페도의 부등식

기하학에서, Daniel Pedoe (1910–1998)와 Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840–1926)의 이름을 딴 Pedoe의 부등식 (Neuberg–Pedoe 부등식)은 a, b, c가 넓이가 ƒ인 삼각형의 변의 길이이고, A, B, C가 넓이가 F인 삼각형의 변의 길이라면,

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2)+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,}$

두 삼각형이 대응하는 변 (A, a), (B, b), (C, c)의 쌍과 유사한 경우에만 동일합니다.

왼쪽의 표현식은 쌍의 집합 { (A, a), (B, b), (C, c) }의 6개 순열 중 어느 하나에서 대칭일 뿐만 아니라, a가 A로 b가 B로 c가 C로 상호 교환되는 경우에도 동일하게 유지됩니다. 즉, 삼각형 쌍의 대칭 함수입니다.

페도의 부등식은 삼각형 중 하나가 정삼각형인 경우인 바이첸뵈크의 부등식을 일반화한 것입니다.

페도는 1941년에 부등식을 발견했고 그 후 여러 기사에서 발표했습니다. 나중에 그는 부등식이 이미 19세기에 뇌베르크에게 알려져 있었다는 것을 알게 되었는데, 뇌베르크는 부등식이 두 삼각형의 유사성을 의미한다는 것을 증명하지는 못했습니다.

증명

헤론의 공식으로 두 삼각형의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle 16f^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle 16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})}$

그리고 코시-슈바르츠 부등식을 이용해서

${\displaystyle 16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle \leq {\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}}$

${\displaystyle =(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})}$

그렇게,

${\displaystyle 16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle =A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2)+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

제안이 증명되었습니다.

${\displaystyle \frac{A}{}}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ = ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle C}$ = ${\displaystyle f}$ F ${\displaystyle {\tfrac {a}}$인 경우에만 동일성이 유지됩니다.$A$}$={\tfrac {b}{B$}}$=${\$tfrac${c$}{$C}}$=${\sqrt {\tfrac {f}{F}}} 즉, 두 삼각형은 유사합니다.

참고 항목

• 삼각형 부등식 목록

참고문헌

• 다니엘 페도: 임의의 두 삼각형을 연결하는 부등식. 수학공보 제25호, 제267호 (1941년 12월), 페이지 310-311 (JSTOR)
• Daniel Pedoe: 두 삼각형의 불평등. 미국 수학월간, 70권, 9호, 1012페이지, 1963년 11월
• 다니엘 페도: 두 삼각형에 대한 부등식. 케임브리지 철학회 회보, 38권 4부, 1943년 397페이지
• 클라우디 알시나, 로저 B. 넬센: 더 적을 때: 기본적인 불평등을 시각화합니다. MAA, 2009, ISBN978-0-88385-342-9, p. 108
• D.S. 미트리노비치, 요시프 페차리치: 뇌베르크-페도에와 오펜하임 불평등에 대하여. 수학적 분석 및 응용 저널 129(1):196-210 · 1988년 1월 (온라인 카피)