$ 의 $X$ 섹션 $X$ $X$ 을(를) 병렬이라고 한다.

\nabla _{{\dot {\gamma }}X=0{\text{{}{{}in.\,

예를 들어, $X$ $X$ 이 $X$ (가) 다지관의 접선 번들의 접선 공간인 경우, 이 표현은 간격의 모든 $t$ $t$ ${\displaystyle t$ $}$ 에 대해 $\gamma (t)$ $\gamma (t)$ ${\displaysty \gamma(t)}$ 에서 극소 변위할 때 $X의$ 접선 벡터가 "정수"(파생성)라는 $X$ 것을 의미한다. 접선 벡터 ${\dot {\gamma }}(t)$ )의 방향에서 ${\displaystyle$ {\dot ${\dot$ {\ $dot}}}}(t)$ 이 완료된다 ${\dot {\gamma }}(t)$ .

단면이 아닌 P = γ(0) ∈ M에서 요소 e₀ ∈ E가_P 주어진다고 가정합시다. γ을 따라 e의₀ 평행 운송은 γ의₀ 평행 섹션 X까지 e를 확장한 것이다. 좀 더 정확히 말하자면 X는 along을 따라 E의 독특한 부분이다.

$\nabla _{\dot {\gamma }X=0$
$X_{\gamma (0)}=e_{0}.$

주어진 좌표 패치에서 (1)은 (2)에 의해 주어진 초기 조건과 함께 일반적인 미분 방정식을 정의한다는 점에 유의한다. 따라서 피카르-린델뢰프 정리는 해결책의 존재와 고유성을 보장한다.

따라서 연결 ∇은 곡선을 따라 섬유의 이동 원소를 정의하며, 이는 곡선을 따라 점들에 있는 섬유들 사이의 선형 이형성을 제공한다.

\감마(\gamma )_{s}^{t:E_{\gamma (s)}\오른쪽 화살표 E_{\gamma (t)}}}

γ(s) 위에 놓여 있는 벡터 공간에서 t(t) 위에 놓여 있는 벡터 공간까지. 이 이형성은 곡선과 연관된 평행 운송 지도로 알려져 있다. 이러한 방법으로 얻은 섬유들 사이의 이형성은 일반적으로 곡선의 선택에 따라 달라진다: 만약 그렇지 않다면, 모든 곡선을 따라 평행 운송을 사용하여 모든 M에 걸쳐 E의 평행 구간을 정의할 수 있다. 이는 of의 곡률이 0일 경우에만 가능하다.

특히 지점 x에서 시작하는 닫힌 곡선을 중심으로 한 평행 운송은 x에서 접선 공간의 자동화를 정의하는데, 이는 반드시 사소한 것이 아니다. x에 바탕을 둔 모든 닫힌 곡선에 의해 정의되는 병렬 전송 자동화는 x에 있는 ∇의 홀로노미 그룹이라고 불리는 변환 그룹을 형성한다. 이 그룹과 x에서 curvature의 곡률 값 사이에는 밀접한 관계가 있다. 이것이 암브로즈-싱어 홀노미 정리의 내용이다.

병렬 전송에서 연결 복구

공변량 파생상품 ∇의 경우 $\scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ $\scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ 0 $\scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ {\ $displaystyle \scriptstyle$ {\ $nabla$ _{\ $dot{\gamma }}=0}$ 조건을 통합하여 γ곡선을 따라 평행 운송을 얻는다 $\scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ 반대로, 병렬 운송에 대한 적절한 개념을 이용할 수 있으면 분화를 통해 해당 연결을 얻을 수 있다. 이 접근법은 본질적으로 크네벨만(1951)에게 귀속된다. 구겐하이머(1977년)를 참조하라. Lumiste(2001) 도 이 접근법을 채택한다.

다지관의 각 원곡선 to에 대한 할당을 매핑 집합으로 고려한다.

\감마(\gamma )_{s}^{t:E_{\gamma (s)}\오른쪽 화살표 E_{\gamma (t)}}}

그런

$\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ ( $\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ ) $\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ = $\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ $\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ ${\displaystyle \감마(\gamma )_{s}^{s}=Id},$ E의 $\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ ID_γ(s) 변환.
$\감마(\gamma )_{u}^{t}\circle \감마(\gamma )_{s}^{u}=\감마(\gamma )_{s}^{t}.$
γ, s, t에 대한 γ의 의존도는 「매끈매끈하다.

조건 3.의 부드러움 개념은 다소 고정하기 어렵다(섬유 묶음으로 병렬 전송에 대한 아래 논의 참조). 특히 고바야시나 노미즈 같은 현대 작가들은 일반적으로 연결의 병렬 전송을 어떤 다른 의미에서는 연결에서 오는 것으로 보고 있는데, 그 연결은 매끄러움이 더 쉽게 표현된다.

그럼에도 불구하고, 병렬 전송에 대한 그러한 규칙이 주어진다면, 다음과 같이 E에서 관련 극소수 연결을 복구할 수 있다. 초기 지점 γ(0)과 초기 접선 벡터 X = γ′(0)로 M에서 γ을 구별할 수 있는 곡선이 되게 한다. V가 E over γ의 한 부분인 경우 다음과 같이 하십시오.

\nabla _{X}V=\lim_{h\to 0}{h\frac {\gamma(\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (0)}}{h}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}=\{\frac {d}{dt}}\감마(\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma(t)}\오른쪽 _{t=0}

이것은 E에서 관련된 최소 연결 ∇을 정의한다. 이 최소 연결에서 동일한 병렬 전송 transport을 복구한다.

특수 케이스: 접선 번들

M을 매끄러운 다지관이 되게 하라. 그 다음, 어핀 연결이라고 하는 M의 접선다발에서의 연결은 (아핀) 지오데틱스(고바야시 & 노미즈, 제1권 제3장) 노미즈(도움말)를 구별한다. 부드러운 곡선 γ: I → M은 ${\dot {\gamma }}$ $\gamma$ ${\$ $displaystyle$ ${\dot {\\$ $gamma}}}$ 을 ${\dot {\gamma }}$ (를) 따라 평행하게 운송할 경우 아핀 지오데틱이다 $\gamma$

{\dottyle \감마(\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}}={\dot {\gamma }}(t).\,}

시간에 관한 파생상품을 보면, 이것은 좀 더 친숙한 형태를 취한다.

\nabla _{\dot {\pot }}{\dot {\pot }}}{\put }=0.\,

리만 기하학의 병렬 교통

리만 기하학에서 미터법 연결은 병렬 전송 매핑이 미터법 텐셔너를 보존하는 연결이다. 따라서 미터법 연결은 임의의 두 벡터 X에 대해 Y t_γ(s) T를 연결하는 연결부 γ이다.

\langle \감마(\gamma )_{s}^X,\감마(\gamma )_{s}^{t}Y\rangele _{\gamma(t)=\langle X,Y\rangele _{\gamma(s.}}}}}}})}}}}

t = 0에서 파생상품을 취하면 관련 차등사업자는 측정기준에 관한 제품 규정을 충족해야 한다.

\displaystyle Z\langle X,Y\langle X,Y\langle X,{Z}X,Y\langle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}

지리학

만약 ∇이 미터법 연결이라면, 아핀 지오데틱은 리만 기하학의 일반적인 지오데틱이며 국소적으로 곡선을 최소화하는 거리다. 더 정확히 말하면, 먼저 γ: I → M, 즉 내가 열린 간격인 지오데틱이라면, ${\dot {\gamma }}$ {\ $displaystyle {\dot$ {\gamma $}}$ 의 규범이 I에 일정하다는 ${\dot {\gamma }}$ 것을 주목한다. 정말,

{\dt}{d}}{dt}\langle {\dot{\langle{\dot{\dot{\dot}}}}}{\dot{\langle }}\langle \langle \2\langle \{\dot{\langle}}}}{\dot {\}}(t)\nowlangle =0.}

가우스의 보조정리 어플리케이션에서 A가 ${\dot {\gamma }}(t)$ ( $){\displaystyle{\dot{\gamma }}}$ 의 ${\dot \gamma }(t)$ 표준이라면, γ(t₁)과 γ(t₂)라고 하는 두 개의 가까운 지점 사이의 미터법에 의해 유도된 거리는 다음과 같다.

{\mbox{dist}{\big (}\gamma(t_{1}),\gamma(t_{2})}=A t_{1}-t_{2} .

지오데틱이 다지관을 감싸기 때문에(예: 구체에) 충분히 가깝지 않은 점의 경우 위의 공식은 참이 아닐 수 있다.

일반화

병렬 전송은 벡터 번들에 정의되어 있는 것만이 아니라 다른 유형의 연결에 대해 더 일반적인 것으로 정의될 수 있다. 하나의 일반화는 주요 연결에 관한 것이다(고바야시 & 노미즈 1996, 제1권 제2장). P → M을 구조물 Lie 그룹 G와 주 접속 Ω을 가진 다지관 M 위에 주결합으로 한다. 벡터 번들의 경우처럼 P의 주 연결 Ω은 각 원곡선 curve에 대해 M의 매핑을 정의한다.

\감마(\gamma )_{s}^{t:P_{\감마(s)}\오른쪽 화살표 P_{\감마(t)}}}

균질 공간의 이형성인 t(t) 이상의 섬유에서 γ(s) 이상의 섬유로 부터 γ(t) 이상의 섬유로, 즉 $\Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}$ $\Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}$ = g $($ {\display $style \Gamma _$

병렬 수송의 추가 일반화도 가능하다. 연결부가 접선 공간의 "수평 리프팅"이라는 특수한 개념에 따라 달라지는 Ehresmann 연결의 맥락에서, 수평 리프트를 통한 병렬 운송을 정의할 수 있다. 카르탄 연결부는 평행 운송이 다지관의 곡선을 따라 특정 모델 공간을 "롤링"하는 지도라고 생각할 수 있는 추가 구조를 가진 Ehresmann 연결부이다. 이 굴림을 개발이라고 한다.

근사치: 실드의 사다리

실드의 사다리 두 렁. 세그먼트 AX와₁₁ AX는₂₂ 곡선을 따라 AX의₀₀ 평행 운송의 첫 번째 순서에 대한 근사값이다.

평행 운송은 곡선을 따라 유한한 단계를 취하는 쉴드의 사다리에 의해 별개의 근사치를 얻을 수 있으며, 대략적인 평행그램으로 Levi-Civita 병렬로형 근사치를 구할 수 있다.

참고 항목

메모들

^ 스피박과^[1] 같은 출처에서는

인용구

^ 스피박 1999, 234페이지, 2권 6장.

참조

Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7
Knebelman (1951), "Spaces of relative parallelism", Annals of Mathematics, 2, The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3, 53 (3): 387–399, doi:10.2307/1969562, JSTOR 1969562
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; 제2권 ISBN 0-471-15732-5.
Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connections on a manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II. Publish-or-Perish Press. ISBN 0914098713.

외부 링크

구형 지오메트리 데모. 구체에 접선 벡터의 병렬 전송을 시연하는 애플릿.

[2] 스피박과^[1] 같은 출처에서는

[FOOTNOTESpivak1999234Vol._2,_Ch._6-1] 스피박 1999, 234페이지, 2권 6장.

[a]

[1]

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